Functie en Parameterkromme.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
We hebben intussen twee verschillende manieren om een kromme te beschrijven. De eerste is met een formule y = .... (en dan komt er iets met x-en) en dat heet ook wel een "functievoorschrift". De tweede manier is natuurlijk met een parameterkromme (schrijf x en y allebei als functie van een parameter t).
De vraag van vandaag:
 
"Kunnen we die twee manieren in elkaar omzetten?"
 

Daar staan eigenlijk TWEE vragen:

Vraag 1:   is er een manier om van een functievoorschrift een parametervoorstelling te maken?
Vraag 2:   is er een manier om van een parametervoorstelling een functievoorschrift te maken?
Vraag 1.

JA!
Dat is zó eenvoudig dat ik je niet zal beledigen door dat nog uit te gaan leggen.

Vraag 2.

Dat is wat lastiger te zeggen. Dat het niet altijd mogelijk is, kun je al wel zien aan de "ingewikkelde"grafieken die we zijn tegengekomen bij parametervoorstellingen.

Neem de figuur hiernaast die hoort bij de zo simpele vergelijkingen x = sin(5t)
en y = sin(7t).
Daar kun je nooit één formule van maken, want het probleem met formules van de vorm y = .... is, dat er bij elke ingevoerde x hoogstens één y uitkomt.
Soms kunnen we de boel nog een beetje bedriegen met functies als y = ± ..... zodat er tenminste twee y-en kunnen uitkomen, maar  in de figuur hiernaast komen er bij sommige x-en wel VIJF y-en uit! Dat lukt nooit....

Maar ja, soms lukt het ook wél. Neem de volgende parametervoorstelling:

 
 
Kijk, je kunt zó redeneren:  "Als x gelijk is aan t, dan mag ik elke t dus ook wel door x vervangen. Als ik dat doe in de tweede vergelijking dan staat daar y = x2 - 4x en dat is een functievoorschrift. Klaar!"
"Bah", zul je waarschijnlijk zeggen, "Wat een kinderachtig en flauw voorbeeld! Toevállig omdat daar precies staat x = t. FLAUW!! Dat werkt bij élke formule die achter y staat".
Klopt. Ik heb het voorbeeld hier alleen genoemd omdat ik zin had je te beledigen. Hier staat namelijk het antwoord op vraag 1 hierboven!!!  Immers zo kun je van een willekeurige formule voor y een parametervoorstelling maken door er x = t aan toe te voegen.

Toch geeft de aanpak wel een aanwijzing hoe het in andere gevallen zou kunnen....
Kijk, je hebt dus te maken met twee vergelijkingen met drie letters (x, y, en t) en je wilt graag één vergelijking met twee letters (x en y). Die t moet weg.
Dat kan als volgt:
•  stap 1:  maak van de x-vergelijking  t = .......
•  stap 2:  vul dat wat nu op die stippeltjes staat in de y-vergelijking in plaats van elke t in.

Het probleem is dat stap 1 vaak niet of nauwelijks te doen is, en dan loopt het al meteen vast.
Een tweede probleem is, dat de y-vergelijking er wel wat raar kan uitzien.

Voorbeeld van de beide problemen...

Neem de parametervoorstelling:
 
 
stap 1:  Hoe maak je van  x = cos(2t)  iets als  t = .....?
Om die cos daar weg te krijgen zul je toch de inverse van cos moeten gebruiken; de cos-1x van je rekenmachine.
Dat geeft  2t = cos-1(x)  dus  t = 1/2cos-1(x)

stap 2: Invullen in de y-vergelijking geeft  y = sin2(1/2cos-1x)

Nou, het is gelukt, maar het geeft wel een nogal rare vergelijking. En als je de parametervoorstelling of deze vergelijking plot, dan zie je dat de grafiek verdacht veel lijkt op een rechte lijn!!!! Zo te zien de lijn  y = 1/2 - 1/2x

Kunnen we dat misschien bewijzen?
In het vervolg gebruik ik de notatie  ?=? Daar bedoel ik mee: "Wat hier staat moet nog bewezen worden". Dat helpt wel eens, want als je met ingewikkelde bewijzen bezig bent wil je halverwege nog wel eens vergeten wat je ook al weer aan 't doen was....
Dus ons probleem is:   y  ?=?  1/2 - 1/2x
Laten we zowel y als x vervangen door de formule uit de parametervoorstelling. Dat heeft als voordeel dat we nog maar één letter overhouden (de t):
sin2t  ?=?  1/2 - 1/2cos(2t)   Maar er geldt  cos(2t) = 1 - 2sin2t   (een oude van vroeger)
⇒   sin2t   ?=?  1/2 - 1/2(1 - 2sin2t)
⇒   sin2t  ?=?   1/2 - 1/2 + sin2t
⇒   sin2t  ?=?  sin2t

We komen uit op iets dat voor elke t geldt, dus geldt de oorspronkelijke formule ook voor elke t. Daarmee is hij bewezen.
Samengevat:  er zijn drie manieren om van een parametervoorstelling een functievoorschrift te maken:
1.   Als het functievoorschrift gegeven is, en je moet het bewijzen.
  Vervang elke y door de y(t) formule en elke x door de x(t) formule. Dat geeft één formule met als enige letter de t. Probeer deze formule te bewijzen.
     
2.  Als het functievoorschrift niet gegeven is.
  a. De basisaanpak is:  verander  x = ....  in  t = .....
Vervang de t's in, in de y-vergelijking door deze nieuwe formule.
  b. Je kunt ook proberen de kromme te plotten, het goede functievoorschrift te "raden" en dan met methode 1. te bewijzen dat je inderdaad goed hebt geraden.
   
  OPGAVEN
1. Gegeven is een parameterkromme K door de vergelijkingen  x(t) = 2sin2(t)  en  y(t) = sin2(2t)
Toon aan dat de kromme K een deel van de grafiek van  y =  2x - x2  is.
       
2. Gegeven is een parameterkromme K door de vergelijkingen  x(t) = 2t - 4  en  y(t) = t2 + t
Geef een functievoorschrift voor deze kromme.
       
3. Gegeven is een parameterkromme K door de vergelijkingen  x(t) = sin(t)  en  y(t) = sin(3t)
Toon aan dat de kromme K een deel van de grafiek van  y =  3x - 4x3  is.

(tip:  bedenk dat je sin(3t) kunt schrijven als sin(2t + t) )
       
4. Gegeven is een parameterkromme K door de vergelijkingen  x(t) = 3/(t - 1)  en  y(t) = √t
Geef een functievoorschrift voor deze kromme.
       
5. Gegeven is een parameterkromme K door de vergelijkingen  x(t) = sin(t + 1/4π)  en  y(t) = sin(2t)
Toon aan dat de kromme K een deel van de grafiek van  y =  2x2 - 1  is.
       
6. Gegeven is een parameterkromme K door de vergelijkingen:
   

  Geef een functievoorschrift voor de grafiek waar deze kromme een deel van is.
       
7. Gegeven is de kromme K door:    x(t) = sin(t - 0,25π)  en  y(t) = sin 2t
Daarin is  t element van [a , b]
       
  a. Plot K en geef de coördinaten van de keerpunten
       
  b. Kies [a , b] zodanig dat de kromme precies één keer doorlopen wordt.
       
  c. Bij K hoort een formule van de vorm  y = px2 + q. Leid uit de figuur de waarden van p en q af.
       
  d. Toon algebraïsch aan dat de bij c) gevonden formule juist is.
       
8. Gegeven is de kromme K door:     x(t) = 2·sin t    en    y(t) = sin(2t - 0,5π)
Plot K.
Welke formule hoort vermoedelijk bij K? Toon aan dat deze formule juist is.
       
9. Gegeven is de kromme K door:  x(t) = sin t   en   y(t) = sin 2t   met t in  [0,2π]
Toon aan dat bij K de formule  y2 = 4x2 - 4x4  hoort.
       
10. De baan van punt P wordt gegeven door:   x(t) = sin(t - 0,25π)   en   y(t) = sin22t
Met t in [-0.25π , 0.75π]. Hierin zijn x en y in cm en t in seconden.

De baan van punt P kan ook gegeven worden door de formule  y = 1 - 4x2 + 4x4  met x in  [-1 , 1]
       
  a. Toon dat aan.  
       
  b. Schets de grafiek van de snelheid van punt P als functie van t.
       
  c. Wat is de maximale snelheid van P?
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)