© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)  
De nulpunten van een parabool
Normaal gesproken vind je de nulpunten van een parabool door de vergelijking f(x) = 0 op te lossen. En ze stellen natuurlijk de twee snijpunten van de parabool met de x-as voor. Makkie zul je zeggen, dat weet iedere onbenul.

Maar als de parabool geen snijpunten met de x-as heeft, heeft de vergelijking  f(x) = 0 toch wel twee oplossingen, namelijk complexe oplossingen.
Kun je ook deze wortels vinden in de grafiek?

JA.

Mooi, maar hoe?

Op een wonderbaarlijk eenvoudige manier zelfs.
Je spiegelt de parabool in zijn top. Die gespiegelde parabool heeft nu wél snijpunten met de x-as. Draai het lijnstuk dat die twee punten verbindt om het midden over 90º.
De nieuwe uiteinden stellen de complexe wortels voor, alsof het gewone vlak het complexe vlak is geworden.
Dat is hiernaast voor de rode parabool y = x2 - 2x + 4 gebeurd.
De gezochte complexe wortels zijn    -1 ± i√3
 
Waarom werkt dit?
Stel dat de rode parabool top  (a, b)  heeft, dan is de vergelijking ervan   y = (x - a)2 + b
Voor de nulpunten daarvan geldt: 
(x - a)2 + b = 0
(x - a)2 = -b
x - a = ± i√b
x = a ± i√b

De blauwe parabool is de rode gespiegeld, en heeft vergelijking  y = -(x - a)2 + b
Voor de nulpunten daarvan geldt: 
-(x - a)2 + b = 0
(x - a)2 = b
x - a = ±√b
x = a ± √b
Dat blauwe lijntje met die blauwe stippen als uiteinden heeft totale lengte 2√b met het midden bij x = a.  Als je dat 90º draait krijg je als uiteinden in het reële vlak de punten  (a, ±√b) en in het complexe vlak zijn dat de getallen a ± i√b:  inderdaad precies de complexe nulpunten van de rode parabool.

N.B. Voor een algemenere parabool  y = p(x - a)2 + b  geldt uiteraard precies hetzelfde:  vermenigvuldig alles in bovenstaand bewijs maar met p.
 
Wortels van derdegraadspolynomen opsporen...

In het algemeen weten we intussen dat een nde graads polynoom een even aantal complexe oplossingen heeft (komen immers in koppeltjes voor) plus nog een aantal reële oplossingen.  Die reële oplossingen, die zie je zo: dat zijn de snijpunten met de x-as. Een derdegraads functie heeft dus 3 reële nulpunten (en geen complexe nulpunten) of 1 reëel nulpunt (en 2 complexe nulpunten). 

Laten we ons richten op het tweede geval:  Hoe kun je die twee complexe oplossingen opsporen?
 
De situatie is als hiernaast. Er is ergens een reëel nulpunt. Het doet er niet toe waar dat is, dus ik heb expres geen y-as getekend.
Stel dat de reële wortel het getal x = r is, en de complexe wortels de getallen x = p + iq  en  x = p - iq
Dan is de functie te schrijven als:
f(x) = (x - r)(x - p - iq)(x - p + iq)
f(x) = (x - r)(x2 - 2xp + p2 + q2)

In de figuur hiernaast is vanaf het reële nulpunt  P (x = r) een lijn PR getekend die de grafiek raakt in R.
De formule van die rechte lijn is  y = a(x - r) waarbij a de helling van die lijn is.
Stel de x-coördinaat van R gelijk aan xR
Dan geldt a(xR - r) =  (xR - r)(xR2 - 2xRp + p2 + q2)
immers de lijn en de grafiek van f snijden elkaar in R

   
Beide kanten delen door  xR - r  geeft   a =  xR2 - 2xRp + p2 + q2 
Maar als R een raakpunt is, dan heeft deze vergelijking maar één oplossing, dus is de discriminant ervan nul.
Dat geeft  4p2 - 4(p2 + q2 - a) = 0
Dat is zo als  a = q2   en dan is  xR = p
Daarmee zijn de complexe wortels gevonden:   p = xR  en  q = √a = √(QR/PQ) en de wortels zijn  p ± iq
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)