toetsen op een piano


De toetsen op een piano.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Hiernaast zie je een foto van de toetsen op een piano.

Je zult je afvragen: "Wat valt dáár nou voor wiskunde aan te beleven?".

Nou, genoeg!!

Die toetsen lijken op een heel regelmatige manier naast elkaar te liggen. Maar als je wat preciezer kijkt dan zie je bijvoorbeeld dat de witte toetsen aan de achterkant niet allemaal even breed zijn! En ook liggen de voorkanten van de zwarte toetsen niet precies tussen twee witten in.

Een octaaf (dat is het patroon van zwart-wit dat zich herhaalt), ziet er uit als hiernaast.
Stel dat alle witten aan de achterkant breedte w hebben en aan de voorkant breedte W. Stel verder dat alle zwarten breedte z hebben.
Dan zie je dat voor het linkerdeel moet gelden 3w + 2z = 3W
En voor het rechterdeel moet gelden: 4w + 3z = 4W

Maar als je dat stelsel van twee vergelijkingen oplost geeft de eerste vergelijking
w + ²/₃z = W, en dan geeft de tweede, als je die W substitueert:
4w + 3z = 4(w + ²/₃z) ⇒ 4w + 3z = 4w + ⁸/₃z ⇒ z = 0
Dat kan natuurlijk niet; zwarte toetsen met breedte nul!!

Omdat pianisten graag de totale breedte W van de witte toetsen constant willen hebben (zodat hun vingers tussen twee witte tonen die even ver van elkaar afliggen een even grote sprong moeten maken), en omdat fabrikanten graag alle zwarte toetsen even breed willen hebben zul je dus de breedte van de witte toetsen aan de achterkant moeten laten verschillen. De zwarte toetsen liggen dan alleen niet even ver van elkaar!

Laten we die breedtes c, d, e, f, g, a en b noemen (naar de namen van de toetsen) zoals hiernaast. Dan hebben we het volgende probleem:

Hoe kun je ervoor zorgen dat het verschil tussen c, d, ..., b zo klein mogelijk is?

Dat geeft oneindig veel mogelijke oplossingen. We zijn op zoek naar de oplossingen waarvoor geldt dat de groottes van de achterkant van de witte toetsen (c, d, e, ..., b) zo weinig mogelijk van elkaar verschillen.

Een hele simpele oplossing is d = g = a = W - z en b = c = e = f = W - ¹/₂z zoals je bij het toetsenbord hierboven ziet. De zwarten liggen dan met hun voorkant precies midden tussen twee witten in. In praktijk kom je dit toetsenbord niet tegen (in sommige cartoons hebben ze wel eens zulke piano's).
De toetsen schelen dan in breedte aan de achterkant ¹/₂z

Je kunt er natuurlijk ook voor kiezen om alle achterkanten gelijk te hebben op ééntje na.
Bijvoorbeeld a = b = c = e = f = g = x en d = y
Dat geeft 2x + y + 2z = 3W en 4x + 3z = 4W.
De tweede geeft dan x = W - ³/₄z en dan geef de eerste dat y = W - ¹/₂z
x en y schelen in breedte nu ¹/₄z
Sommige keyboards, zoals bijvoorbeeld de Roland HP-70 gebruiken dit systeem (zie hiernaast).

Als je die ene andere toets in het tweede groepje toetsen kiest, bijv. a = b = c = d = e = f = x en g = y
Dan vind je de breedtes aan de achterkant x = W - ²/₃z en y = W - z en dat scheelt ¹/₃z

Een andere oplossing is c = d = e = f = b = W - ²/₃z en g = a = W - ⁵/₆z
Dat geeft een maximaal verschil van slechts ¹/₆z.
Zie het plaatje hiernaast.

Het kan nog beter!
Neem maar c = e = W - ⁵/₈z en a = b = d = f = g = W - ³/₄z
Dan is het maximale verschil nog maar ¹/₈z.
Zie het plaatje hiernaast.
Een aantal bestaande piano's gebruikt deze methode.

De beste oplossing
De beste oplossing is c = d = e = W - ²/₃z en f = g = a = b = W - ³/₄z
Dan is het maximale verschil nog maar ¹/₁₂z
Zie het plaatje hiernaast.
Dit patroon wordt op veel keyboards gebruikt, bijv. de Roland PC-100.
't Is helemaal mooi "symmetrisch" omdat dat eerste groepje (c, d, e) aan de achterkant allemaal even breed is, en het tweede groepje (f, g, a, b) ook.