Twee soorten raaklijnen

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Voordat we het gaan hebben over allerlei speciale punten van parameterkrommen moeten we het eerst even hebben over wat de afgeleiden x'(t) en  y'(t) voorstellen.
Voor veel eigenschappen van parameterkrommen is het handig om te doen alsof we in een mini-autootje door het xy-vlak rijden waarbij x(t) onze x-coördinaat op tijdstip t geeft  en y(t) onze  y-coördinaat.

Hiernaast zie je de parameterkromme:
 
 
Met 0 ≤ t ≤ 2π.
Op verschillende tijdstippen is de plaats van het autootje weergegeven.
Als je de snelheid van het autootje op een bepaald tijdstip bekijkt, dan kun je die snelheid opvatten als een snelheid in de x-richting en een snelheid in de y-richting.

Maar nou komt het:  de snelheid in de x-richting geeft aan hoe snel x verandert als functie van t.  Maar dat is precies de helling van de grafiek van x(t). En de helling is gelijk aan de afgeleide!!!

x'(t) = vx
y'(t) = vy
Dat geeft ons de mogelijkheid om, behalve de snijpunten met de coördinaatassen, nog meer "speciale punten" van de kromme te vinden.
Neem de vier punten P, Q, R en S hiernaast. Wat hebben die gemeenschappelijk? Nou, dat de grafiek er horizontaal loopt. Dus dat de raaklijn aan de grafiek een horizontale lijn is. Maar dat betekent dat ons autootje horizontaal rijdt, dus dat zijn snelheid in de verticale richting NUL is. Dus dat y'(t) = 0.
 
raaklijn horizontaal:  y'(t) = 0
 
En op precies dezelfde manier zal het je hopelijk niet verbazen dat in de punten T en U hiernaast de raaklijn verticaal is, en dus de snelheid verticaal, dus de snelheid in horizontale richting is NUL, dus x'(t) = 0
 

raaklijn verticaal:  x'(t) = 0
 

Er is nog een andere manier om dat in te zien.
In de punten P en Q bereikt de y-coördinaat een maximum en in R en S een minimum. Maar als de y-coördinaat een maximum of minimum bereikt, dan betekent dat dat de afgeleide daarvan nul is. Zo zochten we immers vroeger alle extremen op? Dus geldt in P, Q, R en S dat y'(t) = 0. En op precies dezelfde manier zie je dat in T en U de x een extreme waarde heeft, dus daar moet gelden x'(t) = 0.

Laten we tot slot nog even proberen de coördinaten van P, Q, R, S, T en U uit de vergelijkingen te vinden.

y'(t) = 2cos(2t) = 0  ⇒  cos(2t) = 0 
⇒  2t = 1/2π + k • 2π  of  2t =  -1/2π + k • 2π
⇒  t = 1/4π + k • π  of  t = -1/4π + k • π
⇒  t = 1/4π  of t = 11/4π  of  t = 3/4π  of  t = 13/4π.
Dat geeft inderdaad zoals verwacht 4 punten (P,Q,R,S)
Om de coördinaten te vinden vullen we deze t-waarden in in de oorspronkelijke vergelijkingen voor x(t) en y(t)
Dat geeft de punten Q(√2, 1) en P(-√2, 1) en  R(√2, -1) en S(-√2, -1)

x'(t) = 2cost  = 0  ⇒  cost = 0  ⇒  t = 1/2π  of  t = 11/2π
Dat geeft de punten   U(1,0) en T(-1,0)
1. Bereken voor de volgende parameterkrommen algebraïsch de coördinaten waar de raaklijn evenwijdig aan de x-as of aan de y-as is. Bereken vervolgens ook algebraïsch de coördinaten van de snijpunten met de x-as en de y-as.
Probeer aan de hand van de gevonden punten de krommen te schetsen zonder je GR.
Controleer daarna met de GR je berekeningen.
               
  a. x(t) = cos(2t)  en  y(t) = cost + sint
     
  b. x(t) = cost - √3 • sint  en   y(t) = cost + √3 • sint
       
  c. x(t) = 2t - t2   en   y(t) = t2 - 4t + 3  
       
  d. x(t) = 4sin3t - 9sint   en   y(t) = sin(2t)  
               
2. Veel mensen gebruiken Valentijnsdag om elkaar een (al dan niet anonieme) liefdesverklaring te sturen. Het betreft dan meestal een kaartje met een hart erop. Maar échte wiskundigen sturen elkaar natuurlijk niet zo'n onpersoonlijk kaartje; nee, als ze écht verliefd op elkaar zijn dan mailen ze elkaar een cardioïde!!!!
  De cardioïde (hartvormige kromme van het Griekse kardioeides:, want kardia =  hart  + eidos = vorm) staat hiernaast getekend en heeft vergelijkingen:

 

         
  Het aparte aan een cardioïde is dat, welke helling je ook kiest, er altijd drie punten zijn waar de kromme die helling heeft!

Bereken de coördinaten van de zes punten waar de cardioïde een raaklijn evenwijdig aan de x-as of aan de y-as heeft.
               
  P.S.
De cardioïde lijkt niet écht op een hart natuurlijk. Hij heeft bijv. maar één scherpe punt. 't Is meer een soort pruim. Wil je een betere hartvorm naar je geliefde sturen, neem dan bijvoorbeeld:
               
3. De kromme K wordt gegeven door:
   

               
  De grafiek ervan lijkt een soort berglandschap:
               
 

               
  a. Onderzoek of er punten zijn waar de raaklijn evenwijdig aan de y-as is.

ja; op de x-as
       
  b. Bereken de horizontale afstand tussen twee opeenvolgende toppen van dit berglandschap.

2π
               
4. Het "folium" (= blaadje) van Descartes ziet eruit als hiernaast.
De vergelijkingen die erbij horen zijn:

Bereken algebraïsch de coördinaten van de punten waar de raaklijn aan deze kromme evenwijdig is aan de x-as of aan de y-as.
Hoe zit het met (0,0)?
Daar lijkt de raaklijn ook evenwijdig aan de y-as.  Waarom vind je dat dan niet?
           
(11/2, 11/2) en  (3√4, 3√4)
               
5. Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 2013.

Voor 0 ≤ t ≤ 2p wordt de beweging van een punt P beschreven door de bewegingsvergelijkingen;
 
           
  In de figuur hiernaast is de baan van P getekend.
Voor t = 0 en t = 2π bevindt P zich in (1, 0) .
           
  a. Bereken exact de maximale waarde van de y-coördinaat van P.
           
11/2√3
  De lijn met vergelijking x = 1 snijdt de baan van P behalve in het punt
(1, 0) ook in de punten (1, a) en (1, -a) , met a > 0 .
Zie de figuur hiernaast.
           
  b. Bereken exact de waarde van a.
         
a = 2
6. De Nephroïde  (niervormige kromme) wordt gegeven door:
   
 

           
 

De  figuur staat hiernaast.
Er past een rechthoek met zijden evenwijdig aan de x-as en y-as  precies om deze figuur.

Bereken de oppervlakte van die rechthoek.
           
32√2
               
           

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)