tellen


Tellen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Om straks kansen te kunnen gaan uitrekenen moeten we eerst kunnen bepalen hoeveel mogelijkheden ergens voor zijn.
Soms kun je handig ergens de aantallen van tellen zonder alles op te hoeven schrijven, maar soms is ook de enige manier gewoon alle mogelijkheden uit te schrijven.
Een voorbeeld:

Priemgetallen zijn gehele positieve getallen met precies twee delers.
(een deler is een getal waar je door kunt delen)
Hoeveel priemgetallen bestaan er kleiner dan 30?

Er is geen andere manier om erachter te komen dan ze gewoon allemaal op te schrijven. Probeer het maar uit, het antwoord staat hiernaast.

Er zijn twee nadelen aan de methode "alles opschrijven"
Het eerste is, dat je een mogelijkheid kunt vergeten, het tweede is, dat het af en toe wel erg veel werk kan worden.

antwoord:

10 stuks, kijk maar:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Daarom gaan we op zoek naar manieren om handiger, en vooral systematischer te tellen.

ROOSTERDIAGRAM.

Een methode om systematischer te tellen is het maken van een zogenaamd roosterdiagram.

Het beroemdste voorbeeld daarvan is het gooien met twee dobbelstenen.
Neem de vraag:

Op hoeveel manieren kun je met twee dobbelstenen samen 6 ogen gooien?

Oké, ik geef toe: deze is nog makkelijk gewoon uit te schrijven, maar het gaat nu even om de systematische manier. Kijk naar de figuur hiernaast. Daarin staat op de ene as het aantal ogen van dobbelsteen 1 (groen), en op de andere as het aantal ogen van dobbelsteen 2 (blauw). Op de kruising zetten we het totaal aantal ogen.
Als we de zessen daarvan tellen zien we dat er 5 manieren zijn om met twee dobbelstenen samen 6 ogen te gooien.

't Is misschien wat omslachtig voor zo'n klein probleempje, maar het gaat om de systematische aanpak. Bovendien kun je, als je eenmaal zo'n roosterdiagram hebt, ook aflezen hoeveel manieren er zijn om 7, 8, enz. ogen te gooien.

Nadeel van zo'n roosterdiagram is dat er maar twee dingen op de assen kunnen staan, dus het werkt eigenlijk alleen als je twee dingen samen moet nemen.

Los de volgende telproblemen op. Gebruik daarbij een roosterdiagram als dat mogelijk is. Ga in de andere gevallen gewoon "uitschrijven" of probeer een slimme redenering te vinden.

Hoeveel getallen tussen de 1 en 1000 kun je door 3 delen?

333

Hoeveel getallen tussen de 1 en 1000 kun je door 3 óf door 7 delen?

428

Ik heb een stapeltje kaarten, bestaande uit schoppens. Om precies te zijn schoppen 2 tot en met schoppen 8.
Ik kies er willekeurig twee kaarten uit.

Op hoeveel manieren kan het gebeuren dat de som van die twee kaarten meer is dan 9?

24 manieren

Op hoeveel manieren kan het gebeuren dat het totale aantal deelbaar is door 3?

14 manieren

De familie de Groot moet op de foto. De familie bestaat uit vader, moeder, zoon en dochter. Vader is het langst, dan moeder, dan zoon en dan dochter. De familie gaat in twee rijen van 2 op de foto, dus twee vooraan en daar recht achter nog twee.
Daarbij mag natuurlijk nooit een langer persoon vóór een korter persoon staan.

Hoeveel mogelijke foto's zijn er te maken?

6 manieren

De schijven hiernaast worden gedraaid, en komen dan tot stilstand met bij elke pijl een getal.
Hoeveel mogelijkheden zijn er waarbij de som van die twee getallen kleiner is dan 11?

10 manieren

Hiernaast staat de tekening van een regelmatige tienhoek. Vanaf twee hoeken zijn alle mogelijke diagonalen al getekend.
We gaan in deze opgave beredeneren hoeveel diagonalen je in totaal in zo'n tienhoek kunt tekenen.

Hoeveel diagonalen zijn er vanaf één hoekpunt te tekenen?

Hoeveel diagonalen zou dat in totaal geven?

10 • 7 = 70

Waarom is het aantal nu te groot? Hoeveel moet het wél zijn?

Hoeveel diagonalen kun je in een regelmatige zeventienhoek tekenen?

119

Ik ga jou een bedrag van 2 euro teruggeven, maar dat doe ik met alleen maar 0,10 en 0,20 euromuntjes.
Op hoeveel manieren kan ik dat doen?

11 manieren

Gooi tweemaal met een dobbelsteen.
Op hoeveel manieren kan het voorkomen dat het tweede getal groter is dan het eerste?

15 manieren

De Nederlandse Eredivisie Voetbal bestaat uit 18 teams die een volledige competitie spelen. Dat betekent dat alle teams twee keer tegen elkaar spelen; een keer UIT en een keer THUIS.
Hoeveel wedstrijden worden er dan in totaal gespeeld?

306

Het tennistoernooi van Wimbledon speelt volgens het knock-out systeem. Elke ronde gaan alleen de winnaars door naar de volgende ronde. Zowel bij het vrouwentoernooi als bij het mannentoernooi doen er 64 spelers mee. Hoeveel wedstrijden zullen er in totaal op Wimbledon gespeeld worden?

126

Bij een tweedaags volleybal toernooi zijn de teams in 2 poules van 6 teams ingedeeld, die elk één keer tegen elkaar spelen. De hoogste twee teams gaan de tweede dag naar de finalepoule. De middelste twee teams gaan maar de "middenpoule" en de laagste twee naar de verliezerpoule.
Ook de tweede dag speelt men in een poule één keer tegen elk ander team.
Hoeveel wedstrijden worden er in totaal deze twee dagen gespeeld?

Ik heb een bakje met drie knikkers met een getal erop (geheel en positief). Als ik die getallen bij elkaar optel krijg ik er 10 uit.
Hoeveel mogelijkheden zijn er voor die drie knikkers?

10.

Examenopgave VWO Wiskunde A, 2019-II

Ruim 50 jaar geleden maakte de kunstenaar Peter Struycken het werk ‘Wetmatige beweging’.
Dit kunstwerk is opgebouwd uit 625 zwarte vormen: vierkanten en andere rechthoeken, die met een bepaalde regelmaat verdeeld zijn over een wit vlak.

Zie de figuur hiernaast.

Elk van de 625 zwarte vormen is gemaakt op basis van een 3×3-rooster van 9 vierkanten.
Hierbij gelden de volgende voorwaarden:

- het middelste vierkant in zo’n 3×3-rooster is altijd zwart;
- een vorm bestaat uit 1, 2, 3, 4, 6 of 9 zwarte vierkanten;
- een vorm is een rechthoek (en kan dus ook een vierkant zijn).

Zie onderstaande figuur voor vier voorbeelden.

De twee vierkante vormen in deze figuur worden als verschillende vormen opgevat, omdat ze op verschillende plaatsen in het 3×3-rooster staan.
Bereken hoeveel verschillende vormen de kunstenaar op deze manier kan maken.