methode van onbepaalde coefficienten

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De methode van de Onbepaalde Coëfficiënten.

Een tweede orde differentiaalvergelijking ziet er in het algemeen zó uit:

y'' + p(x) • y' + q(x) • y + r(x) = 0

Deze les gaan we een methode bekijken om van zo'n differentiaalvergelijking een particuliere oplossing te vinden.
't Is vast didactisch niet verantwoord, maar laat ik toch maar beginnen met vier nadelen van deze methode te noemen:

•

De methode werkt alleen voor sommige r(x) functies.

•

De methode werkt alleen als p en q constant zijn (maar dat deden we tot nu toe eigenlijk de hele tijd al).

•

De algebra wordt al snel erg moeilijk.

•

Je moet af en toe gokken!

Vooral dat laatste nadeel zal voor veel wiskundigen een gruwel zijn natuurlijk.
Oké, ben je d'r nog?

De methode werkt als volgt:
Kijk goed naar de functie r(x) en gok aan de hand daarvan een oplossing; meestal eentje die er "nogal op lijkt".

Voorbeeld 1.   Geef de oplossingen van:     y'' - 4y' - 12y + 2e^2x = 0
Eerst maar even de algemene oplossing zoeken. De homogene vergelijking is y'' - 4y' - 12y = 0
Dat geeft karakteristieke vergelijking λ² - 4λ - 12 = 0 met als oplossingen λ₁ = -2 en λ₂ = 6
De algemene oplossing is dan: y = A• e^-2x + B• e⁶^x waarbij A en B afhangen van de beginvoorwaarden.

Zo, dat was het routine-gedeelte. Nu een particuliere oplossing.....
Als ik die r(x) zo zie, en ik moet een functie gokken die een particuliere oplossing zou kunnen zijn, dan zou ik er eentje nemen die er op lijkt. Laten we eens proberen y = P • e^2x waarin P een nog onbepaalde coëfficiënt is (vandaar de naam van deze methode).
Vul deze gok in de vergelijking in, dan geeft dat: 4Pe^2x - 2Pe^2x - 12Pe^2x + 2e^2x= 0.
⇒ e^2x (4P - 2P - 12P + 2) = 0 ⇒ -10P + 2 = 0   ⇒ P = 0,2
Gelukt!
Een particuliere oplossing is y = 0,2e^2x
De volledige oplossing is daarmee y = A • e^-2x + B • e⁶^x + 0,2e^2x waarbij A en B afhangen van de beginvoorwaarden.

Let goed op: die A en B kun je pas gaan zoeken als je de volledige oplossing (algemeen plus particulier) hebt, niet al zodra je alleen nog maar de algemene oplossing hebt. Dus pas helemaal op het eind kun je A en B gaan zoeken door de beginvoorwaarden in te vullen in de volledige oplossing.

Voorbeeld 2:    Geef de oplossingen van:     y'' - 4y' - 12y + 2sin(4x) = 0
De algemene oplossing hebben we hierboven al gevonden. Daarom direct maar door naar een particuliere oplossing.

Laten we voor de grap eens een foute gok nemen, dan zien we ook eens wat er dan precies misgaat.
Stel je kijkt naar die 2sin(4x) en je probeert daarom als particuliere oplossing y = P • sin(4x)
Invullen geeft: -16Psin(4x) - 16Pcos(4x) - 12Psin(4x) + 2sin(4x) = 0
⇒ sin(4x) • (-16P - 12P + 2) - 16Pcos(4x) = 0
Omdat dit voor elke x moet gelden moet zowel de coëfficiënt van sin4x als die van cos(4x) nul worden.
Dus moet gelden: -16P - 12P + 2 = 0 en -16P = 0 en dat geeft P = ¹/₁₄ en P = 0
Dat kan dus niet!
Als we P = ¹/₁₄ kiezen dan houden we een cos(4x) over, en als we P = 0 kiezen dan houden we een sin(4x) over.

De gok was fout!

Maar deze berekeningen suggereren meteen al een betere gok. Omdat er sin(4x) én cos(4x) in de vergelijkingen voorkomen, en omdat die allebei weg moeten vallen, is het misschien een idee om ook iets met sin(4x) én cos(4x) te gokken.
Probeer als particuliere oplossing daarom y = P • sin(4x) + Q • cos(4x)
Invullen geeft: -16Psin(4x) - 16Qcos(4x) - 4Pcos(4x) + 4Qsin(4x) - 12Psin(4x) - 12Qcos(4x) + 2sin(4x) = 0
⇒ sin(4x) • (-16P + 4Q - 12P + 2) + cos(4x) •(-16Q - 4P - 12Q) = 0
⇒ -28P + 4Q + 2 = 0 en -28Q - 4P = 0
De tweede vergelijking geeft P = -7Q en dan geeft daarmee de eerste vergelijking Q = -0,01
Dat geeft als particuliere oplossing: y = 0,07 • sin(4x) - 0,01 • cos(4x).

Gegeven is de differentiaalvergelijking y'' - 4y' + 3y + 2x² - 6x + 1 = 0

Geef een algemene oplossing van de homogene differentiaalvergelijking.

Probeer de particuliere oplossing y = P • x² en laat zien dat dat niet een goede gok was.

Probeer de particuliere oplossing y = P • x² + Q • x + R, en los P, Q en R op.

-²/₃, ²/₉, ¹¹/₂₇

Geef een volledige oplossing van deze differentiaalvergelijking als y(0) = 0 en y'(0) = 0

Geef een particuliere oplossing van de differentiaalvergelijking: 2y'' - 2y + 2sinx - 3cosx = 0

En nu naar de lastigere gevallen.

We hebben tot nu toe al "gokken" gezien met een exponentiële functie, met een sinus of cosinus functie, en met machtsfunctie (opgave 1). Bij een exponentiële functie gokten we weer een zelfde exponentiële functie. Bij een sinus of cosinus functie gokten we een combinatie van sinus en cosinus. Bij een machtsfunctie gokten we een zelfde machtsfunctie.

Hoe is het als er een combinatie van exponentiële- en /of machts- en/of sinus/cosinus- functies voorkomt?

1. Een combinatie van verschillende termen.

Dat is een makkie als je je het volgende maar realiseert:.

Als y₁ een oplossing is van y'' + py' + qy + r₁ = 0
en als y₂ een oplossing is van y'' + py' + qy + r₂ = 0

Dan is y₁ + y₂ een oplossing van y'' + py' + qy + r₁ + r₂ = 0

Waarom ook weer? Nou, vul die y₁ + y₂ maar in:
(y₁ + y₂)'' + p(y₁ + y₂)' + q(y₁ + y₂) + r₁ + r₂
= y₁'' + y₂'' + py₁' + py₂' + qy₁ + qy₂ + r₁ + r₂
= y₁'' + py₁' + qy₁ + r₁ + y₂'' + py₂' + qy₂ + r₂
= 0 + 0 = 0

Deze eigenschap gaan we nu natuurlijk in de omgekeerde volgorde gebruiken:
we splitsen de vergelijking y'' + py' + qy + r₁ + r₂ = 0 in twee aparte vergelijkingen (eentje met r₁ en eentje met r₂). Vervolgens lossen we die apart op, en we tellen tenslotte de beide gevonden particuliere oplossingen weer bij elkaar op.

2. Een combinatie van verschillende factoren.

Voorbeeld 1.
Geef een particuliere oplossing van de vergelijking   y'' + 5y' + 6y + 2e^x•cos3x = 0

Voor het gedeelte 2e^x zouden we graag proberen of y = P • e^x misschien een oplossing is.
Voor het gedeelte cos3x zouden we graag proberen of y = Q•cos3x + R•sin3x een oplossing is.
Voor het gezamenlijke stuk 2e^x•cos3x   lijkt dan   y = P • e^x(Qcos(3x) + Rsin(3x)) een mogelijkheid.

Maar dat gaat niet goed, immers als we dat invullen dan geeft dat twee vergelijkingen met P en Q (eentje voor de sin3x stukken en eentje voor de cos3x stukken). En twee vergelijkingen met drie onbekenden, dat valt niet op te lossen.

Het is allemaal echter een kwestie van een soort gezichtsbedrog. Kijk daar in die poging voor y staan op het oog wel drie onbekenden, maar als je de P binnen de haakjes brengt dan zijn het er nog maar twee!
Kijk maar: P • e^x(Qcos(3x) + Rsin(3x)) = e^x (PQcos(3x) + PRsin(3x)) = e^x(Mcos3x + Nsin3x)
Vul daarom deze laatste vergelijking in:

y = e^x(Mcos3x + Nsin3x)
y' = (productregel) = e^x (Mcos3x + Nsin3x) + e^x(-3Msin3x + 3Ncos3x)
y'' = (weer productregel)
    = e^x(Mcos3x + Nsin3x) + e^x(-3Msin3x + 3Ncos3x) + e^x(-3Msin3x + 3Ncos3x) + e^x(-9Mcos3x - 9Nsin3x)

Dat geeft:
e^x(Mcos3x + Nsin3x) + e^x(-3Msin3x + 3Ncos3x) + e^x(-3Msin3x + 3Ncos3x) + e^x(-9Mcos3x - 9Nsin3x) +
5e^x(Mcos3x + Nsin3x) + 5e^x(-3Msin3x + 3Ncos3x) + 6e^x(Mcos3x + Nsin3x) + 2e^x•cos3x = 0

Herrangschikken:
e^xsin3x(N - 3M - 3M - 9N + 5N - 15M + 6N) + e^xcos3x(M + 3N + 3N - 9M + 5M + 15N + 6M + 2) = 0
⇒ e^xsin3x(3N - 21M) + e^xcos3x(21N + 3M + 2) = 0
⇒ N = 7M en   21N + 3M + 2 = 0
⇒ M = ^-2/₁₅₀ = - ¹/₇₅ en N = ^-7/₇₅Dat geeft de particuliere oplossing y = -¹/₇₅e^x(cos3x + 7sin3x)

Andere combinaties:

Bij y'' + 4y' + 3y + e^2x(2x² + 4x - 6) = 0
zou ik proberen y = Pe^2x • (Qx² + Rx + S)
maar dat is hetzelfde als e^2x•(Kx² + Lx + M)
Je krijgt na herrangschikken ook drie stukken, nl met x²e^2x en met xe^2x en met e^2x . Klopt!

Bij   y'' + y' + 6y + sin2x • (3x - 8) = 0
zou ik proberen   y = Psin2x • (Qx + R) + Tcos2x • (Ux + V)
maar dat is hetzelfde als y = sin2x • (Kx + L) + cos2x • (Mx + N)
Je krijgt na herrangschikken ook vier stukken, nl met   xsin2x en met sin2x en met xcos2x en met cos2x. Klopt!

Ik hoop dat het idee duidelijk is......


3.	Vind een particuliere oplossing voor deze laatste twee voorbeelden.

4.	Welke particuliere oplossing zou je voor de volgende differentiaalvergelijkingen proberen? (je hoeft ze niet op te lossen)

	a.	y'' - 5y' + 6y = 4e^3x•cos(5x)

	b.	y'' - 4y' + 3y + (2x² - 3x)cosx = 0

	c.	y'' - 2y' - 8y = e^x(2x - 1)sin(2x)

5.	Geef een particuliere oplossing van de volgende differentiaalvergelijkingen:

	a.	y'' + 6y' + 5y + e^2x - 2cosx = 0

	b.	y'' - 3y' - 10y + 3sin2x = e^x

	c.	y'' - 5y' + 4y + x² - 2x = xe^2x

Kijk altijd naar de oplossing van de homogene vergelijking.

Als je dat niet doet, dan kun je er lelijk intuinen.
Neem de volgende differentiaalvergelijking: y'' - 6y' + 8y + 3e^4x = 0
Als je als particuliere oplossing probeert y = P • e^4x dan geeft dat bij invullen: 16Pe^4x - 24Pe^4x + 8Pe^4x + 3 = 0Maar dat geeft 3 = 0 !!!!!!!

Wat is er misgegaan?
Nou, de homogene vergelijking is y'' - 6y' + 8y = 0 met karakteristieke vergelijking λ² - 6λ + 8 = 0
Dat geeft λ₁ = 2 en λ₂ = 4 en als oplossing y = A• e^2x + B• e^4x
Kijk: die poging Pe^4x om de particuliere oplossing te vinden is gewoon een oplossing van de homogene vergelijking.

Hoe omzeilen we dit probleem?
Nou, op dezelfde manier waarop we het probleem oplosten als we uit de karakteristieke vergelijking maar één l vonden.
Dan probeerden we als tweede oplossing xe^λx, weet je nog?Probeer daarom nu de particuliere oplossing y = Pxe^4x
Dat geeft: y' = Pe^4x + 4Pxe^4x en y'' = 4Pe^4x + 4Pe^4x + 16Pxe^4x
Invullen in de differentiaalvergelijking: 4Pe^4x + 4Pe^4x + 16Pxe^4x - 6(Pe^4x + 4Pxe^4x ) + 8Pxe^4x + 3e^4x = 0
Herrangschikken: e^4x(4P + 4P - 6P + 3) + xe^4x(16P - 24P + 8P) = 0
Dat geeft P = -1,5 en als particuliere oplossing y = -1,5xe^4x

De moraal:

Schrijf jouw gok eerst uit als een serie termen (haakjes wegwerken dus).
Als sommige termen al in de oplossing van de homogene vergelijking voorkomen,
maak dan een nieuwe gok door daar een extra x voor te zetten.

Voorbeeld.
Geef een particuliere oplossing van   y'' - 8y' + 25y = e^4xsin3x
De homogene vergelijking heeft als karakteristieke vergelijking λ² - 8λ + 25 = 0
Dat heeft twee complexe oplossingen: λ = 4 + 3i en λ = 4 - 3i
De oplossing van de homogene vergelijking is dan y = A • e^4x •(cos3x + isin3x)

Een gok voor de particuliere oplossing zou eigenlijk zijn y = e^4x(Psin3x + Qcos3x)
Maar die termen staan (op een constante na) beiden ook al in de oplossing voor de homogene vergelijking.
Zet er daarom een x voor en probeer:    y = xe^4xPsin3x + xe^4xQcos3x
Dan geeft (met een heleboel productregels):

y' = e^4xPsin3x + 4Pxe^4xsin3x + 3xe^4xPcos3x + e^4xQcos3x+ 4xe^4xQcos3x - 3xe^4xQsin3x

y'' = 4e^4xPsin3x + 3e^4xPcos3x
       + 4Pe^4xsin3x + 16Pxe^4xsin3x + 12xPe^4xcos3x
       + 3e^4xPcos3x + 12xe^4xPcos3x - 9xe^4xPsin3x
       + 4e^4xQcos3x - 3e^4xQsin3x
       + 4e^4xQcos3x + 16xe^4x Qcos3x - 12xe^4xQsin3x
       - 3e^4xQsin3x - 12xe^4x Qsin3x - 9xQe^4xcos3x

Invullen in de differentiaalvergelijking:
4e^4xPsin3x + 3e^4xPcos3x + 4Pe^4xsin3x + 16Pxe^4xsin3x + 12xPe^4xcos3x + 3e^4xPcos3x + 12xe^4xPcos3x - 9xe^4xPsin3x
+ 4e^4xQcos3x-3e^4xQsin3x + 4e^4xQcos3x +16xe^4xQcos3x-12xe^4xQsin3x-3e^4xQsin3x-12xe^4xQsin3x - 9xQe^4xcos3x
-8e^4xPsin3x + -32Pxe^4xsin3x - 24xe^4xPcos3x - 8e^4xQcos3x- 32xe^4xQcos3x + 24xe^4xQsin3x
+ 25xe^4xPsin3x + 25xe^4xQcos3x = e^4xsin3x

Herrangschikken: (ik laat die e^4xweg, die zit overal in):
sin3x(4P + 4P - 3Q - 3Q - 8P - 1) + xsin3x(16P - 9P - 12Q - 12Q - 32P + 24Q + 25P) +
+ cos3x(3P + 3P + 4Q + 4Q - 8Q) + xcos3x(12P + 12P   +16Q - 9Q -24P - 32Q + 25Q) = 0

⇒ sin3x(-6Q - 1) + xsin3x(0) + cos3x(6P) + xcos3x(0) = 0

Dat geeft Q = -¹/₆ en P = 0

De particuliere oplossing is daarom:     y = -¹/₆xe^4xcos3x.


6.	Welke "gok" voor de particuliere oplossing zou je in de volgende gevallen maken?

	a.	y'' + 2y' - 15y = 2x + 4 + e^3x

	b.	y'' - 4y' + 3y = e^2x(1 - e^x)

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)