Afgeleide van xn.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Hieronder staan 4 grafieken (rood) met eronder hun afgeleide (blauw) getekend.
Misschien valt je al wel iets op aan de vorm van deze afgeleides en grafieken......

Het lijkt er wel op alsof de vorm van de afgeleide steeds gelijk is aan de vorige functie!
Niet precies, maar wel ongeveer. Kijk maar:
De grafieken zijn wel niet exact gelijk, maar de vorm lijkt er wel aardig op. Ze zijn als afgeleide hooguit ietsje steiler geworden.
Laten we gaan onderzoeken of ons vermoeden inderdaad klopt.....

De afgeleide van y = x2

Vul de volgende tabel in:
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
helling van y = x2                  
Probeer daarna of je een formule voor f '  kunt maken. Als ons vermoeden klopt, dan zal die formule iets te maken hebben met y = x.  De oplossing staat hiernaast, maar probeer het eerst zélf!!!
De afgeleide van y = x2  is  y' = 2x
De afgeleide van y = x3

Vul de volgende tabel in:
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
helling van y = x3                  
Probeer daarna of je een formule voor f ' kunt maken. Als ons vermoeden klopt, dan zal die formule iets te maken hebben met y = x2 . Maak eventueel in de tabel een derde rij met daarin x2  en kijk of je een verband tussen de tweede en derde rij kunt vinden. De oplossing staat hiernaast, maar probeer het eerst zélf!!!
De afgeleide van y = x3  is  y' = 3x2
De afgeleide van y = x4

Probeer op dezelfde manier als hierboven een formule op te stellen voor de afgeleide van x4 . Bedenk daarbij dat ons vermoeden zegt dat het iets te maken zal hebben met x3 .
De afgeleide van y = x4  is  y' = 4x3
EEN BELANGRIJKE REGEL.
In die afgeleides die we zojuist hebben gevonden zit een regelmaat. Laten we ze nog even op een rijtje zetten:
functie f x2 x3 x4 x5
afgeleide f ' 2x 3x2 4x3 ...
De regelmaat is:  zet de macht voor de functie en maak die macht eentje lager. In formule:

f(x) = xn  ⇒  f '(x) = n ∙ xn-1
   
Een exact bewijs van deze stelling hebben we hier niet geleverd. Als je dat toch wel erg interessant vindt, en je kunt gewoon niet zo goed slapen zonder zo'n bewijs (wat ik me heel goed kan voorstellen) dan kun je dat in het bewijs hieronder vinden.
Sterker nog:  er staan zelfs TWEE bewijzen! Wat wil je nog meer? DRIE soms????
 
 
   
  OPGAVEN
1. a. Bereken de helling van de grafiek van  y = x6  in het punt  waarvoor x = 2.
     
b. In welke twee punten heeft de grafiek van y = x3  helling  27? 
     
c. Geef een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van y = x5 in het punt  (1, 1)
     
 
2. De lijn y = 8x + b  raakt de grafiek van y = x2.
Bereken in dat geval b.
       
3. a. Leg uit hoe je bovenstaande formule ook zou kunnen gebruiken om de afgeleide van y = x te berekenen.
     
b. Leg uit  hoe je bovenstaande formule ook zou kunnen gebruiken om de afgeleide van y = 1 te berekenen.
     
c. Leg uit  waarom je met bovenstaande formule de afgeleide van x = 3 NIET kunt berekenen.
     
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)