© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Symmetrie bij Parameterkrommen.
   
Heel veel parameterkrommen zijn symmetrisch, en vaak zie je dat ook eigenlijk wel in één oogopslag. Maar de wiskundige vraag is:
 

Hoe bewijs je het?
 

Dat hangt van het soort symmetrie af. We kennen puntsymmetrie en lijnsymmetrie en die zijn nogal verschillend (er is zelfs nog draaisymmetrie, maar dat laten we deze les buiten beschouwing).

Laten we eens bekijken wat het betekent als een kromme bijvoorbeeld lijnsymmetrisch is ten opzichte van de y-as.
Hiernaast zie je een voorbeeld.

Het is de parameterkromme  x(t) = t3 - 2t  en   y(t) = t2

Het feit dat de kromme symmetrisch is ten opzichte van de y-as betekent dat er bij elk punt P van de kromme ook een punt Q aan de andere kant van de y-as  op die kromme ligt.
Als P de coördinaten (x, y) heeft, dan zie je in de figuur hiernaast dat Q de coördinaten (-x, y) moet hebben.   

Het bewijs gaat nu in de volgende stappen:
 

• Stel dat bij punt P de waarde t1 hoort.  
• Dan geeft dat een xP en een  yP als je die t1 invult in beide vergelijkingen.
• We gaan nu proberen om een recept op te stellen waarmee we bij elke t1 een nieuwe t2 kunnen vinden, zodat die nieuwe t2 dan bij invullen de waarden -xP en yP oplevert.
• Als we zo'n recept kunnen vinden, dan hebben we laten zien dat er bij elke t1 van punt P een t2 te vinden is, zodat het gespiegelde punt Q op de kromme ligt. En als er bij elk punt P zo'n punt Q te vinden is, dan is de kromme symmetrisch.
     

De grote vraag is: 

Hoe vinden we zo'n "recept"
     

Het antwoord? 

Dat gaan we gokken!!!!
     
In de figuur hiernaast is bij een aantal punten van de kromme de t-waarde gezet (in het blauw). De grote vraag is nu:  wat is het verband tussen een bepaalde t1 en de t2 van het gespiegelde punt dat daarbij hoort?

Ik denk niet dat je daar geen genie voor hoeft te zijn.

Uit de tekening hiernaast zal iedereen waarschijnlijk wel vermoeden dat, als twee punten van de kromme elkaars gespiegelde zijn, geldt dat t2 = -t1

Oké, laten we dat dan maar gokken, en proberen het bewijs te leveren:
Bij t1 hoort  xP =  t13 - 2t1  en  yP = t12 
Bij t2 = -t1 hoort:
  xQ = (-t1)3 - 2(-t1) =  -t13 + 2t1 = -(t13 - 2t1) = -xP
   yQ = (-t1)2 = t12 =  yP
     
Dat betekent dat we bij elke t1 met het punt (x, y)  een punt (-x, y)  bij t2 = -t1 op de kromme kunnen vinden
Dus is de kromme symmetrisch ten opzichte van de y-as.
   
Andere symmetrieën.
   
Natuurlijk zijn er veel meer symmetriegevallen te vinden. Hieronder zie je een aantal plaatjes van verschillende soorten symmetrie. Bij elk plaatje is aangegeven wat de symmetrie betekent voor een punt P en zijn "partner" Q.
   

   
In de volgende tabel staat nog eens samengevat hoe je symmetrie kunt bewijzen.
   
   symmetrie   

De punten P en Q
x-as (x,  y)  en  (x, -y)
y-as (x,  y) en (-x,  y)
x = a (a + x,  y) en  (a - x,  y)
y = a (x,  a - y) en  (x,  a + y)
oorsprong (x,  y) en  (-x, -y)
(a, b) (a + x, b + y)  en  (a - x, b - y)
y = x (x,  y)  en  (y,  x)
y = -x (x,  y)  en  (-y,  -x)
   
Voorbeeld
   
Beschouw de parameterkromme  x(t) = cost - 2sint  en y(t) = cost + 2sint
De figuur hiernaast doet ons vermoeden dat deze kromme symmetrisch is ten opzichte van de lijn y = x

Met die blauwe t-waarden kun je (hopelijk) verzinnen dat  tussen de gespiegelde punten geldt:  t2 + t1 =  2π, dus  t2 = 2π - t1

Laten we die gok maar proberen:
t1 geeft  xP = cost1 - 2sint1  en yP = cost1 + 2sint1

t2 = 2π - t1 geeft:
xQ = cos(2π - t1) - 2sin(2π - t1)  en  yQ = cos(2π - t1) + 2sin(2π - t1)

Maar omdat  cos(2π - t) = cost  en sin(2π - t) = -sint kun je dat veranderen in:
xQ = cost1 + 2sint1 = yP  en   yQ = cost1 - 2sint1 = xP

Dus als het punt P(xP, yP) op de kromme ligt, dan ligt ook het punt Q(yP, xP) op de kromme.
Dan is de kromme symmetrisch in de lijn y = x
   
  OPGAVEN
   
1. De kromme uit het voorbeeld lijkt ook symmetrisch te zijn in de lijn y = -x
Toon aan dat dat inderdaad zo is.
   
2. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B,  1992.

Kromme K is gegeven door  x(t) = 1 - sint  en   y(t) = t - sint   waarbij  t ∈ [0, 2π].
       
  a. Bereken welke waarden y kan aannemen.
       
  b. Bereken de coördinaten van de punten van K waarin de raaklijn aan K evenwijdig is aan de y-as.
       
  c. Bewijs dat K symmetrisch is ten opzichte van het punt (1, π)  
       
3. Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 1985.
       
  Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is voor t ∈ R de kromme K gegeven door:
       
 

       
  a. Bereken de coördinaten van de snijpunten van K met de x-as, met de y-as en van K met de lijn y = x.
       
  b. Bewijs dat de lijn y = x symmetrie-as is van K
Teken K.
       
  c. P is een punt van de kromme en A is het punt (0, -2)  Bereken de coördinaten van P als AP minimaal is.
       
       
4. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B,  1986.
       
  Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel is de kromme K gegeven door:
x = 2sin2t  en  y = 1 - 2cost  waarbij  t ∈ [0,π].
       
  a. Bereken de coördinaten van de gemeenschappelijke punten van K en de coördinaat-assen.
Bereken de coördinaten van de punten van K waarin de raaklijn aan K evenwijdig is aan de x-as of aan de y-as.
       
  b. Bereken de coördinaten van de snijpunten van K en de lijn y = -x + 1.
       
  c. Bewijs dat K symmetrisch is ten opzichte van het punt (0,1)
       
 
5. Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B,  1993.

De kromme K is  gegeven door:
x =  ln | t + 1 |  en   y = ln | t - 1 |  waarbij  t ≠ -1  en   t ≠ 1.

Er zijn drie snijpunten van K met de coördinaatassen.
       
  a. Bereken de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen in deze snijpunten.
       
  b. Bewijs dat K symmetrisch is ten opzichte van de lijn y = x.
       
6. Een parameterkromme wordt gegeven door:
 

       
  a. In welke punten is de raaklijn aan deze kromme evenwijdig aan een coördinaatas?
       
  b. Bewijs de symmetrie van deze kromme.  
       
7. Gegeven is de kromme met vergelijkingen:
 

       
  Toon aan dat de y-as symmetrieas van deze kromme is.
       
8. P is het parabooldeel met vergelijking  y = 2x - x2 en domein [0, 2]
P kan ook gegeven worden door de parametervoorstelling: x(t) = 2 • sin2t   en  y(t) = sin2(2t)
       
  a. Toon dat aan.  
       
  b. Bereken de helling van P in het punt waarvoor x = 1. Doe dat met de parameterkromme en ook met de vergelijking.
       
  c. Bewijs dat P symmetrisch is t.o.v. de lijn  x = 1. Doe dat met de parameterkromme en ook met de vergelijking.
       
9. Gegeven is de parameterkromme:
 

       
  a. Plot de kromme en bereken de coördinaten van het punt waar hij zichzelf snijdt.
       
  b. Hoe groot is de helling van deze kromme in het punt waarvoor t = π/2? Geef een exacte berekening.
       
  c. Bewijs de symmetrie van deze kromme
       
10. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B,  1988.

Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy  is de kromme K gegeven door:
 
  Bewijs dat K een as van symmetrie heeft.
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)