Pythagoreïsche drietallen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Een Pythagoreïsch drietal bestaat uit drie gehele getallen a, b enwaarvoor geldt  a2 + b2 = c2 . De drie getallen zouden dus de drie zijden van een rechthoekige driehoek kunnen zijn. Hier zie je er een paar:
       

       
Die eerste twee zijn nog gelijkvormig, maar die anderen niet. Er blijken oneindig veel verschillende Pythagoreïsche drietallen te zijn. Maar hoe vind je ze?
 
Nou is de vergelijking van een cirkel met straal r en middelpunt O gelijk aan x2 + y2 = r2. En dat is natuurlijk precies de stelling van Pythagoras, maar dan met andere letters. Dat betekent dat een rechthoekige driehoek met gehele zijden a, b en c  wiskundig gezien eigenlijk precies hetzelfde is als een cirkel met middelpunt O en straal c, die door het roosterpunt (a, b) gaat.

Door te schrijven   (x/r)2 + (y/r)2 = 1  brengen we het probleem terug tot het vinden van punten van de cirkel x2 + y2 = 1  met als coördinaten breuken, Dan kun je er makkelijk een Pythagoreïsch drietal van maken.

We gaan proberen voor deze cirkel een parameterkromme te maken.

De truc daarvoor zie je hiernaast.

Laat de t die bij een willekeurig punt P van de cirkel hoort gelijk zijn aan de helling PQ waarbij Q het punt (1,0) is. Dus een lijn met helling t vanaf Q levert een snijpunt P met de cirkel op. In de figuur hiernaast zie je dat, als t alle waarden doorloopt, dat dan punt Q de cirkel doorloopt.
 
Dat geeft  y = t(x - 1)
Invullen in de vergelijking van de cirkel:  x2 + t2(x - 1)2 = 1 
⇒  x2 + t2x2 - t22x  + t2 - 1 = 0
x2 (1 + t2) + x(-2t2 ) + (t2 - 1) = 0
Nou, daar kun je de ABC-formule op loslaten:
De oplossing met het plusteken is saai:  x = 1, en dat is natuurlijk punt Q.
De oplossing met het minteken is interessanter:
Daarmee wordt de parametervoorstelling van de cirkel:
       

       
En het mooie van de parametervoorstelling is, dat er alleen maar hele machten van t in voorkomen.
Waarom dat zo mooi is?
Nou, als je voor t een geheel getal neemt, dan krijg je voor x en y breuken, en daar kun je dan makkelijk een Pythagoreïsch drietal met gehele getallen van maken.
Neem bijvoorbeeld t = 2, dat geeft  x = 3/5 en  y = -4/5   dus  geldt  (3/5)2 + (-4/5)2 = 1   dus 32 + 42 = 52 
Het levert het Pythagoreïsche drietal 3-4-5 op.
Hier is een lijstje met de drietallen die t = 1 t.m. 10 opleveren:
       
t drietal vereenvoudigd
1 0 - 2 - 2 0 - 1 - 1
2 3 - 4 - 5 3 - 4 - 5
3 6 - 8 - 10 3 - 4 - 5
4 8 - 15 - 17 8 - 15 - 17
5 10 - 24 - 26 5 - 12 - 13
6 12 - 35 - 37 12 - 35 - 37
7 14 - 48 - 50 7 - 24 - 25
8 16 - 63 - 65 16 - 63 - 65
9 18 - 80 - 82 9 - 40 - 41
10 20 - 99 -101 20 - 99 -101
       
En ga zo maar door.... COOL toch?.......
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)