Uitbreidingen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De hoofdregel om de helling/afgeleide te bepalen was:
f (x) = xn  ⇒  f '(x) = n xn -1
maar natuurlijk zien de meeste functies er niet uit als xn .
We zullen daarom drie uitbreidingen op deze regel bekijken.
Eerst nog maar voor de zoveelste keer een nieuwe term:
"De afgeleide maken" = differentiëren

UITBREIDING 1

Wat te doen als er nog een constant getal bij staat? Dus als de functie er uitziet als  f(x) = xn + a  met a één of ander constant getal?
Je kunt het antwoord daarop het best vinden door je af te vragen: "Wat gebeurt er met de grafiek van  f  als we +a  achter het  functievoorschrift zetten (Dus als we er  f + a  van maken)?"
Het antwoord daarop is simpel:  de grafiek schuift gewoon in zijn geheel  a omhoog. Maar nou komt het:  bij dat verschuiven verandert de helling niet!!! Bij een bepaalde x is de helling na afloop van het verschuiven nog precies even groot als vooraf. Dat betekent dat zo'n constant getal a geen invloed heeft op de helling.
Voor de afgeleide mogen we doen alsof die constante getallen er niet zijn.
Conclusie:

constante getallen +a of  -a  vallen weg bij differentiëren 

Algebraïsch genoteerd zou dat zijn:   (f(x) + a) '  =  f '(xmaar het is misschien handiger bovenstaande regel te onthouden.
UITBREIDING 2
Wat gebeurt er als we het functievoorschrift vermenigvuldigen met een constant getal a?
Dus bijvoorbeeld van x2 maken we 8x2 ..... Wat zijn de gevolgen voor de helling?
Je kunt weer het best kijken naar wat de gevolgen voor de grafiek zijn.
Als je een functievoorschrift met een getal a vermenigvuldigt, dan betekent dat dat elke y  a keer zo groot wordt, dus dat de afstand van de grafiek tot de x-as a keer zo groot wordt.
 De grafiek wordt als het ware verticaal "uitgerekt" en wordt a keer zo groot, en dus ook a keer zo steil.
Maar dan wordt de helling óók a keer zo groot.
Je kunt dat bijvoorbeeld zien door de helling te bekijken met  Δy/Δx met een punt vlak ernaast. Als je de grafiek uitrekt wordt Δy dus a keer zo groot en Δx blijft gelijk. Dus wordt Δy/Δx óók a keer zo groot. Kortom als je de grafiek met een getal a vermenigvuldigt, dan wordt de helling daar óók mee vermenigvuldigd.

Conclusie:
constante getallen ×a  (of :a)  schrijf je over bij differentiëren.
UITBREIDING 3
Wat gebeurt er met de helling als we twee grafieken bij elkaar optellen?
Hoe zit het bijvoorbeeld met de helling van  y = x2 + x3 ? Of in het algemeen met de helling van y = y1 + y2?
De oplossing kun je als volgt zien.
Stel dat over een afstand van Δx de y1 toeneemt met 4 en de y2 met 2. Dan neemt de totale y toe met 4 + 2 = 6.
Ofwel:  Δy = Δy1 + Δy2
Maar dan geldt:

Maar daar staat eigenlijk (als je dit berekent tussen een punt en een punt vlak ernaast) dat  y' = y1' +  y2'
Conclusie:
stukken die opgeteld (of afgetrokken) worden mag je apart differentiëren
Met deze drie uitbreidingen kun je nu al heel wat functies differentiëren.

Voorbeeld:  Geef de afgeleide van  y = -2x2 + 5x - 8
Hier staan drie stukken (namelijk -2x2 en   5x   en -8)  dus die mogen we apart differentiëren (uitbreiding 3).
-2x2 :  -2 schrijven we over (uitbreiding 2)  en de afgeleide van x2 wordt  2x.  Dat geeft samen -2 • 2x = -4x
5x :  5 schrijven we over (uitbreiding 2) en de afgeleide van x wordt 1, dus samen geeft dat 5 • 1 = 5
-8 :  die laten we weg (uitbreiding 1)
Nemen we de antwoorden weer samen dan wordt de totale afgeleide gelijk aan  -4x + 5
PAS OP!
Als er stukken met x-en erin met elkaar worden vermenigvuldigd, dan mag je NIET zomaar apart de afgeleides van die stukken nemen. Dan zul je eerst het functievoorschrift anders moeten gaan schrijven.
Twee voorbeelden:

f(x) = (2x + 1)(x2 + 3x)
eerst de haakjes wegwerken:  f(x) = 2x3 + 6x2 + x2 + 3x = 2x3 + 7x2 + 3x
nu de afgeleide:  f '(x) = 2 • 3x2  + 7 • 2x + 3 = 6x2 + 14 + 3

f(x) = 2x2 • 4x5
eerst samennemen:  f(x) = 8x7
dan de afgeleide :  f '(x) = 8 • 7x6 = 56x6

   
  OPGAVEN
1. Geef de afgeleide van de volgende functies:
a. f(x) = 5x4 + 8x3 - 2x e. f(x) = 5 + 14x + 1/2x8
b. f(x) = 4 - 3x3 + x2 f. y =  -0,4x3  - 2x4  + 10
c. f(x) = 10x10 + 9x9 + 8x8 g. y =  4 - 2x5 - 1/3x3
d. y = x + 6 - 8x4 h. f(x) =  3x - 2x + 8x2 - 1
2. Differentieer de volgende functies:
a. f(x) = 5x + 4 - 12x2 e. y = 6x - x • 3x2
b. f(x) = (2 - 3x) • (4x + 5) f. f(x) = 40x - 30x2 • 2
c. y = 2x2 • 3x4 g. y = (40x - 30x2) • 2
d. f(x) = 3(2x2 + 8x5) h. f(x) = 3x3 - 2x2x + 5x
3. Gegeven is de functie f(x) = 3x6 - 2x
     
a. Geef de vergelijking van de raaklijn in het punt waar x = 1
     
b. Geef de vergelijking van de raaklijn in het punt waar x = -0,8
4. Het verhaal gaat dat Galileo Galileï, een beroemde wetenschapper die zo rond 1600 experimenten verrichtte met vallende voorwerpen. Hij liet allerlei kogels van de scheve toren van Pisa vallen (die is maar liefst 55,89 meter hoog) en probeerde zo goed mogelijk het verloop van de snelheid te meten.
Als t = 0 het tijdstip van loslaten was, dan vond Galileï voor de hoogte van een bepaalde kogel de volgende formule:

h(t) = 50,4 - 4,9t2 + 0,5t3

a. Hoe hoog liet Galileï de kogel los?
   
b. Wat was de verticale snelheid van deze kogel op tijdstip t = 2?
Het bleek dat de term met t3 ontstond ten gevolge van de wrijvingskracht.
Voor een iets zwaardere kogel bleek te gelden  h(t) = 50,4 - 4,9t2 + 0,4t3
c. Onderzoek met deze beide formules hoe lang het duurde voordat de kogels de grond raakten, en met welke snelheid ze op de grond aankwamen.
5. Gegeven is de functie  f(x) = 3x2 - 5x.
     
a. Geef de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt waar x = 3
     
b. In welk punt heeft de grafiek van  f  helling 8? 
     
c. De lijn y = 25x + b  raakt de grafiek van f.  Bereken b.
6. Een niet zo ervaren 10 kilometerrijder schaatst op een kampioenschap zijn 10 km met een oplopend schema. Dat betekent dat zijn rondetijden alsmaar toenemen.  Zoals iedereen weet bestaat een 10 kilometer bij het schaatsen uit 25 rondjes van 400 meter. Voor de afgelegde afstand (s in meter) als functie van de gereden tijd (t in seconden) blijkt het volgende verband te gelden:

s(t) = 11t - 0,0000015t3

a. Hoe snel reed deze schaatser na 5 minuten?
     
b. Bepaal met je GR hoeveel seconden verschil er was tussen zijn eerste rondje en zijn laatste rondje.
Zijn tegenstander reed een volkomen vlak schema met een rondetijd van 40 seconden
c. Toon aan dat voor zijn tegenstander gold   s(t) = 10t
     
d. Bepaal met je GR wanneer de schaatser met het oplopende schema door zijn tegenstander werd ingehaald.
     
e Hoe groot was het snelheidsverschil tussen beide schaatsers op het moment van inhalen?
7. Twee dorstige vrienden drinken bier het liefst uit het vat.
Het valt hen echter op, dat zo'n vat in het begin snel leegstroomt, en daarna steeds langzamer.
Na een klein beetje onderzoek en een heleboel plezier ontdekken ze dat de volgende formule geldt:

B(t) = (8 - 0,1t)3

Daarin is B de hoeveelheid bier in het vat (in liters) en t de tijd in minuten.
Deze formule kan ook geschreven worden als:
 
B(t) = 512 - 19,2t + 0,24t2 - 0,001t3
       
  a. Toon dat aan.  
       
  b. Leg duidelijk uit hoe je aan B'  kunt zien dat het bier steeds minder snel uit het vat stroomt.
       
  c. Met welke snelheid (in liter per minuut) moeten deze twee vrienden op t = 0 drinken als ze niets willen morsen?
     

19,2  l/min

  d. Op welk moment stroomt een vat leeg met een snelheid van 7,5 liter per minuut?
     

t = 30

       
8. De groei van een embryo gebeurt ruwweg in twee etappes. De eerste 16 weken groeit het embryo steeds sneller. Een formule die de lengte L (in cm) na t weken geeft is bij benadering:  L(t) = 0,05t2

Na de 16e week blijft de groei constant dus geldt er een lineair verband:   L(t) = at + b
Hiernaast zie je de grafiek die daarbij hoort.

     
  a. Hoe snel (cm/week) groeit het embryo
op t = 5?
   

0,5

  De rode en de blauwe grafiek moeten "goed op elkaar aansluiten".
  Dat betekent dat er bij t = 16 een vloeiende overgang moet zijn, dus dat de grafieken door hetzelfde punt gaan en daar ook dezelfde helling hebben.
       
  b. Geef de waarden van a en b waarvoor dat klopt.
     

1,6 en -12,8

       
9. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 1995.
       
 
       
  a. Teken de grafiek van de afgeleide functie f ' en stel een formule op voor de afgeleide functie f '  voor  x 3.
       
  Een formule voor de functie f voor x 3 is van de vorm f(x) = ax2 + bx + c.
       
  b. Bereken a, b en c.
       
10. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2002.
       
 
Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm3) en is geheel gevuld met water.
Op tijdstip t = 0 geldt dus  h = 32.

Men kan de kraan opendraaien. Het vat stroomt dan leeg. Tijdens het leegstromen geldt voor de hoogte h van de waterspiegel op tijdstip t bij benadering de formule:  h(t) = 0,0008t2 - 0,32t + 32

Hierin is t de tijd in minuten vanaf het moment dat de kraan wordt opengedraaid en h de hoogte van de waterspiegel in decimeter.

De snelheid waarmee de waterspiegel daalt neemt voortdurend af. Volgens bovenstaande formule valt het tijdstip waarop deze snelheid gelijk aan 0 is samen met het tijdstip waarop het vat leeg is.

       
  a. Toon dit met behulp van differentiëren aan.
       
  In de figuur hieronder is de grafiek van h als functie van t getekend als men het vat leeg laat stromen.
       
 

       
  Aan de kraan onder aan het vat (zie de figuur hiernaast) kan ook een pomp worden aangesloten. Hiermee wordt per minuut 60 liter water uit het vat gepompt. Daardoor zal de waterspiegel met constante snelheid dalen.
Als men het vat leegpompt daalt de waterspiegel met een constante snelheid.
Als men het vat leeg laat stromen neemt de snelheid waarmee de waterspiegel daalt voortdurend af.
       
  b. Geef in bovenstaande grafiek het grafiekdeel aan waar geldt dat de waterspiegel bij leeg stromen sneller daalt dan bij leeg pompen. Licht je werkwijze toe.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)