h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Reeksontwikkelingen rond singuliere punten.
       
Een singulier punt van een functie f  is een punt waar f  NIET analytisch is. (analytisch betekende dat de functie voldoet aan de Cauchy-Riemann vergelijkingen, weet je nog? Dat staat in deze les)

Laten we maar gewoon zeggen dat een singulier punt een "raar" punt is.

Als dat punt "in zijn eentje"  daar in het complexe vlak ligt, dan noemen we het een gesoleerd singulier punt. Meestal is dat zo.  (Theoretisch betekent dat, dat je een cirkeltje rond dat punt kunt vinden waarbinnen geen ander singulier punt zit).
       
Om ook rondom zulke singuliere punten reeksontwikkelingen te maken gebruiken we de prachtige integratieroute hiernaast.
Daarbij zijn we wel rondom het singuliere punt  z0 gegaan, maar hebben we dat gevaarlijke rode cirkeltje te dicht bij z0  vermeden. Zo hebben we een gesloten route gemaakt zonder singuliere punten erbinnen, dus mogen we de integraalrepresentatie voor f(s) toch gebruiken.

   

   
De kringintegraal bestaat nu uit 4 delen.
  Een buitencirkel
  Een binnencirkel
  Twee rechte stukken.
       
Die twee rechte stukken, daar zijn we gauw klaar mee.  Daar wordt hetzelfde lijnstuk (we laten D naar nul gaan) twee keer doorlopen, maar in tegengestelde richting. Samen levert dat natuurlijk NUL op (f is daar immers continu).

Die buitenste cirkel is ook een makkie. We passen dezelfde "truc" toe als bij de Taylorreeks in deze les:
       

       
Voor de buitenste cirkel geldt |s - z0| <  |z - z0| dus dat deel tussen haakjes is kleiner dan 1 en de reeks convergeert netjes.
Maar dan zie je natuurlijk ook al wel direct wat het probleem is bij de binnenste cirkel.......
Daar geldt  |s - z0|  >  |z - z0|  dus die reeks convergeert niet.

We zullen een nieuwe list moeten verzinnen!!!!

Dat kan door in bovenstaande truc net de andere buiten haakjes te halen:
       

Maar omdat die binnenste cirkel de verkeerde kant op wordt doorlopen verdwijnt dat minteken.
Dan blijft over:

Een integraal is ook maar een soort som, dus die som en die integraal mogen we best verwisselen.  En verder kan dan die  (s - z0) wel buiten de integraal omdat die niet van z afhangt.
Dat geeft:

Voor de hele integraal nemen we beide cirkelstukken samen, en verder moet er uiteraard nog weer  1/2πi voor  om  f(s) te krijgen.  Dat geeft:

En nou komt het mooie:  als je in die eerste som de n vervangt door -n  dan staat er hetzelfde als in de tweede som. Die integralen zijn immers ook gelijk omdat we de binnenste en buitenste cirkel willekeurig dicht bij elkaar kunnen brengen.
Je kunt dan die twee sommen tot n som van -∞  naar ∞  samennemen: 

       
Deze reeksontwikkeling rond het singuliere punt s heet een Laurentreeks.  Mooi genoeg om in een kader te zetten vind ik:
       

 

Daarin is de kringintegraal genomen rond een gesloten contour waar z0 binnen ligt.
Als je de reeks scheidt in een deel voor negatieve waarden van n en een deel voor positieve waarden van n  (en die negatieve n-nen weer vervangt door -n) dan ziet dat er z uit:
       

       

Die an en bn kun je natuurlijk weer met de residustelling van Cauchy berekenen: zie het voorbeeld verderop.

In dat tweede stuk herken je vast wel de Taylorreeks voor een niet-singulier punt s.  Daar kon je de buitenste cirkel gewoon sluiten en was niet die rare route nodig.  Voor een niet-singulier punt zijn dus alle bn gelijk aan nul!!
Bij een singulier punt wordt die eerste reeks toegevoegd; dat is de bijdrage van de binnenste cirkel.

Soorten singuliere punten.

Met die eerste reeks (die met de bn)  kunnen we nu ook beter bekijken met wat voor soort singulier punt we te maken hebben. Schrijf de Laurentreeks als volgt:
       

       
Zodra er n of meer van de bn ongelijk aan nul is, hebben we te maken met een singulier punt.
Bij de meeste singuliere punten stopt de reeksontwikkeling vanaf een bepaalde bN.  Als bN ongelijk aan nul is, maar alle hogere b's zijn nul, dan noemen we dit een singulier punt van orde N. De orde van een singulier punt is dus de hoogste N waarvoor bN niet nul is. 
(Hmmm.... Bestaan er ook singuliere punten waar bn oneindig lang doorgaat?......  Jazeker, maar die bekijken we later wel een keer).
       
H H,  Eindelijk een Voorbeeld!

Ok, omdat  f(z) = 1/(z - i)(z + i)  zul je al wel vermoeden dat dat een singulier punt van orde 1 is (de macht van z - i). Dit is namelijk een simpel voorbeeldje om te laten zien hoe dat met die an en bn werkt.....
 

Eerst maar de bn
  Voor n = -1 verdwijnt de z -in de noemer en geeft dat  b-1 = Res(1/(z + i)) =  1/(2i)
  Voor  n < -1 blijft er minstens n  (z - i) factor tot een negatieve macht genomen in de noemer over, en die is oneindig, dus wordt dat residu gelijk aan nul.

Dan de an:
  n = 0  geeft  Res(1/(z + i)(z - i)) =
 
 
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)