 |
|
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
| Pythagoras
in de Eenheidscirkel. |
|
|
Hiernaast staan in een
eenheidscirkel voor drie hoeken
α,
β en
γ
de waarden van de bijbehorende sinus en de cosinus aangegeven.
Daar valt iets aan op......
Het zijn steeds zijden in een rechthoekige driehoek. En verder is de
schuine zijde van die driehoek steeds gelijk aan 1 (de straal van de
eenheidscirkel).
Als je zegt: "rechthoekige driehoek" dan zegt elke wiskundige direct
"Pythagoras". En als je naar de driehoeken hiernaast kijkt zie
je dat de stelling van Pythagoras in deze driehoeken steeds het zelfde
resultaat heeft:
(sinx)2 + (cosx)2 = 1 |
|
|
|
Notatieafspraak
Om veel haakjes te voorkomen schrijven we voortaan (sinx)2
als sin2x en (cosx)2
als cos2x
Dan wordt de stelling van Pythagoras in de eenheidscirkel: |
|
|
|
|
|
|
| 1. |
a. |
Van een hoek
α
is sinα = 2/3.
Bereken de exacte waarde van cosα. |
|
|
b. |
Van een hoek
α
is cosα = 1/5. Bereken
de exacte waarde van tanα |
|
|
|
|
|
|
|
| 2. |
| a. Toon aan dat
geldt (sinx + cosx)2
= 1 + 2sinxcosx. |
|
|
| |
| b. Toon aan dat
geldt: cos4α
- sin4α = 1
- 2sin2α. |
|
|
| |
|
|
c.
Toon aan dat geldt: |
sin4x
- cos4x
+ cos2x = sin2x
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Toepassing
in vergelijkingen. |
|
|
|
| Deze Pythagoras-vorm kun je handig
gebruiken als in een opgave staat cos2x of sin2x
en je wilt dat graag veranderen in sinx of cosx, zoals in
het volgende voorbeeld. |
|
|
|
Voorbeeld: Los op
in [0, 2π]: sin(x)
= 2cos2x - 1
sin2 x + cos2 x
= 1 geeft cos2x = 1
- sin2x
dus kun je die cos2x vervangen:
sin(x) = 2(1 - sin2 x)
- 1
⇒ 2sin2x +
sinx - 1 = 0
Als je nu sinx = p stelt, dan staat er 2p2
+ p - 1 = 0 en dat geeft met de ABC-formule
p = 1/2 ∨
p = -1
⇒ sinx = 1/2
∨ sinx = -1
⇒ x = 1/6π
+ k • 2π ∨
x =
π - 1/6π
+ k • 2π ∨
x = 11/2π
+ k • 2π
Dat geeft de oplossingen x = 1/6π,
x = 5/6π
, x = 11/2π. |
|
|
|
| 3. |
Los algebraïsch op
in [0, 2π], geef je antwoord in twee
decimalen: |
| |
|
|
|
|
a. |
sinα
= 2cos2α |
|
|
b. |
cosα
+ sin2α = -0,19. |
|
| |
c. |
2sin2α
+ 4cos2α = 3. |
|
0,79 of 2,36 of 3,93 of 5,50 |
|
| |
|
|
|
| |
|
| 4. |
a. |
Los op in [0, 2π]:
-2cosx + √(2 + 4cosx) =
1 |
|
| |
|
|
|
| |
b. |
Los op in [0, 2π]:
3 - 3sinx + 2cos2x = 0 |
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| 5. |
Van de vergelijking sin2x
+ acosx - 2 = 0 op interval [0, 2π] is x
= 1/3π
een oplossing
Bereken algebraïsch de andere oplossing(en) van deze vergelijking. |
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| 6. |
Bereken algebraïsch: cos20º
+ cos22º + cos24º
+ ... + cos290º |
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| 7. |
Voor een hoek tussen 0 en 0,5π
geldt: sinα + 1 = 2cosα
Bereken algebraïsch hoe
groot sinα
is. |
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| 8. |
Examenvraagstuk VWO,
Wiskunde B, 2010 Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die
onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft 19 gelijke ruiten.
Zie de foto.
In een wiskundig model van deze onderzetter worden de
breedte en de dikte van de staven verwaarloosd.
Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het
scharnierpunt linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit
noemen we O. De grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α
. Zie de volgende figuur. |
 |
| |
|
|
|
| |
 |
| |
|
|
|
| |
We kiezen lengte 1 voor de zijde van een ruit. De lengte
l en de breedte b van het model zijn functies van α ,
waarbij 0 ≤
α ≤
π .
Er geldt: l = 10cos(1/2α)
en b = 6sin(1/2α) |
| |
|
|
|
| |
a. |
Toon aan dat de formules voor
l en b juist zijn. |
| |
|
|
|
| |
 |
| |
|
|
|
| |
b. |
Toon aan dat deze formule voor
OQ
juist is. |
| |
|
|
 |
| |
Het model van de onderzetter kan
zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste
scharnierpunten op één cirkel met middelpunt O liggen. Zie de figuur
hiernaast. |
| |
|
|
| |
c. |
Bereken voor welke waarde van α
dit het geval is. Rond je antwoord af op twee decimalen. |
| |
|
|
| |
|
|
|
| 9. |
Gegeven zijn op interval [0, 2π]
de functies: fp(x) = 1
- p •
cos2x en g(x)
= sinx |
| |
|
|
|
| |
a. |
Los
op f2(x) < g(x) |
|
〈0,
1/2π〉
〈1/2π,
11/6π〉
〈15/6π,
2π〉 |
|
| |
|
|
| |
b. |
De
lijn y = a snijdt de grafiek van f5 voor
0 < x <
π in de
punten A en B.
Bereken a als de oppervlakte van driehoek OAB gelijk
is aan
π/6
• a |
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
 |
|
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|