© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Munten met een geheugen.
       
Je hoort het vaak zeggen bij kansredeneringen. "Munten hebben geen geheugen"

Dat wordt dan vaak gebruikt als argument als er bijvoorbeeld al 10 keer achter elkaar KOP is gegooid, en iemand beweert:  "Nou moet de kans op MUNT toch wel meer zijn dan 1/2, want er moet toch echt weer een keer MUNT komen".
Maar ja, "Munten hebben geen geheugen" dus deze munt weet niet dat er al 10 keer KOP is geweest. Dus de kans is echt gewoon wéér 1/2.

Maar zou het niet leuk zijn eens een experiment te verrichten met een munt die WEL een geheugen heeft? Gewoon eentje die weet of er net KOP of MUNT is gegooid. Laten we eens zo'n geval bekijken.

Stel ik heb een munt die 60% kans heeft om hetzelfde te gooien als de vorige worp en 40% om iets anders te gooien.

Een slimme munt, laten we hem Harrie noemen.

Dus als Harrie KOP heeft gegooid is de kans daarna op KOP 60%  en op MUNT dus 40%  en als Harrie MUNT heeft gegooid is de kans op daarna KOP 40% en op weer MUNT 60%. Harrie gooit nou eenmaal graag hetzelfde!!

Stel dat Harrie net KOP heeft gegooid.
Hoe groot is dan op dit moment de kans dat hij  n worpen na deze wéér KOP zal gooien?

De volgende kansboom is van toepassing:
       

       
na 1 worp:     P(K) = 0,6
na 2 worpen:  P(K) = 0,62 + 0,42 
na 3 worpen:  P(K) = 0,63 + 0,6 • 0,42 + 0,42 • 0,6 + 0,42 • 0,6
na 4 worpen:  P(K) = 0,64 + 0,62 • 0,42 + 0,62 • 0,42 + 0,62 • 0,42 + 0,62 • 0,42 + 0,62 • 0,42 + 0,62 • 0,42 + 0,62 • 0,42
       
Daar zit een soort regelmaat in.....

Kunnen we die ontdekken?

Omdat de kans op KOP of MUNT alleen van de vorige worp afhangt is het misschien handig een recursievergelijking op te stellen.....
Stel dat de kans op KOP na n worpen gelijk is aan Kn
Dan is de kans op KOP in de (n + 1)de worp:

P(KOP in de n+1de worp) = P(KOP in de nde worp) • 0,6 + P(MUNT in de nde worp) • 0,4
Kn + 1 = 0,6Kn + 0,4 • (1 - Kn)
Kn + 1 = 0,2Kn + 0,4  met  K0 = 1 (als we met KOP beginnen)

En daar hebben we een lineaire recursievergelijking!
De oplossing ervan staat in deze les, en is:
       

       
Aan die laatste vorm zie je dat de kans op KOP over n worpen heel snel weer naar 0,5 nadert.

Oké, hij heeft een geheugen.... maar een lang geheugen heeft zo'n dobbelsteen zeker niet!!
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)