Tabellen en procenten

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
       
't Is meestal een kwestie van gewoon 'goed lezen'.
Er zijn een  paar aparte dingen die je kunt tegenkomen of waar je op moet letten:
       
1.  Eenheden en Dichtheden
       
Eenheden en dichtheden worden meestal gegeven door het woordje  "per".
Met eenheden bijvoorbeeld  "meter per seconde"
Met dichtheden bijvoorbeeld  "mensen per vierkante meter"
Bedenk dat "per" precies hetzelfde is als "gedeeld door".
 
"per" = "gedeeld door"
 
Bij dichtheden zou ik er gewoon een formule van maken, bijvoorbeeld als er staat dichtheid = mensen per vierkante meter is het eigenlijk 

dichtheid = aantal mensen/aantal vierkante meter.

 
 
aantal mensen aantal m2 dichtheid
2400 23000 ??
?? 40000 34
30000 ?? 20
       
eerste rij:   ?? = 2400/23000 = 0,104
tweede rij:  34 = ??/40000  dus  ?? = 40000 • 34 = 1360000
derde rij:   20 = 30000/??  dus  ?? = 30000/20 = 1500
       
2.  "In duizenden"
       
Als er in de kop van een tabel staat  "In duizenden" of   " × 1000 "  dan betekent dat, dat de getallen die er in staan eigenlijk met 1000 moeten worden vermenigvuldigd om de ware aantallen te krijgen.
       
3.   "per 1000"
       
Komt meestal voor als het "aantal gevallen per 1000 inwoners" e.d.
Om daarmee te werken kun je het best de inwoners in gedachten in groepen van 1000 indelen. De tabel geeft dan het aantal dat bij één zo'n groep hoort.

Voorbeeldje:
       
aantal inwoners aantal ongelukken aantal ongelukken 
per 1000 inwoners
60350 240 ??
?? 2450 0,25
125000 ?? 3,8
       
eerste rij:  er zijn  60350/1000 = 60,35 groepjes van 1000 inwoners en 240 ongelukken. Per groepje is dat  240/60,35 = 3,98 ongelukken

tweede rij:  bij elk groepje van 1000 inwoners horen 0,25 ongelukken, en dat geeft in totaal 2450 ongelukken. Dus zijn er 2450/0,25 = 9800 groepjes van 1000 inwoners; dat is 9800 • 1000 = 9800000 inwoners.

derde rij:  er zijn 125000/1000 = 125 groepjes van 1000 inwoners en bij elk groepje horen 3,8 ongelukken. Dat zijn  3,8 • 125 = 475 ongelukken

       
4.   Absoluut en Relatief
       
Absoluut betekent: de echte aantallen.
Relatief betekent: de aantallen in procenten:  procent = aantal/totaal • 100
Kijk voor het rekenen met procenten naar de vorige les.

Het kan zijn dat de absolute aantallen toenemen maar de relatieve aantallen kleiner worden!!  Kijk maar:
       
jaar relatief aantal zieken absoluut aantal zieken totaal aantal mensen
2007 12% 3400 28330
2008 10% 3600 36000
       
Het percentage is gedaald terwijl het aantal is toegenomen.
Hoe kan dat? Nou, omdat het totaal aantal nog méér is toegenomen!!
       
5.  Tabellen schakelen.
       
Van twee tabellen kun je één nieuwe tabel maken, als er een grootheid in beide tabellen voorkomt.
Voorbeeldje:
 
hoogte luchtdruk
1200 1000
1400 940
1600 820
temperatuur hoogte
12 1200
9 1400
7 1600
       
Omdat "hoogte" in beide tabellen voorkomt kun je één nieuwe tabel maken:
       
luchtdruk (hoogte) temperatuur
1000 (1200) 12
940 (1400) 9
820 (1600) 7
       
Het gaat hier zo makkelijk omdat in beide tabellen dezelfde waarden voor de hoogte stonden. Als dat niet zo is moet je soms door interpoleren zelf tussenliggende waarden benaderen.
       
6.  Indexcijfers.
       
Soms is niet zo makkelijk of niet zo duidelijk te zien hoe groot de getallen in een tabel nou precies ten opzichte van elkaar zijn. Omdat de getallen heel groot zijn bijvoorbeeld, of juist heel klein.

Hiernaast zie een een klein tabelletje met de BNP (Bruto Nationaal Product) van een aantal landen in miljoenen dollars.

Als je eigenlijk vooral geïnteresseerd zijn in de grootte ten opzichte van elkaar dan kun je de tabel wat overzichtelijker maken. Kies gewoon één van de landen en noem die 100%.
land

BNP
{in miljoenen dollars)
Engeland
Japan
Spanje
Frankrijk
Italië
Nederland
Canada
Duitsland

2772670
4383762
1438959
2560255
2104666
768704
1432130
3322147
       
Hiernaast heb ik (vrij willekeurig) gekozen om Frankrijk 100% te noemen, en daarmee de grootte van de andere BNP's te berekenen. Het tabelletje is denk ik al heel wat overzichtelijker dan die erboven.

Die percentages uit de onderste tabel heten indexcijfers.

Indexcijfers worden vaak gebruikt in de economie, om de grootte ergens van door de jaren heen te kunnen volgen. Het beginjaar krijgt dan meestal indexcijfer 100.

Zo zie je in onderstaande tabel het verloop van het jaarsalaris van mevrouw A en mevrouw B, zowel "echt" als met indexcijfers.
land

BNP indexcijfer
(Frankrijk = 100%)
Engeland
Japan
Spanje
Frankrijk
Italië
Nederland
Canada
Duitsland

108
171
56
100
82
30
56
130
       
  salaris in € indexcijfer
(2000 = 100%)
jaar A B A B
2000
2001
2002
2003
2004
2005		 20456
21274
22125
23520
24931
25134		 60782
61368
61978
63620
64330
66766		 100
104
108
115
122
123		 100
101
102
105
106
110
       
Alhoewel hun salarissen nogal verschillen heb je wel met die indexcijfers direct een redelijk beeld van hoe snel die salarissen groeien. Veel beter dan uit de klommen met de euro´s, denk ik.

Verder kun je met indexcijfers als het gaat om procenten toename of afname gewoon rekenen alsof het echte getallen zijn.
Als je in de tabel hierboven bijvoorbeeld wilt weten hoeveel procent mevrouw A van 2002 tot en met 2005 meer is gaan verdienen, dan kun je natuurlijk uitrekenen  25134/22125 × 100% = 113,6 dus dat is toename van ongeveer14%
Maar je kunt het net zo goed met de indexcijfers doen:  123/108 × 100%  is ook een toename van 14%.
       
   
  OPGAVEN
   
1. De volgende tabel geeft de bevolkingsopbouw van de Nederlandse provincies per 1 januari 1997.
       
 
  totale bevolking vrouwen per
1000 mannen		 inwoners
per km2 land
  ×1000    
Groningen
Friesland
Drenthe
Overijssel
Flevoland
Gelderland
Utrecht
Noord-Holland
Zuid-Holland
Zeeland
Noord-Brabant
Limburg		 558,1
615,0
460,8
1057,9
281,5
1886,1
1079,4
2474,8
3344,7
368,4
2304,1
1136,2		 1023
1014
1007
1010
991
1026
1055
1039
1036
1016
997
1013		 238
183
174
317
198
378
795
931
1167
206
467
524
Nederland 15567,1 1025 459
       
  a. Hoeveel procent van de bevolking woonde op 1 januari 1997 in Gelderland?
     

12,1%
  b. Hoeveel mannen woonden er op 1 januari 1997 in Drenthe?
     

229596
  c. Hoe groot is de oppervlakte van Zeeland?
     

1788 km2
  d. In welke provincie is het percentage vrouwen het grootst? Bereken dat percentage.
       
       
2. De volgende tabel geeft de overheidsuitgaven voor het onderwijs voor vier jaren.
       
 
  eenheid 1985 1990 1992 1994
totaal mln gld 27595 31065 33686 34377
Werkelijke uitgaven
in % van het nationaal
inkomen		 mln gld 7,3 6,8 6,8 6,3
per hoofd van de bevolking
Werkelijke uitgaven		 gld 1905 2078 2219 2235
       
  a. Een ambtenaar van het ministerie van financiën beweert dat de uitgaven voor onderwijs in de periode 1985-1994 met bijna 25% zijn toegenomen, maar volgens de onderwijsvakbonden zijn de uitgaven in deze periode met bijna 14% afgenomen. 
Verklaar deze percentages.
       
  b. Bereken het aantal inwoners in Nederland in 1990
       
  c. Bereken het nationaal inkomen in 1992
       
3. In onderstaande tabel staat het marktaandeel van de merken FORD en OPEL over de jaren 1981-1985. Van OPEL is het percentage van de totale markt gegeven, van FORD het indexcijfer van het percentage van de markt met 1981 = 100.
       
 
jaar FORD
indexcijfer		 OPEL
percentage
1981
1982
1983
1984
1985		 100
115
154
148
160		 14,0
14,5
14,5
15,1
15,3
       
  a. Maak van de cijfers van OPEL óók indexcijfers (met 1981 = 100).
       
  b. Verklaar nauwkeurig hoe het zou kunnen dat het indexcijfer tussen twee jaren stijgt terwijl het absolute aantal auto's in dezelfde periode daalt.
       
  c. Het blijkt dat OPEL in 1985 dubbel zoveel auto's verkocht als in 1981.
Met hoeveel procent is de totale automarkt dan in deze periode gestegen?
       
4. In de volgende tabel staat het aantal Chinezen en de totale wereldbevolking op aarde voor de verschillende jaren. De aantallen  zijn gegeven in miljarden.
De onderste rij geeft het percentage van de wereldbevolking dat Chinees is.
       
 
jaar. 1938 1972 1989 2000 2009
aantal Chinezen. 0,58 0,75 ?? 1,16 1,28
wereldbevolking. ?? 4,68 5,32 6,67 6,98
percentage Chinezen. 14,9 ?? 16,8 17,4 18,3
       
  a. Hoeveel Chinezen zijn er tussen 2000 en 2009 gemiddeld per dag bijgekomen? Rond je antwoord af op duizenden (neem jaren van 365 dagen).
     

37000
  b. Bereken de vraagtekens in deze tabel.
     

3,89
16,0%
0,89
       
5. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1993.
       
  Onder een 100-plusser verstaan we iemand die een leeftijd heeft van 100 jaar of hoger. Inde tabel hieronder kun je het aantal 100-plussers in Nederland voor de jaren 1978 tot en met 1988 aflezen, telkens geteld op 1 januari.
       
  100j 101j 102j 103j 104j 105j 106j 107j 108j 109j 110j totaal
  m v m v m v m v m v m v m v m v m v m v m v m v
1978
1979
1980
1981		 50
50
63
59		 92
107
118
124		 28
32
33
39		 72
58
64
69		 7
17
20
21		 29
41
42
41		 6
2
9
12		 24
14
23
22		 5
2
1
3		 6
12
8
14		 2
3
1
1		 3
4
3
4		 -
2
1
-		 3
1
2
2		 -
-
2
1		 2
1
1
1		 -
-
-
-		 -
1
1
-		 -
-
-
-		 1
-
1
1		 -
-
-
-		 -
-
-
-		 98
108
130
136		 232
239
263
278
1982
1983
1984
1985		 53
70
51
73		 124
144
157
182		 35
32
45
33		 77
79
104
114		 24
15
22
31		 43
43
43
65		 9
14
12
16		 24
24
22
27		 5
7
8
5		 13
17
11
15		 3
2
5
2		 9
4
7
7		 1
1
1
4		 3
5
1
5		 -
1
-
-		 2
2
4
-		 1
-
1
-		 1
1
1
3		 -
-
-
-		 -
1
1
1		 -
-
-
-		 -
-
-
-		 131
142
145
164		 296
320
351
419
1986
1987
1988		 75
77
84		 171
199
242		 46
36
50		 61
77
70		 23
27
18		 61
77
70		 16
15
16		 36
36
48		 10
8
9		 16
18
23		 4
6
4		 12
14
13		 1
2
3		 3
6
8		 2
-
-		 2
-
4		 2
-
-		 -
1
-		 -
-
1		 2
-
-		 -
-
1		 -
-
-		 177
173
185		 430
464
541
     

m = man
v = vrouw
  Op 1 januari 1979 waren er 157 100-jarigen.
       
  a. Was degene die van deze mensen als laatste in leven is gebleven een man of een vrouw? Licht je antwoord toe.
       
  b. Bereken van de groep van alle 100-plussers van 1 januari 1978 het percentage dat op 1 januari 1982 nog in leven was.
       
6. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2001.

De volgende figuur komt uit het jaarverslag over 1998 van Holland Casino.
       

       
  'Index 1994 = 100' betekent dat alle bedragen vergeleken zijn met de bedragen van 1994.
Zo heeft de omzet in 1996 het indexcijfer 118. De omzet in 1996 was dus 118% van die in 1994. De omzet steeg tussen 1994 en 1996 dus met 18%.
Uit de figuur zou je kunnen concluderen dat de kosten sterker stijgen dan de omzet. Dat zou geen goede ontwikkeling zijn. De winst is immers de omzet min de kosten.

Geef een getallenvoorbeeld waarmee je laat zien dat het met de gegevens uit de figuur toch mogelijk is dat de winst in de periode 1994 - 1998 gestegen is.
       
7. examenvraagstuk VWO wiskunde A, 2002.

In 1988 vond het Onderzoek Gezinsvorming plaats. Hierbij werd onder andere de gezinssamenstelling onderzocht (hoeveel kinderen, hoeveel meisjes, enzovoort). Men waagde zich vervolgens ook aan voorspellingen hoe gezinnen in de toekomst samengesteld zullen zijn. Daarbij beperkten de onderzoekers zich tot een voorspelling over de gezinnen van vrouwen die geboren zijn in 1960. De resultaten staan in de tabel hieronder.
       
 
verwachte uiteindelijke gezinssamenstelling van vrouwen geboren in 1960
  % van alle vrouwen % van vrouwen met kinderen
geen kinderen 18,5 -
1 kind (totaal) 15,2 18,7
  1 jongen
1 meisje		 7,9
7,3		 9,7
9,0
2 kinderen (totaal) 40,1 49,2
  2 jongens
1 jongen en 1 meisje
2 meisjes		 10,1
20,9
9,1		 12,4
25,6
11,2
3 kinderen (totaal) 18,2 22,3
  3 jongens
2 jongens en 1 meisje
1 jongen en 2 meisjes
3 meisjes		 2,5
7,3
6,3
2,1		 3,0
9,0
7,7
2,6
4 of meer kinderen (totaal) 8,0 9,8
  uitsluitend jongens
uitsluitend meisjes		 0,5
0,5		 0,6
0,6
       
  Een gezin met zowel jongens als meisjes noemt men een gemengd gezin.
       
  a. Hoeveel procent van alle in 1960 geboren vrouwen zal volgens de tabel uiteindelijk een gemengd gezin hebben? Licht je antwoord toe.
     

41,5%
  b. In de tabel staat in de rechterkolom het getal 18,7.
Laat zien hoe dit getal afgeleid kan worden uit de gegevens in de kolom met het opschrift "% van alle vrouwen".
       
  Uit bevolkingsstatistieken van Nederland en andere West-Europese landen vanaf de 18e eeuw is duidelijk dat er steeds iets meer jongens dan meisjes geboren worden. We kunnen nagaan dat de gegevens in de tabel hierboven hiermee in overeenstemming zijn. We nemen daarbij 5000 gezinnen met kinderen als uitgangspunt. We kunnen nu een schatting maken van het totaal aantal jongens dat in de gezinnen met 1,2 of 3 kinderen voorkomt. De gezinnen met 4 of meer kinderen laten we daarbij buiten beschouwing. We kunnen berekenen dat er in deze 5000 gezinnen in totaal meer jongens dan meisjes worden geboren.
       
  c. Voer deze berekening uit.  
     

3460 - 2730
       
8. De volgende tabel geeft de indexcijfers voor de groei van de winst van een bedrijf (alles in miljoenen). Er is gekozen voor index 2000 = 100%

De boekhouder van het bedrijf wil graag deze tabel veranderen en als indexcijfer het jaar 2008 nemen.
Zijn zoontje zegt tegen hem:  "Nou, als 2008 gelijk moet worden aan 100% dan moet je gewoon overal 8% afhalen, want 2008 is nu 108%"
jaar winst index
(2000 = 100%)
2000
2002
2004
2006
2008
2010
2012		 100
102,3
104,6
105,1
108,0
112,2
113,4
     
  a. Leg duidelijk uit waarom dat niet klopt.
     
  b. Maak de nieuwe tabel voor de boekhouder (met index 100 in 2008)
     
  c. De winst in 2006 was  €6,2 miljoen. Bereken de winst in 2010.
       
9. examenvraagstuk VWO wiskunde A, 2009.

De afgelopen jaren is het aantal melkveehouderijen afgenomen. Het (gemiddelde) aantal koeien per melkveehouderij is echter toegenomen. Beide ontwikkelingen zijn weergegeven in onderstaande figuur. Deze figuur is gebaseerd op gegevens van het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS).
       
 

       
  Op basis van de gegevens in deze figuur kan worden onderzocht of het totale aantal koeien in Nederland in 2003 groter of kleiner was dan in 1975.
       
  a. Voer dat onderzoek uit aan de hand van een berekening.
       
  In de figuur is te zien dat de grafiek van het aantal koeien per melkveehouderij in de periode 2000 – 2003 minder steil loopt dan in de periode 1985 – 2000. Toch is de gemiddelde jaarlijkse toename van het aantal koeien per melkveehouderij groter in de periode 2000 – 2003 dan in de periode 1985 – 2000.
       
  b. Laat dit met een berekening zien en leg uit waarom dit niet in tegenspraak is met de gegevens in de grafiek van het aantal koeien per melkveehouderij.
       
10. examenvraagstuk VWO wiskunde A, 2009.

Het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) houdt bij hoeveel studenten er zijn in het wetenschappelijk onderwijs in Nederland. De volgende tabel geeft daar informatie over.
       
 
studiejaar mannen vrouwen
1991-1992 98272 75281
1992-1993 97784 76739
1993-1994 97270 78052
1994-1995 95256 78372
1995-1996 91310 75959
1996-1997 83850 70226
1997-1998 80472 68014
1998-1999 79347 68524
1999-2000 80113 70631
       
  Iemand trekt uit deze tabel de volgende twee conclusies:
  1. Het aantal vrouwelijke studenten was in het studiejaar 1999-2000 ruim 6 procent lager dan in het studiejaar 1991-1992.
  2. Het aandeel van de vrouwelijke studenten was in het studiejaar 1999-2000 groter dan in het studiejaar 1991-1992.
       
  Onderzoek voor elk van deze conclusies of deze juist is of niet.
       
11. examenvraagstuk VWO wiskunde A, 2010.

Het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) publiceert regelmatig cijfers waarmee het rookgedrag van Nederlanders kan worden bestudeerd. In de volgende tabel vind je enkele getallen.
       
 
rokers en aantallen sigaretten
jaar 2001 2005
aantal Nederlanders, in miljoenen 16,0 16,3
percentage rokers 33,3% 29,5%
gemiddeld aantal sigaretten per roker per jaar 4526 4271
       
  Bereken met hoeveel procent het totale aantal gerookte sigaretten in 2005 is afgenomen ten opzichte van 2001.
     

14,8%
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)