De Som- en Productmethode

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Laten we van een aantal kwadratische vergelijkingen de haakjes wegwerken:
(x - 3)(x - 4) =
(x + 2)(x - 5) =
(x + 6)(x + 12) = 
x2 - 4x - 3x + 12 
x2 + 2x - 5x - 10
x2 + 6x + 12x + 72
= x2 - 7x + 12
= x2 - 3x - 10
= x2 + 18x + 72
Daar staat eigenlijk steeds  (x + a)(x + b) = x2 + ....x + ......

-3 en -4 leveren  -7 en 12
2 en -5 leveren -3 en -10
6 en 12 leveren 18 en 72

Zoals je ziet, is:   laatste getal = ab en het middelste getala + b
En nu komt de vraag van deze les: 

Kunnen we het ook andersom?

Ofwel: als we een kwadratische formule zonder haakjes krijgen kunnen we dan die haakjes er weer in zetten?
Voorbeeld:   x2 + 7x + 12 = (x + ? )(x + ? )
We zoeken dus twee getallen a en b zodat geldt  ab = 12  en  a + b = 7.
een beetje proberen levert al gauw  a = 3 en b = 4  (of andersom)
1 Schrijf de volgende formules in de vorm  (x + a)(x + b)
             
a. x2 + 5x + 6

(x + 3)(x + 2)

f. x2 + 19x + 60

(x + 4)(x + 15 )

b. x2 + 9x + 14

(x + 7)(x + 2)

g. x2 + 8x + 16

(x + 4)(x + 4)

c. x2 - 6x - 16

(x - 8)(x + 2)

h. x2 - 20x + 64

(x - 16)(x - 4)

d. x2 - 10x + 21

(x - 7)(x - 3)

i. x2 + 7x - 18

(x - 2)(x + 9)

e. x2 + 12x - 28

(x + 14)(x - 2)

j. x2 + 3x - 40

(x - 5)(x + 8)

 

2. Schrijf de volgende formules in de vorm  (x + a)(x + b)
             
a. -12 + x2  + 4x

(x - 2)(x + 6)

c. x2  + 45 + 18x

(x + 3)(x + 15)

b. 5x - 14 + x2

(x - 2)(x + 7)

d. 6x - 7 + x2

(x - 1)(x + 7)

 
Handige tip
Als je het moeilijk vindt om die twee getallen te vinden, kijk dan eerst naar het getal zonder x erbij.
Dat moet gelijk zijn aan ab  en daar zijn vaak niet zoveel mogelijkheden voor.
Neem die laatste van vraag 1:   
x2 + 3x - 40.
Als je 40 ziet, dan zijn eigenlijk de enige mogelijkheden:  40 • 1 en  20 • 2  en  10 • 4  en  8 • 5   en dat was het.
Vraag je daarna af: met welk van deze koppels kan ik het getal 3 fabriceren met plus of min?
Dan kom je al gauw uit op  8 - 5, en daarmee heb je het antwoord gevonden.
Wat te doen als er voor het kwadraat nog een getal staat?
Op de eerste plaats:  Niet in paniek raken. Het is maar een getal....
Zet dat getal eerst buiten haakjes, en pas dan bovenstaande methode toe op het deel binnen de haakjes.

Voorbeeld:
3x2 + 6x - 72  =  3(x2 + 2x - 24) = 3(x + 6)(x - 4).

Voorbeeld:
8 - x2 - 2x  = -x2 - 2x + 8 =  -(x2 + 2x - 8) = -(x - 2)(x + 4)
3. Ontbind in factoren:
             
a. 2x2 + 4x - 6

2(x - 1)(x + 3)

d. 6x2 - 24x + 24

6(x - 2)(x - 2)

b. 0,5x2 - 5x + 8

0,5(x - 8)(x - 2)

e. -x2 + 6x - 5

-(x - 5)(x- 1)

c. 3x2 - 9x + 6

3(x - 2)(x - 1)

f. -4x2 - 32x - 28

-4(x + 1)(x + 7)

Maar wat hebben we eigenlijk aan al deze flauwekul?
Het nut ervan zit hem in de volgende eenvoudige constatering:

Als voor twee getallen A en B geldt  A • B = 0
Dan is  A = 0  óf   B = 0

Als we willen oplossen x2 + 13x + 42 = 0 dan is dat niet zo makkelijk.
Maar als we het schrijven als  (x + 6)(x + 7) = 0 dan wel!!!
Immers daar staat A • B = 0  tenminste als je neemt   A = x + 6  en  B = x + 7
A = 0 geeft  x = -6
B = 0 geeft x = -7
De oplossingen van  x2 + 13x + 42 = 0 zijn daarom x = -6  en  x = -7
4. Los op:
           
a. x2 + 6x - 16 = 0

2 of -8

e. x2 + 5x = 14

-7 of 2

b. x2 + 5x - 6 = 0

1 of -6

f. 2x2 + 18x + 16 = 0

-8 of -1

c. x2 + 9x + 20 = 0

-4 of -5

g. x2 = 4x + 21

-3 of 7

d. x2 - 8x + 15 = 0

5 of 3

h. x2 + 4x = 5x  + 30

-5 of 6

 

5.
a. Bereken algebraïsch de coördinaten van de snijpunten van  y = 2x + 4  en  yx2 + 6x - 1
 

(1,6) en (-5,-6)

b. Een lijn op hoogte y = 10  snijdt de parabool y = x2 + 2x - 5 in de punten A en B.
Bereken de afstand AB.
 

 AB = 8

c. Bereken algebraïsch de snijpunten van de parabolen  y = x2 + 2x - 1  en  y = 2x2 - 5x + 9
 

(2,7) en (5,34)

6.
Los op: 
           
a. (2x + 8)(5 - 4x) = 0

-4 of 1,25

e. (x + 5)(x - 3) = 4x

-3 en 5

b. (x + 2)(x - 4) = 16

-4 of 6

f. x2 (6x - 4) = 0

0 of 2/3

c. (4 - 6x)(x + 2) = 0

2/3 of -2

g. (4x + 5)2 = 0

-1,25

d. (x2 - 4)(2x + 5) = 0

2, -2, -2.5

h. (3x + 6)(2x - 7)(x + 4) = 0

-2,  3.5,  -4

7.
Iemand gooit een steen met een boog vanaf een muur in een rivier. De steen volgt een mooie paraboolbaan waarvoor de formule  h(t) = -0,1a2  + a + 2,4  geldt.
Daarin is h de hoogte boven het wateroppervlak en a de horizontale afstand vanaf de plaats van weggooien (h en a in meters).

   
a. Hoe hoog boven het water laat de werper de steen los?
 

2,4 m

b. Hoe ver vanaf de muur komt de steen in het water terecht?
 

12 m

c. Wat is de grootste hoogte die de steen bereikt?
 

4,9 m

   
8. Ruim 1000 jaar geleden schreef de beroemde Arabische wiskundige Al-Kwarizmi het volgende probleem op:
Op een vierkant staan twee rechthoeken, elk met een lengte van 5 eenheden. Samengenomen is de oppervlakte 39 eenheden. Hoeveel eenheden is de zijde van het vierkant?
 

3

   
9. Het fotolijstje hiernaast heeft een rand die overal even breed is. De buitenafmetingen van het lijstje zijn 30 bij 40 cm.
De oppervlakte van de foto blijkt even groot te zijn als de oppervlakte van de rand.

Bereken de breedte van de rand.

 

5

     
10. Als f(x) = x2 - 7x + k  en   f(k) = -9  bereken dan f(-1)
   

11

11. Vijf opeenvolgende positieve getallen worden gekwadrateerd en die kwadraten worden opgeteld.
Dat geeft als antwoord 3135.

Wat waren de getallen?
     

23 - 27

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)