middelloodlijn


Middelloodlijn.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De middelloodlijn van twee punten P en Q is de lijn die door het midden M van lijnstuk PQ gaat, en die loodrecht op PQ staat. Het is de rode lijn m in de figuur hiernaast.
Met dit in gedachten vind je het vast niet moeilijk om de vergelijking van zo'n middelloodlijn op te stellen. Ik hoop dat je het zó doet:

Voorbeeld 1 : Geef de vergelijking van de middelloodlijn van P(2,6) en Q(8,15)

PQ heeft richtingscoëfficiënt ^(15-6)/_(8-2) = 1¹/₂ .
Loodrecht daarop staat de lijn m met richtingscoëfficiënt -²/_3.Het midden M van PQ is (5, 10¹/₂).
10¹/₂ = -²/₃ • 5 + b geeft b = 13⁵/₆ dus m: y = -²/₃x + 13⁵/₆.

Je kunt de vergelijking ook op een heel andere manier maken, en dat is een manier die we later nog vaak zullen gebruiken. Die manier is te verzinnen als je je bedenkt dat alle punten op de middelloodlijn gelijke afstand tot P en Q hebben.

Voor een punt S van de middelloodlijn geldt: d(S,P) = d(S,Q)

Ik neem aan dat je wel zult zien dat dat klopt. Voor de echte Pietje Precies staat het bewijs hiernaast. Deze eigenschap betekent dat een middelloodlijn eigenlijk de conflictlijn van twee punten is.
Stel dat punt S coördinaten (x. y) heeft, dan kun je de afstanden tot P en Q met Pythagoras berekenen.
d(S,P) = d(S,Q) verandert dan in √((x - x_P)² + (y - y_P)² ) = √((x - x_Q)² + (y - y_Q)² ) en daarvan kun je makkelijk een vergelijking maken.
Voorbeeld 1 (nogmaals):Geef de vergelijking van de middelloodlijn van P(2,6) en Q(8,15)
d(S,P) = d(S,Q) geeft (x - 2)² + (y - 6)² = (x - 8)² + (y - 15)²
haakjes wegwerken: x² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = x² - 16x + 64 + y² - 30y + 225
dat geeft 18y = -12x + 249 ofwel y = -²/₃x + 13⁵/₆.

Nou is deze methode helemaal niet makkelijker dan de vorige, maar het is toch de moeite waard om er even naar te kijken omdat we er later veel meer conflictlijnen mee kunnen bepalen.

OPGAVEN

Bereken van de volgende paren punten de vergelijking van de middelloodlijn:

(4, 6) en (-6, 1)

y = ²/₇x + ¹⁵/₁₄

(1,8) en (-4, -4)

y = -⁵/₁₂x + ²¹/₈

Als je twee punten willekeurig op de omtrek van een cirkel kiest, dan ligt het middelpunt van die cirkel op de middelloodlijn van die twee punten. Dat is logisch, immers het middelpunt van de cirkel heeft gelijk afstanden tot beide punten (de straal namelijk).

Gebruik die handige eigenschap om het middelpunt van een cirkel te vinden als je weet dat de cirkel door de punten (8,28) en (-16,-4) en (15,27) gaat. Bereken vervolgens ook de straal van de cirkel.

M(8,3), r = 25

Driehoek ABC heeft hoekpunten A(3, 2) en B(7,4) en C(4,8)
Toon aan dat de drie middelloodlijnen van de zijden van deze driehoek door één punt gaan en geef de coördinaten van dat punt.

(⁸⁹/₂₂, ⁵⁴/₁₁)

De lijn y = 4x + 1 is de middelloodlijn van lijnstuk PQ.
P is het punt (9,3).
Bereken algebraïsch de coördinaten van Q .

Q = (-7, 7)

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2001

In een cirkelvormig meer liggen twee eilandjes , M en F. We beschouwen de eilandjes als punten. M ligt precies in het midden van het meer. Zie de figuur hieronder.

S is een punt aan de rand van het meer. een bootje start in S en vaart in een rechte lijn naar M.

Teken in de figuur het punt P op de route van het bootje waar het bootje even ver van punt S verwijderd is als van punt F. Licht je werkwijze toe.

Een ander bootje start in een punt aan de rand van het meer en vaart ook in een rechte lijn naar M. Halverwege is de afstand van dit bootje tot het land even groot als de afstand van dit bootje tot beide eilandjes.

Teken in de figuur de punten aan de rand van het meer van waaruit het bootje vertrokken kan zijn. Licht je werkwijze toe.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2010

Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. Op c ligt een vast punt A. We bekijken rechthoeken met hoekpunten A, B, C en D waarvan A en D op c liggen en waarvan zijde BC cirkel c raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden E van BC.
Hiernaast is zo’n rechthoek getekend.

Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden BC en AD 4 cm lang zijn.

Teken een cirkel met straal 3 en een punt A op de omtrek zoals bij de cirkel hierboven, en teken daarbij alle mogelijke punten E waarbij aan bovenstaande eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe.