prooi-roofdiercyclus


Prooi-roofdier cyclus.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een boswachter houdt een groot aantal jaren het aantal vossen in zijn bos bij, en merkt dat dat aantal vrij regelmatig schommelt. Hij vindt de volgende tabel:

jaar	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012
aantal vossen	310	306	284	275	280	303	318	326	313	304	285	272	279

Deze tabel levert de grafiek hieronder waarin dat schommelen nog duidelijker te zien is.

Een redelijke formule die wel zo'n beetje bij deze gegevens past is de grafiek van V(t) = 300 + 25sin(0,79t - 3,93)
Daarbij is t = 0 in 2000 genomen. Controleer deze formule zelf maar. Hij is hierboven rood getekend.

Het wordt pas interessant als de boswachter ook gaat bijhouden hoe het aantal konijnen in zijn bos varieert. Omdat vossen als voedsel voornamelijk konijnen hebben vermoedt de boswachter dat er een verband zal zijn tussen het aantal konijnen en het aantal vossen in zijn bos. Hij vindt het bijvoorbeeld logisch dat, als er veel konijnen zijn, het aantal vossen zal toenemen, omdat ze veel voedsel zullen kunnen vinden.
Maar als het aantal vossen groot is, dan zal het aantal konijnen wel afnemen omdat er veel opgegeten worden. Kortomn: hij vermoedt een bepaalde wisselwerking.

Voor het aantal konijnen vindt hij de volgende tabel, grafiek en formule:

jaar	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012
aantal konijnen	2100	1930	1990	2360	2750	2910	2800	2350	2100	1900	2010	2400	2690

Aan het getal 0,79 kun je al zien dat beide grafieken dezelfde periode hebben.
Je kunt het ook zien als je beide grafieken in één figuur plot, zoals hieronder is gebeurd, met een schaalverdeling voor de konijnen aan de linkerkant en voor de vossen aan de rechterkant.

Je ziet hierin inderdaad de verwachte effecten: als de blauwe grafiek hoog is (veel konijnen) dan stijgt de rode grafiek (de vossen hebben veel voedsel dus hun aantal neemt toe) en als de rode grafiek hoog is (veel vossen) dan daalt de blauwe grafiek (er worden veel konijnen opgegeten).

Een erg leuke manier om dit in beeld te brengen is, om het aantal vossen en het aantal konijnen niet uit te zetten tegen de tijd, maar tegen elkaar! Combineer beide tabellen:

jaar	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012
aantal vossen	310	306	284	275	280	303	318	326	313	304	285	272	279
aantal konijnen	2100	1930	1990	2360	2750	2910	2800	2350	2100	1900	2010	2400	2690

Zet nu de tweede en derde rij tegen elkaar uit, bijvoorbeeld de tweede rij (aantal vossen) op de x-as en de derde rij (aantal konijnen) op de y-as. Dat geeft zoiets:

Het wordt een soort ronddraaiende beweging. De jaartallen staan steeds in het groen bij de meetwaarden vermeld.
Als je niet de meetwaarden uit de tabel gebruikt, maar de precieze waarden die de formules van V(t) en K(t) op zouden leveren, dan vind je een nog veel mooier verloop:

Deze figuur heet heel toepasselijk een prooi-roofdier cyclus.


1.	examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1984.



	In deze figuur is de grafiek getekend van een prooi-roofdier cyclus met een periode van 10 jaar.

	a.	Hoe groot is de gemiddelde verandering van het aantal roofdieren per jaar in het tijdsinterval van t = 0 tot t = 2,5? Hoe groot is de gemiddelde verandering van het aantal prooidieren per jaar in het datzelfde tijdsinterval?

	b.	Geef ook de gemiddelde verandering per jaar van het aantal roofdieren en van het aantal prooidieren over het gehele tijdsinterval van t = 21 tot t = 25.

	c.	Teken de grafiek van het aantal prooidieren als functie van de tijd. Teken in een andere figuur de grafiek van het aantal roofdieren als functie van de tijd.

	d.	Door allerlei invloeden van buitenaf, bijvoorbeeld veranderingen in het milieu en jacht, wordt het patroon gewijzigd. De grafieken van het aantal roofdieren en van het aantal prooidieren als functie van de tijd zijn globaal weergegeven in de twee onderstaande figuren.



		De prooi-roofdiercyclus boven aan deze opgave verandert door bovengenoemde invloeden. Teken hoe deze grafiek er nu uit komt te zien in het tijdsinterval van t = 0 tot t = 10.