raaklijnen aan ellips


Raaklijnen aan een ellips.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

1. Een formule opstellen.

Dat gaat op dezelfde manier als bij een parabool. Door impliciet differentiëren vinden we eerst de helling a. Daarna volgt b door het raakpunt in te vullen.
En de lijn loodrecht op de ellips (de normaal) vinden we door te stellen dat loodrecht stand geldt a₁• a₂ = -1

Voorbeeld 1.
Gegeven is de ellips 16x²+ 25y² - 100 = 0
Geef de vergelijkingen van de raaklijn en de normaal in het punt (2, 1.2)

oplossing:
32x + 50y • y' = 0 ⇒ y' = -³²^x/₅₀_y dus in dit punt is y' = -^32•2/_50•1.2 = -¹⁶/₁₅.
De raaklijn is y = -¹⁶/₁₅x + b dus moet gelden 1,2 = -¹⁶/₁₅ • 2 + b ⇒ b = 3¹/₃
dat geeft als raaklijn y = -¹⁶/₁₅x + 3¹/₃
De normaal heeft dan helling a = 15/16.
De normaal is y = ¹⁵/₁₆x + b dus moet gelden 1,2 = ¹⁵/₁₆ • 2 + b ⇒ b = -²⁷/₄₀
dat geeft als normaal y = -¹⁵/₁₆x - ²⁷/₄₀Voorbeeld 2.De lijn y = 0,5x + b is een raaklijn van de ellips 4x² + 2y² = 81. Bereken boplossing:De helling van de ellips: 8x + 4y • y' = 0 ⇒ y = -^8x/_4y en dat moet gelijk zijn aan 0,5.Dat geeft y = -4x en dat kun je vervolgens invullen in de vergelijking van de ellips:
4x² + 2(-4x)² = 81 ⇒ 36x² = 81 ⇒ x= ± 1,5x = ±1,5 geeft y = ±6. Controleren met de helling geeft als mogelijkheden (-1.5, 6) en (1.5, -6)(-1.5, 6) geeft 6 = 0,5 • -1,5 + b ofwel b = 6,75
(1.5, -6) geeft -6 = 0,5 • 1,5 + b ofwel b = -6,75

Een andere en ook erg snelle manier om raaklijnen bij een ellips op te stellen is het gebruik van poollijnen.
Dat zullen we tot latere les bewaren.....

Geef een vergelijking van de raaklijnen aan de ellipsen in punt P voor de volgende gevallen:

2x² + 5y² = 88 in het punt P(-2, 4)

y = 0,2x + 4,4

6x²+ 3y² - 81 = 0 in het punt P(-1, -5)

y = -0,4x - 5,4

y² + 2x² + 8y - 4x + 12 = 0 in het punt P(2, -2)

y = -x

2(y + 3)² + 3(x - 1)² = 29 in het punt P(4, -2)

y = -4,5x + 16

Geef een vergelijking van de lijnen die de ellipsen loodrecht snijden in punt P voor de volgende gevallen:

^x²/₁₅+ ^y²/₁₀ = 1 in het punt P(3, -2)

y = -x + 1

4(x + 1)² = 41 - y² in het punt P(-3, 5)

y =-0,625x+3,125

Gegeven is de ellips ax² - 10x + 2y² = 8.
De lijn y = 2x blijkt een raaklijn aan deze ellips te zijn.

Daaruit volgt a = ⁵/_x - 8

Toon dat aan.

Gebruik dit verband plus het feit dat y = 2x om de waarde van a te berekenen.

a = -11,125

Bereken de waarde van a ook met behulp van de discriminant-methode: die zegt dat er maar één oplossing mag zijn als je de raaklijn met de ellips zelf snijdt.

Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt 4 die de ellips 2x² + y² = 81 raken.

Geef de vergelijking van die twee lijnen

y = 4x ± 27

Bereken de afstand tussen die twee lijnen

⁵⁷/_√17

2. Een belangrijke eigenschap.

Een belangrijke eigenschap van raaklijnen aan een ellips kun je vinden door je te beseffen dat de ellips de conflictlijn was van een cirkel en een punt

Omdat F₂ het middelpunt is, is F₂Q de straal van de cirkel. Laat lijn l nu de middelloodlijn van F₁Q zijn. Omdat PF₁ = PQ ligt P dus op l.

Hmmm...
Als we nou kunnen aantonen dat P het enige punt van l is dat op de ellips ligt, dan hebben we bewezen dat l de raaklijn aan de ellips is.
Stel dat er nóg een punt S op l ligt en ook op de ellips....
Dan geldt SF₁ = SQ (want l is middelloodlijn).
En ook F₂S + SF₁ = r (want S ligt op de ellips)
Maar dan is F₂S + SQ = r
Dat kan niet, immers er is maar één kortste verbinding r tussen middelpunt F₂ en punt op de cirkel Q. F₂SQ kan niet één rechte lijn zijn, want dat is F₂PQ al.
Conclusie:

de raaklijn aan de ellips is de middelloodlijn van QF₁

Dat heeft een belangrijk gevolg. Denk de ellips even weg en bekijk de tekening hiernaast. Omdat de raaklijn ook de middelloodlijn is, is driehoek PF₁Q gelijkbenig, dus zijn de beide blauwe hoeken bij punt P in driehoek PQF₁ gelijk.
Maar vanwege overstaande hoeken is ook die derde blauwe hoek daaraan gelijk.
Belangrijke conclusie:

De raaklijn aan een punt P van een ellips maakt gelijke hoeken met PF₁ en PF₂

Dat heeft belangrijke natuurkundige gevolgen, omdat voor weerkaatsing van licht en geluid geldt dat de hoek van inval gelijk is aan de hoek van terugkaatsing.
Zet bijvoorbeeld een lamp in één van de brandpunten. Dan zullen alle lichtstralen die die lamp uitzendt, na weerkaatsing door het andere brandpunt gaan.

Handig om een lampje te maken dat licht vooral naar één punt toe weerkaatst, bijvoorbeeld voor een tandarts die één plekje in je mond heel fel wil verlichten.

En voor geluid geldt hetzelfde. Ook daar geldt "hoek van inval = hoek van weerkaatsing". Dat betekent dat als iemand in een ellipsvormige kamer in het ene brandpunt staat en iets fluistert, alle geluid wordt weerkaatst naar het andere brandpunt. Daar kun je het geluid goed horen, veel en veel beter dan op een andere plek in de kamer.
Het Capitool heeft zo'n beroemde "fluisterkamer" (Statuary Hall) waarin vroeger het Huis van Afgevaardigden plaatsnam. Je kunt je voorstellen dat congreslieden er een geweldige hekel aan hadden dat (geheime) gesprekken op de ene plaats duidelijk op de andere gehoord konden worden! Het verhaal gaat dat John Quincy Adams de kamer doelbewust gebruikte om gesprekken van politieke tegenstanders af te luisteren.

Als een lichtstraal tussen beide brandpunten doorgaat (zoals straal A hiernaast) dan zullen alle weerkaatsingen daarvan óók tussen de brandpunten doorgaan.
Als een lichtstraal (zoals B hiernaast) niet tussen de brandpunten doorgaat dan zullen alle weerkaatsingen dat óók niet doen.
Leg duidelijk uit waarom dat zo is.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2001.

Van twee congruente ellipsen liggen de brandpunten op de hoeken van een vierkant. Zie de figuur hiernaast. De ellipsen snijden elkaar in de middens van de zijden van het vierkant.
In elk van de snijpunten van de ellipsen is de hoek tussen de raaklijnen even groot.

Bereken deze hoek in graden nauwkeurig.

63º

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2003.

Twee ellipsen hebben het brandpunt F₁ gemeenschappelijk; de andere twee brandpunten zijn F₂ en F₃. De ellipsen snijden elkaar in punt P. Zie de figuur hieronder.

De raaklijnen in P aan de twee ellipsen maken vier hoeken met elkaar. De hoek tussen de twee halve raaklijnen die geheel buiten de ellipsen liggen noemen we α.
Bewijs dat geldt: ∠F₂PF₃ = 2α

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2004.

In de figuur hiernaast is een vierkant getekend met daarin een ellips die raakt aan de vier zijden van het vierkant.
P, Q, R en S zijn de hoekpunten van het vierkant. A, B, C en D zijn de raakpunten van de ellips met het vierkant. F₁ en F₂ zijn de brandpunten van de ellips. De lijn PR is een symmetrieas van deze figuur.

Er geldt: ∠PAF₁ = ∠QBF₁Toon dat aan.

Een ellips rolt langs de buitenkant van een andere, identieke, ellips. In de beginsituatie liggen de lange assen precies op één lijn. Zie de volgende figuur.

Bewijs dat brandpunt V₁ van de rollende ellips een cirkel beschrijft met als middelpunt het brandpunt F₁ van de vaste ellips.

10.

P is een punt op een ellips met brandpunten F₁ en F₂ en middelpunt M.
r is de raaklijn aan de ellips in punt P.
l is een lijn door F₂ loodrecht op r
S is het snijpunt van l en r

Bewijs dat MS = 0,5 •(PF₁ + PF₂)

Wat betekent deze eigenschap voor de meetkundige plaats van alle punten S?