© h.hofstede (hhofstede@hogeland.nl)

     
1. Hiernaast zie je een windmolen met de punten P, Q en R de uiteinden van de drie bladen. Kies de oorsprong van een assenstelsel aan de voet van de molen.
Dan ligt het punt waar de wieken aan de as zitten op een hoogte van 50 meter.
De wieken hebben elk een lengte van 30 meter.

Op tijdstip t = 0 staat wiek P op zijn laagste punt.
In de foto hiernaast draait de molen tegen de klok in. Neem aan dat punt P ronddraait met een snelheid van 47 m/sec.

Dan duurt één omwenteling ongeveer 4 seconden.

       
  a. Toon dat aan.    
         
  b. Geef een formule voor de hoogte van punt P (HP) als functie van de tijd t (in sec).
         
  c. Geef een formule voor de hoogte van punt Q (HQ) als functie van de tijd t (in sec).
         
  d. Bereken hoeveel procent van de tijd een punt zich op meer dan 70 m hoogte bevindt.
       

26,8%

         
2. Drie tandwielen (A, B en C) hebben hun middelpunt vast op de x-as van een assenstelsel.
De wielen A en C hebben straal 16 cm, wiel B heeft straal 6 cm.
Het middelpunt van A ligt in de oorsprong.

A en C hebben elk 48 tanden, B heeft 18 tanden. P, Q en R zijn punten van de tandwielen A, B en C. Op t = 0 ligt P op de y-as, R op de x-as, en is Q het laagste punt van tandwiel B.
De situatie op t = 0 is als hiernaast geschetst.

  Stel dat tandwiel A precies 4 seconden doet over één omwenteling.
Tandwiel A draait met de klok mee.
         
  a. Geef een formule voor de x-coördinaat van punt P als functie van de tijd.
         
  b. Geef een formule voor de x-coördinaat van punt R als functie van de tijd.
         
  c. Geef een formule voor de y-coördinaat van punt Q als functie van de tijd.
         
3. De hoogte van het water in Helgoland is (o.a.) afhankelijk van de getijden.
Een actuele voorspelling voor allerlei plaatsen kun je trouwens op deze site vinden.
De havenmeester stelt voor 25 december 2011 de volgende vergelijking op:  h(t) = 0,5 + 0,9sin0,52(t - 5)
Daarin is t de tijd in uren vanaf  0:00 uur, en h de waterhoogte in meter.
         
  a. Omdat jij natuurlijk weet dat het om de 12 uur eb is, kon je die 0,52 uit de formule zelf al wel voorspellen. Leg uit hoe.
         
  b. Wanneer zal het op 25 december 2011 hoogwater zijn in Helgoland?
       

8 en 20 uur

  c. Hoe lang zal het water op 25 december in Helgoland hoger dan  1,2 meter zijn?
       

314 min.

         
4. Bij de molen hiernaast zijn de uiteinden van de wieken aangegeven met P, Q, R en S. Voor de hoogte van punt P blijkt de  volgende formule te gelden:  
h
(t) = 18 + 14sin(1/4πt)

Hierin is h de hoogte in meters boven de grond en t de tijd in seconden.

     
  a. Hoe kun je zien dat de hiernaast getekende situatie bij t = 0 hoort?
     
  b. Hoe zou de formule veranderen als de molen de andere kant op zou draaien?
     
  c. Geef een formule voor de hoogte van punt S als functie van de tijd.
         
5. Gegeven zijn de volgende formules:  y1 = 3 - 2·sinx  en  y2 = 5·cosx - 1   en   y3 =  y1 + y2
Geef een formule voor y3 van de vorm  y3 = a + b·sin c(x - d)
         
6. Hiernaast zie je een grafiek van de hoogte boven de grond  (h in cm) van een meisje dat op een schommel zit als functie van de tijd (t in seconden).

     
  a. Geef een mogelijk functievoorschrift.
     
  b. Bepaal hoeveel procent van de tijd het meisje hoger dan 60 cm zit.
   

33,3%

  c. Bepaal de verticale snelheid van het meisje
op t = 0,6
   

59,8 cm/sec

   
         
7. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1991.

Bij het ontwerpen van gebouwen besteedt men aandacht aan de mogelijke bezonning. Daarbij gaat men uit van een altijd wolkeloze hemel. In deze opgave beperken we ons tot gebouwen met rechte verticale gevels die niet in de schaduw staan van andere objecten. Verder gaan we uit van een jaar met 365 dagen. In de volgende tabel is af te lezen hoeveel dagen elke kalendermaand telt.

         
 
maand aantal
dagen
januari
februari
maart
april
mei
juni
31
28
31
30
31
30
maand aantal
dagen
juli
augustus
september
oktober
november
december
31
31
30
31
30
31
         
  In de figuur hieronder is het dagelijks aantal uren zonneschijn B bij een altijd wolkeloze hemel uitgezet tegen het nummer van de dag (n); hierbij geldt  n = 1 voor 1 januari.
Overeenkomstig zijn het dagelijks aantal bezonningsuren voor een zuidwestgevel (Bzuidwest) en dat voor een noordgevel (Bnoord) uitgezet.
         
 

         
  Uit deze figuur blijkt dat een noordgevel slechts een gedeelte van het jaar beschenen wordt.
 
  Op 30 januari komt de zon op om 8 uur 27.
         
  a. Bereken met behulp van de formule het tijdstip waarop de zon op 30 januari onder gaat in minuten nauwkeurig.
         
  b. Toon door berekening aan dat 12 april de eerste dag van het jaar is dat de zon langer dan 14 uur schijnt.
         
  Neem aan dat de punten van de grafiek van Bzuidwest op een sinusoïde liggen.
         
  c. Stel een voorschrift op voor deze sinusoïde met behulp van de figuur.
         
  Gevels aan weerszijden van een rechthoekig gebouw kunnen niet tegelijkertijd door de zon beschenen worden
         
  d. Teken in de figuur hierboven de grafiek voor het dagelijks aantal bezonningsuren voor een zuidgevel.
         
8. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2004.
         
  Jules heeft voor zijn verjaardag een elektrische trein gekregen. Op een houten plaat bevestigt hij een treinbaan. Met behulp van zijn computer tekent Jules het model van de treinbaan in een assenstelsel; zie de volgende figuur. Het model van de treinbaan bestaat uit cirkelvormige delen met stralen van 30 cm en 50 cm.
         
 

         
  Een trein die met een constante snelheid rijdt, legt in 24 seconden de volledige baan af volgens de route Start A WisselBCWisselDStart.
 

De voorkant van de trein wordt in het computermodel voorgesteld door een punt P met coördinaten (xP , yP). De waarden van xP en yP hangen af van de tijd t. Hierbij is t de tijd in seconden vanaf het moment dat het punt P het startpunt O(0,0) in de figuur hierboven passeert.

In de volgende grafiek is yP uitgezet tegen de tijd t waarbij t tussen 0 en 4,5 ligt.

         
 

         
  a. Geef bij deze grafiek een bijbehorende formule. Licht je antwoord toe.
         
  b. Teken voor de eerste 12 seconden na de start de grafiek van yP als functie van de tijd t. Licht je werkwijze toe.
         
9. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2006.

Bij een stemvork die in trilling gebracht wordt, maken de uiteinden zeer snelle heen en weergaande bewegingen rond de evenwichtsstand. De afstand van een uiteinde tot deze evenwichtsstand heet de uitwijking. De grafiek van de uitwijking y, afhankelijk van de tijd t, is een sinusoïde. De trilling van de stemvork brengt de lucht in trilling. Dit horen wij als geluid.
Van twee stemvorken A en B krijgt men met behulp van een oscilloscoop de grafiek van het trillingspatroon. In de figuur rechts staat de grafiek voor stemvork A.
  Bij deze grafiek hoort de formule:

Stemvork A:  y = 0,28 • sin(0,88πt)

Hierin is t de tijd in milliseconden (1 milliseconde is 0,001 seconde) en y de uitwijking in millimeters.
De trilling van stemvork A begint op t = 0.
     
  a. Bereken het aantal trillingen per seconde voor stemvork A.
     
  Als de frequentie groter wordt wordt de toon hoger.
Als de amplitude (maximale uitwijking) groter wordt, wordt het geluid harder.
  Voor stemvork B geldt de formule:   Stemvork B:   y = 0,14 • sin(0,88π(t - 0,5))

De beide stemvorken klinken dus even hoog, maar stemvork B klinkt zachter dan stemvork A.
Een derde stemvork C:
• klinkt hoger dan de stemvorken A en B.
• klinkt harder dan stemvork B, maar zachter dan stemvork A.

         
  b. Stel een mogelijke formule op voor de trilling van stemvork C.
         
10. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2008.
         
  Op de foto zie je een zwembad met sporthal, samen onder één golvend dak. Het golvende dak bereikt boven het zwembad dezelfde hoogte als boven de sporthal. In de figuur hieronder is een schematisch vooraanzicht getekend. In dit vooraanzicht heeft de rand van het dak de vorm van een sinusoïde met als formule

     
 

         
  De hoogte h en de lengte x zijn allebei in meter. De lengte x wordt van links naar rechts over de grond gemeten langs de voorkant van het gebouw, vanaf een punt O dat links van de linkerkant van de voorgevel van het gebouw ligt. Aan beide uiteinden van het gebouw is het dak 8 meter hoog. Zie onderstaande figuur
         
 

         
  a. Bereken exact de minimale en de maximale hoogte van het dak.
       

10 en 4

  b. Bereken de totale lengte van het gebouw in gehele meters nauwkeurig.
       

84 m

  Voordat het zwembad met sporthal werd gebouwd, heeft een architect een ontwerp gemaakt van het gebouw. In het eerste ontwerp dat de architect had gemaakt, was het dak boven het zwembad hoger dan het dak boven de sporthal. Ook de lengte van de voorkant van het gebouw in dit eerste ontwerp was anders dan die van het uiteindelijke gebouw. In de volgende figuur staan de afmetingen van het gebouw volgens het eerste ontwerp.
         
 

         
  Het gedeelte van het dak dat boven het zwembad ligt, heeft in het vooraanzicht de vorm van een sinusoïde. Dit geldt ook voor het gedeelte van het dak boven de sporthal. De twee sinusoïdes gaan vloeiend in elkaar over op de grens tussen zwembad en sporthal op een hoogte van 4 meter. Op die grens is de hoogte van het dak minimaal. Boven de sporthal heeft het dak een maximale hoogte van 8 meter. Zie de figuur. Met behulp van deze gegevens kun je een formule opstellen die hoort bij het vooraanzicht van het gedeelte van het dak boven de sporthal volgens het eerste ontwerp
         
  c. Stel deze formule op. Je mag zelf de oorsprong kiezen. Licht je werkwijze toe.
         
11. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1989.

Voor elke p ∈ N+ is gegeven de functie  fp : x p - 1 + cospx  met domein  [0, 2π].
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is Fp de grafiek van fp.
Onderzoek voor welke p de lijn y = 1/2p  en Fp minstens vier punten gemeenschappelijk hebben.
         
12. In de volgende tabel staan de tijden van zonsopkomst en zonsondergang in 2011. (de tijden zijn gegeven in Midden-Europese-Tijd (MET), dus van april tot en met oktober was het vanwege de zomertijd op onze klokken een uur later)
         
 
dagnummer 1 31 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
datum 1 jan. 1 feb. 1 mrt. 1 apr. 1 mei 1 jun. 1 jul. 1 aug. 1 sep. 1 okt. 1 nov. 1 dec.
zonsopkomst 8:48 8:21 7:27 6:16 5:11 4:26 4:24 5:01 5:51 6:40 7:34 8:25
zonsondergang 16:39 17:27 18:19 19:13 20:04 20:50 21:03 20:31 19:28 18:18 17:12 16:32
         
  De grafiek voor zonsondergang staat hieronder en is, zoals je ziet, aardig door een sinusgrafiek te benaderen..
         
 

         
  a. Geef een sinusformule die de grafiek hierboven beschrijft.
         
  Het tijdstip van zonsopgang is ook aardig door een sinusformule te beschrijven. De vroegste zonsopgang was op 30 juni, en dat was om 4:19. De laatste zonsopgang was op 30 december, en dat was om 8:48.
         
  b. Geef een sinusformule voor het tijdstip van zonsopgang.
         
  De daglengte is gelijk aan het verschil tussen zonsopgang en zonsondergang.
         
  c. Plot de grafiek van de daglengte, en schrijf vervolgens de daglengte D als  D = a + bsinc(x + d) waarbij x het dagnummer is.
         
13. Bij een grote draaiende ventilator kiezen we een assenstelsel met de x-as en de y-as zoals hiernaast aangegeven.
De tekening hiernaast geeft de toestand op  t = 0. De ventilator draait tegen de klok in.

Hieronder zie je twee grafieken van de  hoogte y van twee uiteinden van bladen van de ventilator.

     
  a. Leg uit welke grafiek bij welk punt van de ventilator hoort.
         
 

         
  b. Hoeveel omwentelingen per minuut maakt de ventilator?
       

300

  c. Geef een formule voor de hoogte (in cm)  van het onderste punt van de ventilator op de begintekening als functie van de tijd in seconden.
         
14. examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2016-I
         
 

Van de maan is ook bij een wolkeloze hemel niet altijd een even groot gedeelte zichtbaar. Het percentage van de maan dat zichtbaar is, verloopt bij benadering periodiek. Voor het jaar 2017 is dit percentage in Nederland te benaderen met de formule:

P = 50 + 50sin (0,212769t - 1,042563)

Hierin is P het percentage van de maan dat zichtbaar is en t is de tijd in dagen met t = 0 op 1 januari 2017 om 0:00 uur.

         
  a. Bereken de periode van P in hele minuten nauwkeurig.
     

42524

  De vorm van het zichtbare gedeelte van de maan wordt de schijngestalte van de maan genoemd. Vier speciale schijngestalten zijn nieuwe maan, eerste kwartier, volle maan en laatste kwartier. Zie de figuur, waarin ze op volgorde staan afgebeeld, elk met het bijbehorende percentage van de maan dat zichtbaar is.
         
 

         
  De volgorde waarin deze schijngestalten voorkomen, is dus altijd: eerst nieuwe maan, dan eerste kwartier, dan volle maan en daarna laatste kwartier. Daarna volgt opnieuw nieuwe maan, enzovoort.
         
  b. Onderzoek met behulp van de formule voor P tussen welke twee opeenvolgende schijngestalten de maan zich op 22 februari 2017 zal bevinden
         
15. examenopgave HAVO wiskunde B, 2016-II
         
  Op het domein   [0, 5/2π]  zijn gegeven de functies: de
f
(x) = 2cos(1/2x - 1/8π)  en  g(x) = sin(x - 1/4π)
De lijn k
die door de toppen van de grafiek van f gaat, gaat ook door de toppen van de grafiek van g. Zie de figuur.
Toon dat aan.
         
 

         
16. Examenopgave VWO Wiskunde A, 2017-I
         
  Op de foto’s zie je het Zentrum Paul Klee in Zwitserland. Het gebouw heeft een bijzondere vorm: het bestaat uit drie afdelingen met daaroverheen een golvend dak.
         
 

         
  De drie afdelingen zijn verbonden door een lange gang. In onderstaande figuur zie je een schematische doorsnede van het gebouw en de lange gang. In deze figuur is duidelijk te zien dat het dak bestaat uit drie golven met verschillende periodes. Ook de hoogtes zijn verschillend.
         
 

         
  Elke golf begint en eindigt op een laagste punt. Voor de linker golf in de figuur kan men de volgende formule opstellen:
 

         
  Hierin is h de hoogte van de golf boven het laagste punt in meter en x de horizontale afstand in meter vanaf het beginpunt van deze golf. De vloer van de gang bevindt zich 1 meter boven het laagste punt van de golven. De gang zelf is 3,5 meter hoog.
         
  a. Bereken de lengte van het gedeelte van de gang dat zich geheel onder het linker dak, dus onder de linker golf, bevindt in cm nauwkeurig.
       

36,97

  De golf die hoort bij het middelste dak is 51 meter lang en 12,5 meter hoog. Hier hoort een formule bij van de vorm
h
=
a + asin (c(x + d)met h de hoogte van de golf in meter boven het laagste punt en x de horizontale afstand in meter vanaf het beginpunt van de linker golf.
         
  b. Bereken de waarden van a, c en d in deze formule.
         
  We kijken nu naar het rechter dak. Om de afmetingen hiervan te berekenen, kan de architect bijvoorbeeld als volgt te werk gaan. Hij gaat voor het dak uit van een sinusoïde met een periode van 39 meter. Verder wil hij dat onder het dak een benedenverdieping past van 24 meter breed en 4,5 meter hoog. In onderstaande figuur is de doorsnede getekend die bij deze situatie hoort. De golf begint linksonder in het punt met coördinaten (0,0).
         
 

         
  c. Bereken, welke hoogte de architect nu minimaal moet nemen voor de golf die hoort bij het dak in deze situatie. Geef je antwoord in dm nauwkeurig.
       

13,9

17. examenopgave HAVO wiskunde B, 2018-I
         
 

Op het domein [0, 2π] is de functie f gegeven door:  f(x) =  2 + 3sin(π(x + 1/4))
Verder is de lijn l gegeven door de vergelijking   y = 7/2  Zie figuur.

         
 

         
  Op het gegeven domein snijden l en de grafiek van f elkaar in twee punten.
         
  a. Bereken exact de x-coördinaten van deze punten.    
       

7/1223/12

  Een functie g heeft een functievoorschrift van de vorm:  g(x) = p + q • cos(r(x - s))

Er geldt:
  - De periode van g is 4.
  - Het hoogste punt van de grafiek van g valt samen met het hoogste punt van de grafiek van f.
  - De amplitude van de grafiek van g is twee keer zo groot als de amplitude van de grafiek van f.
         
 

         
  b. Bereken mogelijke exacte waarden van p, q, r en s.
         
18. examenopgave VWO wiskunde A, 2018-I.
         
 

Op de foto zie je een doorgezaagde boomstam. Hierin zijn zogenaamde jaarringen te zien. Deze ontstaan doordat de boom in de zomer snel groeit: dan wordt er licht gekleurd hout gevormd.
In de winter groeit de boom langzaam en wordt er donker gekleurd hout gevormd. Zo komt er elk jaar een ring bij, die uit een licht en een donker gedeelte bestaat: een jaarring.

In deze opgave kijken we eerst naar de groeisnelheid van de diameter (G) van een grove den. Omdat een boom afwisselend snel en langzaam groeit, kun je deze groeisnelheid modelleren met behulp van sinusoïden.

         
  Voor de groeisnelheid van de diameter van een grove den gelden de volgende eigenschappen:
  - de groeisnelheid is drie maanden na het ontkiemen van het zaadje maximaal;
  - de groeisnelheid is negen maanden na het ontkiemen minimaal;
  - dit patroon herhaalt zich elk jaar;
  - de maximale groeisnelheid is 2,1 cm per jaar;
  - de minimale groeisnelheid is 0,3 cm per jaar.
         
 

Voor de groeisnelheid van de grove den kun je op basis van deze eigenschappen een formule opstellen van de vorm
G
= a + bsin(c(t - d)) .

Hierin is G de groeisnelheid in cm per jaar en t de tijd in jaren na het ontkiemen.

Bereken de waarden van
a, b, c en d in deze formule. Licht je antwoord toe.

         
19. examenopgave HAVO wiskunde B, 2019-II
         
  De functie f wordt gegeven door  f (x) = -1 + sin(2x - 1/6π) .
De grafiek van 
f  is in de volgende figuur weergegeven.
         
 

         
  Er zijn vier waarden van x in het interval 0 x 2π waarvoor  geldt  f(x) = -1/2
         
  a. Bereken exact deze vier waarden van x.
         
  We bekijken nu de functie g. Deze heeft de volgende eigenschappen:
  - De grafiek van g is een sinusoïde.
  - De periode van de grafiek van g is drie keer zo klein is als de periode van de grafiek van f.
  - De amplitude van de grafiek van g is vier keer zo klein als de amplitude van de grafiek van f.
  - Een laagste punt van de grafiek van g valt samen met het snijpunt van de grafiek van f met de y-as.
         
 

         
 

Functie g heeft een functievoorschrift van de volgende vorm:    g(x) = d + a · cos(bx)

Hierin zijn a, b en d getallen.

         
  b. Bereken exact voor elk van deze drie getallen een mogelijke waarde.
         
20. examenopgave VWO wiskunde A, 2019-I.
         
  Langs het Zandpad in Utrecht staat een hek dat bestaat uit twee sinusoïden, die elkaar raken. Zie de foto.
         
 

         
  In de figuur hieronder zijn de twee sinusoïden in het hek schematisch weergegeven.
         
 

         
  De formule die bij de onderste sinusoïde hoort, luidt:   Sonderste = 100 + 50sin(1/3πx)

Hierbij is Sonderste de hoogte in centimeters en x de afstand tot het beginpunt op de evenwichtsstand in meters.

De toppen van de onderste sinusoïde liggen op de evenwichtsstand van de bovenste sinusoïde. De amplitudes van beide sinusoïden zijn gelijk.
Verder is gegeven dat de twee sinusoïden elkaar bij
x = 1/2  en ook bij  x = 61/2  raken.

Geef de formule voor de bovenste sinusoïde en licht toe hoe je je antwoord gevonden hebt.

         
21.

         
 

We bekijken in deze opgave de hoogte van een punt P van het wiel van een fiets die met constante snelheid rijdt. De diameter van het wiel is 71,12 cm.
Voor de hoogte van punt P boven de grond blijkt te gelden:

P(t) = 35,56 + 35,56sin(1,60t - 3,14)

Daarin is P gegeven in cm en t in seconden

         
  a. Bereken hoe snel de fiets rijdt. Rond je antwoord af op een geheel aantal km/uur.
         
  b. Geef de betekenis van het getal 3,14 uit de formule.
         
  Natuurlijk is het veel leuker als je de fiets over een hobbelweg laat rijden.
We rijden met de fiets over een weg waarvan de hoogte een sinusgrafiek is.
         
 

         
  Voor de hoogte (H im cm) van de weg vanaf de lijn h = 0 op de plaats van punt P blijkt te gelden:  

H(t)  = 13,2 + 13.2sin(1,60t + 0,73)

Voor de hoogte  h  van punt P (vanaf de lijn h = 0)  geldt dan:    h(t) = P(t) + H(t)

         
  c. Geef een formule voor h(t) in de vorm  h(t ) = a + bsin(ct + d)
         
22. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2021-I.

De functie f wordt gegeven door
 

         
  In onderstaande figuur is de grafiek van f getekend en ook de lijn met vergelijking  y = 11/2. Deze lijn heeft oneindig veel snijpunten met de grafiek van f. Het eerste snijpunt rechts van de y-as is K, het vierde is L. In de figuur is met een groene lijn nog een sinusoïde weergegeven. Voor deze sinusoïde geldt:
-  De eerste top rechts van de y-as valt samen met K.
-  De derde top rechts van de y-as valt samen met L.
-  De sinusoïde raakt de lijn met vergelijking y = -1.
         
 

         
  De functie g die bij de groene grafiek hoort, heeft een functievoorschrift van de volgende vorm:

g
(x) =  a cos(b(x - c)) + d

Hierin zijn a, b, c en d getallen.

Bereken exact voor elk van deze vier getallen een mogelijke waarde.
         
         

© h.hofstede (hhofstede@hogeland.nl)