permutaties


Permutaties.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Permutaties zijn eigenlijk faculteitsbomen die niet helemaal afgemaakt worden.

Neem bijvoorbeeld een landkaart met 10 landen die we willen inkleuren, waarbij we elk land een verschillende kleur willen geven. Voor ons staat een kleurdoos met 24 verschillende kleurpotloden. Dat moet dus ruim lukken.
We hebben zelfs teveel keuze! 10 potloden was ook al wel genoeg.
Het gaat er nu dus om op hoeveel manieren we 10 dingen (potloden) kunnen kiezen uit een verzameling van 24 (de kleurdoos). Daarbij is de volgorde van belang (als we land 1 rood kleuren en land 2 groen dan vinden we dat wat anders dan land 1 groen en land 2 rood). Dit noemen we het aantal permutaties van 10 uit 24.

Permutaties:
• kies k dingen uit een verzameling van n
• de volgorde is wél van belang
• het is zonder terugleggen

Het boomdiagram begint met 24 takken, dan 23, dan 22, enz. Dus dat lijkt een faculteitsboom te worden.
Maar nu gaat het niet helemaal door tot 1, want we hoeven slechts 10 kleuren te kiezen.
Het wordt dus 24 • 23 • 22 • 21 • 20 • 19 • 18 • 17 • 16 • 15 mogelijkheden. Hier worden in totaal tien getallen met elkaar vermenigvuldigd.

Je rekenmachine heeft er zelfs een knop voor!

Als je er zoals in het voorbeeld hierboven 10 uit de 24 moet kiezen (zonder terugleggen) dan kun je het aantal manieren daarvoor met je GR in één keer berekenen met de knop nPr.

Dat gaat zó:
toets in: 24 MATH PRB 2:nPr 10 ENTER en je vindt in één keer het aantal 7,11 • 10¹²

Een leraar gaat in zijn klas van 28 leerlingen 4 verschillende boeken verloten. Niemand krijgt twee boeken.
Op hoeveel manieren kan hij de boeken verloten?

491400

Een leraar heeft drie HAVO-4 klassen die hij op een dag een proefwerk wiskunde gaat geven. Omdat ze niet tegelijk les hebben geeft hij de klassen verschillende proefwerken. Hij heeft een verzameling van 10 proefwerken meegenomen. Op hoeveel manieren kan hij zijn klassen een proefwerk geven?

720

Twaalf echtparen vormen samen een bridgevereniging. Men wil een bestuur gaan kiezen bestaande uit een voorzitter, een secretaris en een penningmeester. Er mag echter niet een heel echtpaar in het bestuur zitten.
Hoeveel mogelijke besturen zijn er te kiezen?

10560

Voetbalteam F1 heeft om geld in te zamelen 234 loten in de buurt verkocht. De notaris zal daaruit drie verschillende loten trekken voor een eerste, een tweede en een derde prijs. Er kunnen niet twee of meer prijzen op één lot vallen. Op hoeveel verschillende manieren kan hij dat doen?

12649104

Oei! Het Nederlands elftal moet weer eens strafschoppen nemen. De coach moet bij de scheidsrechter vijf namen op volgorde inleveren. Het moeten spelers zijn die aan het eind van de wedstrijd in het veld stonden. In de ingeleverde volgorde moeten zij de eerste vijf strafschoppen gaan nemen.
Op hoeveel verschillende manieren kan de coach dat doen?

55440

Elke Nederlander krijgt een wachtwoord dat bestaat uit een aantal verschillende letters. Die wachtwoorden worden allemaal even lang.
Nederland heeft iets meer dan 16 miljoen inwoners.
Hoe lang moet zo’n wachtwoord dan worden?

6 letters

Handiger uitrekenen.

Als je veel dingen moet kiezen, dan kan het nog wel eens een een boel rekenwerk worden.

Probleem:
Stel dat de klaverjasclub een feestelijke slotavond houdt met 48 deelnemers. Na afloop is er bij de prijsuitreiking een grote tafel vol met allemaal verschillende prijsjes. Er liggen in totaal 60 prijzen! Iedereen krijgt een prijs. Eerst mag de winnaar een prijs uitzoeken, dan nummer 2, enzovoorts. Op hoeveel verschillende manieren kunnen de deelnemers een prijs krijgen?
Oplossing:
Voor de winnaar zijn er 60 mogelijkheden, daarna voor nummer 2 nog 59, dan nog 58, enz. In totaal geeft dat 60 • 59 • 58 • ..... mogelijkheden, en hier moeten 48 getallen komen te staan. Dat wordt dus 60 • 59 • 58 • ... • 13.
het is nogal een werk om dat uit te rekenen.

Door handig gebruik te maken van faculteiten kun je dit sneller uitrekenen, kijk maar:

De rode getallen boven en onder de streep vallen tegen elkaar weg, dus er staat nog steeds 60 • 59 • ... • 13. maar boven de streep staat nu 60! en eronder 12! Dat toetst veel handiger in (er komt trouwens ongeveer 1,74 • 10⁷³ uit)
Als je de 60 door n vervangt en de 48 door k (kies k dingen uit een verzameling van n waarbij de volgorde wel van belang is) dan krijg je een formule voor het aantal permutaties:

Op de manier rechts gaat het nóg sneller.
Bedenk wel dat je rekenmachine maximaal 69! kan uitrekenen (vanaf 70! worden de uitkomsten namelijk groter dan 10¹⁰⁰ en dat past er niet in)

In het begin van het nieuwe schooljaar krijgen alle 52 leerlingen van basisschool "De Doefmat" een kluisje. Vóór in de gang van de school zijn tegen de muur 60 genummerde kluisjes beschikbaar.
Op hoeveel manieren kunnen de leerlingen elk een kluisje krijgen?

≈ 2 • 10⁷⁷

In een collegezaal staan 65 stoelen. Het college kansrekening wordt gevolgd door 54 studenten.
Op hoeveel verschillende manieren kunnen die plaatsnemen in de collegezaal?

≈ 2 • 10⁸³

De wiskunde-A leraar is een beetje lui. Hij moet het komende jaar voor zijn klas van 26 leerlingen in totaal 58 onderwerpen behandelen, elk ter grootte van ongeveer één les. Hij heeft geen zin om dat allemaal zelf te doen, en laat elk van zijn leerlingen één onderwerp uitkiezen om voor te bereiden en dan later aan de klas uit te leggen. Dan hoeft hij zelf nog maar 32 onderwerpen voor te bereiden.
Op hoeveel manieren kunnen zijn leerlingen de onderwerpen kiezen?

≈ 8,9 • 10⁴²

10.

15 kinderen gaan zich verkleden als ridder voor de carnavalsoptocht. In het buurthuis staat een enorme verkleedkleren-kist met daarin 34 verschillende helmen, 20 verschillende schilden en 23 verschillende steekwapens. Elk kind kiest een helm, een schild en een steekwapen.
Op hoeveel verschillende manieren kunnen de kinderen verkleed worden?

≈ 3 • 10⁵⁵

11.

In een internationale sportontmoeting strijden zes ploegen van elk 5 atleten elkaar.
Elke atleet doet aan één onderdeel van een vijfkamp mee.
Een loper die op de n^de plaats eindigt bezorgt zijn ploeg n punten.
Uiteindelijk wint de ploeg die het minst punten behaalt.

Hoeveel verschillende wedstrijdverlopen zijn er mogelijk, in de veronderstelling dat geen twee atleten gelijk eindigen?

≈ 1,9 • 10¹⁴

12.

Voor de loting van het EK Voetbal 2012 zijn er 4 groepen van 4 ploegen gemaakt. Dat ziet er zó uit:

groep A	groep B	groep C	groep D
Polen Griekenland Rusland Tsjechië	Nederland Denemarken Duitsland Portugal	Spanje Italië Ierland Kroatië	Oekraïne Zweden Frankrijk Engeland

In het toernooi worden eerst alle wedstrijden binnen één groep gespeeld, zodat daar een eindstand 1 tm 4 in zo'n groep is. Neem aan dat alle teams even goed zijn.

Hoeveel mogelijkheden zijn er dan voor de eindstand in één groep?

Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de eindstanden van alle groepen samen?

331776

Na de groepswedstrijden krijg je de kwartfinales. Daarbij speelt de nummer 1 van groep A tegen de nummer 2 van groep B.

Hoeveel manieren zijn er voor de uitslagen in groep A en groep B waarbij Nederland nummer 2 van de groep wordt, en moet spelen in de kwartfinale tegen Rusland?

Kun je uit vraag b) en c) een schatting maken voor de kans dat Nederland Rusland in de kwartfinales tegenkomt?

12,5%

13.

Bij het spel Mastermind heeft één speler de beschikking over pennetjes in 7 verschillende kleuren. Daarmee moet hij een code maken door 4 pennetjes naast elkaar te zetten (hiernaast heeft de speler de code geel-wit-blauw-oranje gemaakt).
De andere speler moet vervolgens raden welke code er is gemaakt.

Hoeveel verschillende codes zijn er mogelijk als 4 pennetjes gebruikt moeten worden (dezelfde kleur mag vaker gebruikt worden)?

2401

Hoeveel verschillende codes zijn er als 4 pennetjes van verschillende kleur moeten worden gebruikt?

840

Hoeveel verschillen de codes zijn er als er eventueel ook plaatsen leeg mogen blijven? (De gebruikte pennetjes hoeven geen verschillende kleur te hebben)

4096