|
||||||||||||||||||
| Tweede orde
differentiaalvergelijkingen y'' + py' + qy +
r = 0 waarbij de coëfficiënten p en q niet
constant zijn, maar functies van x, zijn in het algemeen te
moeilijk om op te lossen. Maar er is een handige eigenschap van Laplace-transformaties die het in sommige gevallen toch mogelijk maakt een oplossing te vinden. Je ziet die eigenschap als je de Laplace-transformatie F(s) gaat differentiëren naar s: |
||||||||||||||||||
 |
||||||||||||||||||
| Als de functie f een beetje "normale" functie is (wat dat precies betekent, daar zullen we het later nog wel eens over hebben) dan mag je dat differentiëren en integreren ook wel verwisselen: | ||||||||||||||||||
 |
||||||||||||||||||
| Nou is het enige stuk onder die integraal dat van s afhangt de factor e-st. De afgeleide daarvan (denk erom: s is de variabele) is dan -te-st . Dat geeft het volgende: | ||||||||||||||||||
 |
||||||||||||||||||
| Maar als je nu t • f(t) als één functie beschouwt, dan staat daar helemaal rechts de Laplace-transformatie van tf(t): | ||||||||||||||||||
 |
||||||||||||||||||
| Een interessant resultaat dat de moeite waard is te onthouden: | ||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
| Natuurlijk kun je nu wéér
vermenigvuldigen met t, en dat geeft dan L(t2f)
= L(t • (tf)) = -d/ds
L(tf) = d/ds • d/ds
L(f) en zo krijg je de tweede afgeleide van F(s)
en ga zo maar door..... Dat geeft de algemene regel: L(tnf) = (-1)n • F(n)(s). Waarbij met F(n) wordt bedoeld "de n-de afgeleide". Dit is een nuttige eigenschap om te gebruiken in sommige differentiaalvergelijkingen met niet-constante coëfficiënten. Als je de eigenschap in het kader hierboven gebruikt met f ' in plaats van f, dan staat er: L(xf ' ) = -d/dsL(f ' ) = -d/ds(s • F - y(0)) = (met de productregel) = -s • F' - F - 0 = -s • F' - F Dat kun je soms handig toepassen in differentiaalvergelijkingen. Kijk maar:
|
||||||||||||||||||
|
-2sF - s2F'
+ sF = 2/s ⇒ -s2F' -
sF = 2/s Þ
F' + 1/s• F = -2/s3
Dat is een eerste orde differentiaalvergelijking voor F! En die kunnen we al!! De integrerende factor is h = e∫(1/s)ds = elns = s |
||||||||||||||||||
 |
||||||||||||||||||
| Terugtransformeren geeft f(x) = c + 2x en omdat y(0) = 4 is ook c = 4 dus is de oplossing y = 2x + 4 | ||||||||||||||||||
| Uitgebreid Voorbeeld 2. Los op: xy'' - xy' + y = 2 met y(0) = 2 en y'(0) = 3. | ||||||||||||||||||
| L(xy'') = -2sF -
s2F' + y(0) L(xy' ) = -s • F' - F L(y) = F L(2) = 2/s Dat geeft allemaal samen -2sF - s2F' + 2 + s • F' + F + F = 2/s ⇒ F' (-s2 + s) + F(-2s + 2) = 2/s - 2 ⇒ F' • s • (1 - s) + F • 2 • (1 - s) = 2 • (1-s)/s ⇒ F' • s + 2F = 2/s ⇒ F' + 2/sF = 2/s2 Het is weer een vrij eenvoudige eerste-orde vergelijking geworden. Integrerende factor is e∫(2/s)ds = e2lns = s2 |
||||||||||||||||||
 |
||||||||||||||||||
| Terugtransformeren geeft f(x) = cx + 2 en y'(0) = 3 geeft dan c = 3 dus de oplossing is y = 3x + 2 | ||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
