|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Pythagoreïsche drietallen. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Pythagoreïsche drietallen zijn setjes van 3 gehele getallen waarvoor de stelling van Pythagoras geldt. Een voorbeeld is 3 - 4 - 5 want 32 + 42 = 52 En dan zijn er natuurlijk meteen de flauwe andere drietallen: 6 - 8 - 10 9 - 12 - 15 12 - 16 - 20 15 - 20 - 25 enz. Dat noemen we geen nieuwe drietallen, omdat je ze allemaal kunt delen zodat er weer 3-4-5 uitkomt. We zijn in deze les op zoek naar "originele" Pythagoreïsche drietallen. Euclides had al een prachtige formule om zulke drietallen te vinden, namelijk: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Dat dat inderdaad zo
is kun je natuurlijk makkelijk controleren, dat lukt me zelfs in één
regel, kijk maar: (m2 - n2)2 + (2mn)2 = (m4 - 2m2n2 + n4 ) + 4m2n2 = m4 + 2m2n2 + n4 = (m2 + n2)2 q.e.d. Een interessantere vraag is natuurljjk: Hoe kóm je d'r op?? Laten we het probleem a2 + b2 = c2 vertalen naar een meetkundig probleem. Dat deden de Grieken eigenlijk zo vaak het maar kon. Misschien dat we dan iets kunnen snappen of ontdekken van de gedachtengang van Euclides. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x2
+ y2 = c2 is natuurlijk de
vergelijking van een cirkel met middelpunt de oorsprong en straal c.
(Daar in die driehoek stáát natuurlijk gewoon de stelling van Pythagoras met x2 + y2 = c2 ) Als je nou voor de straal van die cirkel een geheel getal neemt, dan is c tenminste alvast geheel. De vraag "Welk drietal (x, y, c) is een Pythagoreïsch drietal?" is dan het zelfde als de vraag: |
 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Nou is er een leuk
trucje om zulke roosterpunten te vinden, en dat staat hiernaast
uitgelegd. Teken een rechte lijn door het punt (-c, 0) naar het blauwe stuk van de cirkel. Die snijdt de cirkel in punt P. Stel nu een formule op van die rechte lijn en bereken met die formule de snijpunten met de cirkel. Dat geeft in iedere geval een kwadratische vergelijking, en de oplossingen ervan kun je met de ABC-formule vinden. Maar één van die oplossingen is een geheel getal: namelijk x = -c ! Dat betekent dat de discriminant van die ABC formule ook als geheel kwadraat te schrijven is, dus is de tweede oplossing óók een getal zonder wortels!! Dus hebben we een punt P gevonden met een gehele x-coördinaat zonder wortels erin!!! En de y heeft dan ook geen wortels, immers die vind je door x in de rechte lijn formule in te vullen. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Weet je wat! Laten we
eens gek doen: We gaan dit hele
verhaal gewoon UITVOEREN! Een lijn door (-c, 0) heeft vergelijking y = px + pc. Daarin is p een willekeurig getal. Het stelt de helling van de rode lijn voor, dus als we straks een punt P op het blauwe cirkelstuk willen hebben moeten we nemen 0 < p < 1 Snijpunt van y = px + pc met x2 + y2 = c2 geeft: x2 + (px + pc)2 = c2 x2 + p2x2 + 2p2cx + p2c2 - c2 = 0 x2(1 + p2) + 2p2cx + (p2c2 - c2) = 0 Dat geeft een ABC-formule met discriminant D = (-2p2c)2 - 4 • (1 + p2) • (p2c2 - c2) D = 4p4c2 - 4p4c2 + 4c2 - 4p2c2 + 4p2c2 = 4c2 √D = ±√(4c2) = ±2c. Mooi: een geheel getal. Dat moest ook! De oplossingen van de ABC formule worden dan: x = (-2p²c ± 2c)/2(1 + p²) = -c of c • (1 - p²)/(1 + p²) Die eerste is inderdaad zoals verwacht (gelukkig maar). Die tweede geeft punt P. Dan is yP = px + pc = pc • (1 - p²)/(1 + p²) + 1) = pc • ((1 - p²)/(1 + p²) + (1 + p²)/(1 + p²) = 2pc/(1 + p²) Daarmee hebben we een Pythagoreïsch drietal gevonden zonder wortels erin: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (x, y,
c) is het drietal ( c • (1 - p²)/(1
+ p²) ,
2pc/(1 + p²)
, c) Dat kun je nog vereenvoudigen door alle drie door c te delen en met (1 + p2) te vermenigvuldigen: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Neem nu p =
n/m, immers p was de helling van die
rode lijn, en die moest tussen 0 en 1 liggen. Die kun je dus schrijven
als n/m met n < m. Dan vind je het drietal (1 - (n/m)2), (2n/m), (1 + (n/m)2) Om echte gehele getallen te krijgen vermenigvuldig je alles tenslotte met m2 Dat geeft het drietal (m2 - n2), (2mn), (m2 + n2) Precies zoals Euclides hierboven al vond. Kies maar een m en een n en je vindt een Pythagoreïsch drietal. Hier zijn er een aantal: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Maar die zijn niet allemaal "origineel".... | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Dat klopt:
degenen met dezelfde kleur zijn eigenlijk gelijk aan elkaar. Kunnen we van tevoren al zeggen of we een origineel drietal krijgen of niet? Kijk daarvoor naar de drie getallen m2 - n2 en 2mn en m2 + n2 Van 2mn weten we dat het een even getal is (Dûh: er staat een 2 in!) Maar dat betekent dat m2 - n2 NIET óók even mag zijn, want als dat zo is, dan is m2 + n2 het ook (som van twee even getallen is even) dus is het hele drietal door 2 te delen. Conclusie: m2 - n2 moet oneven zijn. Maar omdat m2 - n2 = (m - n)(m + n) moeten die beide getallen óók oneven zijn (een even getal ergens mee vermenigvuldigen levert altijd weer een even getal op). Kortom: we mogen alleen de m en n nemen die opgeteld een oneven getal geven (Als m + n oneven is, dan is m - n het ook want het verschil ertussen is 2n en dat is even). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Daarmee vallen een groot aantal drietallen uit de tabel hierboven af. De helft om precies te zijn: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Kijk: da's dan weer mooi: Nou zijn er geen dubbelen meer!! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
