meervoudige eigenwaarden


	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meervoudige Eigenwaarden.

Wat moet je doen als er bij het oplossen van de karakteristieke vergelijking van matrix A dezelfde λ's vaker voorkomen (meerwaardig zijn)?
Dan krijg je niet n verschillende oplossingen, maar je hebt er wel n nodig!
Hoe kom je aan die extra oplossingen?

Laten we in gedachten even teruggaan naar het oplossen van gewone tweede orde differentiaalvergelijkingen. Daar hadden we ook een karakteristieke vergelijking.
• Als die vergelijking λ₁ en λ₂ opleverde, dan waren de oplossingen e^λ1^xen e^λ2^x
• Als die vergelijking een dubbele l opleverde dan waren de oplossingen e^λx en xe^λ^x.

Eens kijken of dat ook bij stelsels werkt:

Poging 1: Misschien heeft Y ' = A • Y als oplossingen wel Y = e^λx • C en Y = xe^λx • C (met C een eigenvector)
Nou, dat kunnen we direct controleren door die tweede oplossing in te pluggen in de differentiaalvergelijking. Dat geeft:

Y ' = 1 • e^λx • C + x • λe^λ^x • C = A • xe^λ^x • C
e^λx • C + xe^λ^x • (λC - AC) = 0
Dat moet voor elke x gelden, en omdat e^λx ongelijk aan nul is, moet wel gelden dat C = 0 en   λC- AC = 0

Helaas!!!!
C = 0 dat gaat niet lukken, immers C was een eigenvector en die mag niet nul zijn!

Poging 2:   Poging 1 mislukte omdat in de afgeleide die e^λx alleen bij de C voorkwam, zodat die C dan wel nul moest zijn. Misschien kunnen we proberen bij de oplossing een extra e^λx toe te voegen, zodat die C dan straks niet alleen staat.....
Probeer bijvoorbeeld de oplossing:   Y = xe^λ^x• C + e^λx • D
Dat geeft bij invullen:   Y ' = 1 • e^λx • C + x • λe^λ^x • C + λe^λ^x • D = A • xe^λ^x • C + A • e^λx • D
e^λx • (C - AD + λD) + xe^λ^x • (λC - AC) = 0
Dan moet gelden     C - AD + λD = 0 en   λC - AC = 0

Die tweede daaraan is makkelijk voldaan, want daar staat niets anders dan (A - λE)C = 0, dus dat C een eigenvector van A is met eigenwaarde l, en we weten al dat dat zo is.

Die eerste geeft iets interessants:   (A - λE) • D = C

Y = xe^λ^x• C + e^λx • D met (A - λE) • D = C is een tweede oplossing.

Voorbeeld. Los op: y₁' = 3y₁ - y₂ en y₂' = y₁ + y₂

Karakteristieke vergelijking: (3 - λ)(1 - λ) + 1 = 0
λ² - 4λ + 4 = 0
(λ - 2)² = 0
λ = 2
Voor de kentallen a en b van de bijbehorende eigenvector geldt: 3a - b = 2a en a + b = 2b

We gaan nu voor een tweede oplossing op jacht naar de vector D. Daarvoor moeten we oplossen:

a - b = 1 en a - b = 1 geeft b = a - 1

Algemene oplossing: Y = c₁e^2x • C + c₂(xe^2x • C + e^2x • D)
Met de gevonden C en D geeft dat y₁ = c₁ e^2x + c₂xe^2x en y₂ = c₁e^2x + c₂(xe^2x - e^2x)
Daarbij moeten c₁ en c₂ uit de beginvoorwaarden gevonden worden.