poollijnen


Raaklijnen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Deze keer gaat het niet over raaklijnen in een punt van een kromme, maar over lijnen die de kromme raken vanaf een punt erbuiten.
Hiernaast zie je dat er bij een cirkel twee zulke raaklijnen vanuit een punt P te tekenen zijn.
Laten we (voor het gemak) een cirkel met middelpunt de oorsprong en straal r nemen. Dan is de vergelijking daarvan x²+ y² = r² ........(1)

De lijn tussen beide raakpunten (dus lijn R₁R₂) noemen we de poollijn.
We gaan nu de vergelijking van de poollijn opstellen, en dat gaat in de volgende stappen:

1. Bereken de helling van MR en daaruit de helling van RP.
2. Stel met deze helling een vergelijking op van RP.
3. Gebruik het feit dat R op RP ligt, én op de cirkel.

:Laten we eerst stellen dat P = (x_P, y_P) en R = (x_R, y_R)

Stap 1.
Omdat M = (0,0) en R = (x_R, y_R) is de helling van MR gelijk aan y_R/x_R dus de helling van RP is -x_R/y_R

Stap 2.
Een lijn door (x_P, y_P) met helling -x_R/y_R heeft vergelijking   (y - y_P) = -x_R/y_R • (x - x_P)
Vermenigvuldig alles met y_R en je krijgt: yy_R - y_Py_R = -xx_R + x_Px_R

Stap 3.
Vul in y = y_R en x = x_R:   y_R² - y_Py_R = -x_R² + x_Px_R
Dat geeft:   x_Px_R + y_Py_R = x_R² + y_R²
Maar omdat R op de cirkel ligt is de rechterkant gelijk aan r² : x_Px_R + y_Py_R= r²

Deze laatste vergelijking is een lineaire vergelijking waar de coördinaten van R aan voldoen. Het is dus de rechte lijn door beide raakpunten.
Voor de poollijn van punt P ten opzichte van de cirkel geldt dus:

De poollijn van punt P(x_P, y_P) ten opzichte van de cirkel x² + y² = r²
is de lijn x_Px + y_Py = r²

Het is de rode lijn in de figuur hiernaast.
Als we die poollijn eenmaal hebben gevonden kunnen we makkelijk de coördinaten van de raakpunten R₁ en R₂ vinden door de snijpunten van die poollijn met de cirkel te berekenen.

Voorbeeld.
Geef de vergelijkingen van de raaklijnen aan de cirkel x² + y² = 25 die door het punt (7,1) gaan.

De poollijn van (7,1) is de lijn 7x + y = 25 dus y = 25 - 7x
Dat geeft x² + (25 - 7x)² = 25
⇒ x² + 625 - 350x + 49x² = 25
⇒ 50x² - 350x + 600 = 0
⇒ x² - 7x + 12 = 0
⇒ (x - 3)(x - 4) = 0
⇒ x = 3 ∨ x = 4
De raakpunten zijn dan (3,4) en (4, -3)
De raaklijn door (3,4) en (7,1) heeft vergelijking y = -³/₄x + 6¹/₄De raaklijn door (4, -3) en (7,1) heeft vergelijking y = 1¹/₃x - 8¹/₃

Als het middelpunt niet de oorsprong is?

Nou: dan zorg je maar dat het de oorsprong wórdt!!!!!

Je verschuift de hele figuur gewoon zó, dat het middelpunt wél de oorsprong wordt. Dan bereken je van de nieuwe figuur die je dan hebt gekregen de raaklijnen en na afloop schuif je de hele zooi gewoon weer terug "op zijn plaats".
Voila! Simpel toch???

Voorbeeld
Geef de vergelijkingen van de raaklijnen aan de cirkel x² + y² + 6x - 8y = 144 die door het punt (14, 11) gaan.

x² + 6x + y² - 8y = 144
⇒ (x + 3)² - 9 + (y - 4)² - 16 = 144
⇒ (x + 3)² + (y - 4)² = 169
Het is dus een cirkel met middelpunt (-3, 4).

Schuif de hele figuur nu 3 naar rechts en 4 omlaag. Dan krijg je de cirkel x² + y² = 169 en het punt (17, 7)
De poollijn is nu 17x + 7y = 169 ofwel y = -¹⁷/₇x + ¹⁶⁹/₇
Invullen geeft x² + (-¹⁷/₇x + ¹⁶⁹/₇)² = 169
⇒ x² + ²⁸⁹/₄₉x² - ⁵⁷⁴⁶/₄₉x + ²⁸⁵⁶¹/₄₉ = 169
⇒ ³³⁸/₄₉x² - ⁵⁷⁴⁶/₄₉x + ²⁰²⁸⁰/₄₉ = 0
⇒ x = 12 ∨ x = 5.

Dat geeft de raakpunten (12, -5) en (5, 12).
Schuif de figuur nu terug, dus 3 naar links en 4 omhoog. Dat geeft raakpunten (9, -1) en (2, 16)
De lijn door (9,-1) en (14,11) heeft vergelijking y = 2²/₅x - 22³/₅
De lijn door (2, 16) en (14,11) heeft vergelijking y = -⁵/₁₂x + 16⁵/₆

Poollijnen bij Parabolen, Ellipsen en Hyperbolen.

Dat ziet er dan zó uit:

De rode vergelijkingen horen bij de rode poollijnen.

Zie je de rode draad?

Het komt er eigenlijk elke keer op neer dat van de x^en en y^en van de vergelijking de helft wordt vervangen door x_P en y_P.Van al de kwadraten wordt er telkens ééntje vervangen, en ook de 4cx wordt netjes verdeeld over 2cx en 2cx_P.
Mooi regelmatig hé?

Poollijn nodig?
"Vervang de helft van de x^en en y^en door x_P en y_P"

Wie graag een bewijs daarvan wil zien moet maar hiernaast kijken, maar er staat niet veel nieuws: het gaat eigenlijk precies zo als bij het afleiden van de poollijn bij een cirkel aan het begin van deze les.

Stel vergelijkingen van de volgende lijnen op.

De lijnen door (4, 6) die de parabool y² = 8x raken.

y = x + 2
y = ¹/₂x + 4

De lijnen door (2, 12) die de ellips 4x² + y² - 80 = 0 raken

y = x + 10
y = -4x + 20

De lijnen door (¹/₂, ³/₅) die de hyperbool 2x² - 5y² + 13 = 0 raken

y = ²⁸/₄₅x + ¹³/₄₅
y = -⁸/₁₅x + ¹³/₁₅

Geef de coördinaten van de raakpunten in de volgende gevallen:

De lijnen door (-4, 24) die de ellips 9x² + 4y² + 36x - 24y = 828 raken.

(4,15) en (-10,12)

De lijnen door (-1³/₅, -4) die de hyperbool 5x² - 2y² + 40x + 8y = 0 raken.

(-16, 20) en (0,4)

De lijnen door (11, 5) die de parabool y² + 8y = 12x - 76 raken.

(8,2) en (17,8)

Gegeven is de parabool y² = 4x
Van welk punt P buiten deze parabool zou de lijn y = 2x - 4 de poollijn zijn?
Dat kun je op twee manieren berekenen:

Je kunt de poollijn snijden met de parabool, en in die twee snijpunten dan de raaklijn opstellen.
Het punt P zal het snijpunt van die twee raaklijnen zijn.
Bereken de coördinaten van P op deze manier.

Bereken uit de poollijnvergelijking direct zonder verdere berekeningen de coördinaten van P

P = (-2, 1)

Gegeven is de ellips 4x² + y² = 200
De lijn l: 2x + y = 20 is poollijn van deze ellips.
De lijn k: 14x + y = 100 is ook poollijn van deze ellips.

Leg uit dat l te schrijven is als 20x + 10y = 200 en dat daaruit volgt dat het punt P waarvan l de poollijn is het punt (5, 10) is.

Geef het punt waarvan lijn k poollijn met de ellips is.

(7,2)

Gegeven is de hyperbool 2x² - 6y² = 24
De lijn x + 12y + 6 = 0 is de poollijn van deze hyperbool ten opzichte van het punt P.
Bereken de coördinaten van P.

(-2,8)

Poollijnen en raaklijnen.

Kijk eens naar het volgende plaatje.

Je ziet een punt P met twee rode raaklijnen aan de ellips en een blauwe poollijn die bij P hoort.
Maar als punt P naar de ellips toeloopt, dan verandert die poollijn in een raaklijn!
Dat betekent dat de poollijn-vergelijking voor punten op de ellips het zelfde is als de raaklijn!
Een erg snelle manier om een raaklijn op te stellen!!

Daarmee kun je ineens allerlei vragen over raaklijnen snel beantwoorden.

Voorbeeld.
De lijn 3x + 2y = p raakt de ellips 4x² + y² = 25. Bereken in dat geval p.

Als R het raakpunt is, dan is de vergelijking van de raaklijn 4xx_R + yy_R = 25 en dat moet dezelfde lijn zijn als
3x + 2y = 25.
Aan de coëfficiënten van x en y zie je dat 4x_R : y_R = 3 : 2 dus 8x_R = 3y_R ⇒ x_R = ³/₈y_R
Dat raakpunt moet op de ellips liggen dus voldoen aan de vergelijking van de ellips.
4(³/₈y_R)² + y_R² = 25 geeft y_R = 4, en vervolgens x_R = 1¹/₂.
3x_R + 2y_R = p levert dan op dat p = 12¹/₂.

Vooruit, nog maar een voorbeeld.
De lijn x + y = 8 raakt de ellips x²+ ay² = 16. Bereken de waarde van a.

Als R het raakpunt is, dan is de raaklijn xx_R + ayy_R = 16 en dat moet hetzelfde zijn als x + y = 8
Vermenigvuldig die laatste met 2, dan moet gelden dat 2x + 2y = 16 hetzelfde is als xx_R + ayy_R = 16
Dus x_R = 2 en y_R = ²/_a
Invullen in de ellipsvergelijking: 4 + ⁴/_a = 16 en dus is a = ¹/₃, en het raakpunt is (2, 6).