© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. de lengte is 30 m dus het uiteinde beschrijft een cirkel met straal 30 m
de omtrek daarvan is 2π • 30 = 188,5 m
de snelheid is 47 m/sec, dus 188,5 m duurt  188,5/47 = 4,01 seconden
       
  b. evenwichtslijn 50
amplitude 30
periode 4 sec. dus in de formule staat 2π/4 = π/2
op t = 0 het laagste punt, dus we nemen een cosinusgrafiek die is gespiegeld in de x-as.
Dat geeft  P(t) = 50 - 30 • cos(π/2 • t)
       
  c. punt Q was 1/3 periode eerder dan P in het laagste punt.
je krijgt de grafiek van Q door die van P 1/3 periode (is 4/3 sec) naar links te schuiven
Dat geeft  P(t) = 50 - 30 • cos(π/2 • (t + 4/3))
       
  d. 50 - 30 • cos(π/2 • t) = 70
plot Y1 = 50 - 30 • cos(p • X/2)  en  Y2 = 70
intersect geeft t = 1,465  en  t = 2,535
daartussen ligt  1,07 seconden en dat is  1,07/4 • 100% = 27% van de periode
       
2. a. evenwichtslijn 0
amplitude 16
periode 4 seconden, dus in de formule staat  2π/4 = π/2
beginpunt x = 0 op t = 0 en die neemt toe, dus we nemen een gewone sinus:
P(t) = 16 • sin(π/2t)
       
  b. evenveel tanden als A, dus de periode is weer 4 seconden.
evenwichtslijn 16 + 6 + 6 + 16 = 40
amplitude 16
beginpunt maximaal op t = 0 dus we nemen een cosinus:
R(t) = 40 + 16 • cos (π/2 t)
       
  c. 48 tanden duurt 4 seconden
dan duurt 18 tanden 18/48 • 4 = 1,5 seconde, dus de periode van B is 1,5
dan staat in de formule 2π/1,5 = 4/3π
evenwichtslijn is 0
amplitude is 6
op t = 0 het laagste punt dus we nemen een cosinus die is gespiegeld.
Q(t) =  -6 • cos(4/3πt)
       
3. a. als de periode 12 is, dan staat in de formule 2π/12 = 0,52  
       
  b. het beginpunt is bij t = 5, dus het maximum is een kwart periode verder, dus 3 uur na t = 5
dat is op t = 8 (en 12 uur later om t = 20 uur weer)
       
  c. 1,2 = 0,5 + 0,9sin0,52(t - 5)
plot Y1 = 0,5 + 0,9sin0,52(X - 5) en Y2 = 1,2
intersect levert dan  t = 6,71  en  t = 9,33  en  t = 18,80 en t = 21,41
hoger dan 1,2 m is tussen 6,71 en 9,33 en ook tussen 18,80 en 21,41
samen is dat 5,23 uur.
       
4. a. Op t = 0 is de sinusgrafiek in zijn evenwichtspunt en begint toe te nemen.
Dat geldt ook voor de hoogte van punt P.
       
  b. Dan gaat P naar beneden bewegen, en zou gelden   h(t) = 18 - 14sin(1/4πt)
       
  c. Het is dezelfde formule als die van P alleen het beginpunt (waar de sinus door de evenwichtslijn omhoog gaat) is anders.
S begint in het onderste punt. Je zou er een gespiegelde cosinus van kunnen maken:
dat geeft  h(t) = 18 - 14cos(1/4πt)
       
5. Plot de grafiek van Y1 = 3 - 2·sinx + 5·cosx - 1
Zie de figuur hiernaast.
calc - maximum en calc-minimum geeft de punten
(2.76, -3.39) en (5.90, 7.39)

de evenwichtslijn is dan  (-3,39 + 7,39)/2 = 2
de amplitude is  7,39 - 2 = 5,39
de halve periode is 5,90 - 2,76 = 3,14 dus de hele periode is 6,28 (zal wel 2π zijn want dat is ook de periode van y1 en y2)
beginpunt is dan  (2,76 + 5,90)/2 = 4,33
Formule:  y = 2 + 5,39 • sin(x - 4,33)
       
6. a. Lees twee toppen af:  (1, 70) en (2, 30)
Evenwichtslijn is dan  (70 + 30)/2 = 50
Amplitude is  70 - 50 = 20
Halve periode is  2 - 1 = 1 dus de periode is 2 en in de formule staat 2π/2 = π
Beginpunt is een kwart periode vσσr t = 1, dus dat is t = 0,5
Samen geeft dat  h(t) = 50 + 20 • sin(π(t - 0,5))
       
  b. Y1 = 50 + 20 • sin(p(X - 0,5)) en Y2 = 60
Intersect geeft  t = 0,67 en t = 1,33
Daartussen ligt  1,33 - 0,67 = 0,67 seconden van de periode van 2
Dat is 0,67/2 • 100% = 33%
       
  c. De snelheid is de helling.
Y1 = 50 + 20 • sin(π(X - 0,5))
calc - dy/dx  en dan X = 0,6  geeft  snelheid 59,8 cm/sec.
       
7. a. 30 januari is n = 30
B = 12,3 + 4,6 • sin2π/365 •(30 - 80) = 8,81 uur en dat is 8 uur en 49 minuten
als de om om 8 uur 27 opkomt gaat hij om 17 uur 16 weer onder
       
  b. Y1 = 12,3 + 4,6 • sin(2*π*(X - 80)/365)  en Y2 = 14
intersect geeft als eerste snijpunt X = 101,99
n = 102 is 31 + 28 + 31 + 12 dus dat is inderdaad 12 april
       
  c. het maximum ligt bij n = 170 en is 10,4
het minimum ligt bij n = 352 en is 7,2
Evenwichtslijn is dan  (10,4 + 7,2)/2 = 8,8
Amplitude is 10,4 - 8,8 = 1,6
Halve periode is 352 - 170 = 182, dus de periode is 364:  zal wel 365 dagen moeten zijn
Beginpunt een kwart periode vσσr het maximum:  ongeveer 79
B = 8,8 + 1,6 • sin2π/365•(t - 79)
       
  d. Bnoord + Bzuid = B  dus  Bzuid  = B - Bnoord
Trek de grafiek van Bnoord van die van B af.
Dat geeft de paarse grafiek hiernaast.
       
8. a. De amplitude is 30,
De periode is 9, dus in de formule komt 2π/9
Daarmee wordt de formule y = 30 • sin (2π/9 • x)
       
  b. Het deel tussen 4,5 en 12 is wιιr een sinusgrafiek, maar nu met amplitude 50:
       
9. a. de periode is  (2π)/(0,88p) = 2/0,88 = 2,2727 milliseconde, en dat is 0,002727 seconden
de frequentie is dan 1/0,002727 = 367 trillingen per seconde.
       
  b. De amplitude ligt tussen 0,14 en 0,28
De periode is kleiner dan die van A en B, dus het getal in de formule voorde t is groter dan 0,88.
Bijv.  y = 0,2 • sin(t)
       
10. a. Een sinus is maximaal 1 en minimaal -1
De hoogte is dan maximaal  3 • 1 + 7 = 10m  en  minimaal  3 • -1 + 7 = 4 m.
       
  b. Plot de grafiek  Y1 = 3*sin(π*X/30) + 7  en de lijn Y2 = 8
Denk erom dat je rekenmachine op radialen staat  (MODE - Radian).
window bijv. Xmin = 0, Xmax = 100, Ymin = 0, Ymax = 12
intersect met de juiste twee snijpunten geeft  X ≈ 3,245 en X ≈ 86,755
De lengte daartussen is ongeveer 86,755 - 3,245 ≈ 84 m.
       
  c. Het maximum is 8 en het minimum is 4, dus de evenwichtslijn is  y = 6 en de amplitude is 2.
De afstand tussen het beginpunt met hoogte 4 en het eindpunt met hoogte 6 is 3/4 periode en dat is 48 m.
Een periode is dus 64 m.
Kies als oorsprong bijvoorbeeld het punt waar de hoogte 6 meter is (16 meter naast het begin van de sporthalgrafiek)
Dan wordt de formule:  y = 6 + 2 • sin(2π/64 • x)
       
11. 1/2p = p - 1 + cospx
cospx = 1 - 1/2p
cospx heeft amplitude 1, dus als er snijpunten moeten zijn, dan moet  1 - 1/2p < 1 en 1 - 1/2p > -1
1 - 1/2p < 1  ⇒ 1/2p > 0  ⇒  p > 0
1 - 1/2p > -1  ⇒ 1/2p < 2  ⇒  p < 4

Als er bovendien minstens 4 snijpunten op het interval [0, 2π] moeten zijn, dan moet de cosinusgrafiek daar dus minstens twee periodes hebben. Dat betekent dat de periode kleiner dan π moet zijn.
dus  2p/p < π    p > 2

Alles samengenomen moet gelden  2 < p < 4
Als p een geheel getal moet zijn is de enige mogelijkheid p = 3
       
12. a. Lees af:  maximum (165, 21)  en minimum (348, 16.5)
De evenwichtslijn is dan  (16,5 + 21)/2 = 18,75
De amplitude is 21 - 18,75 = 2,25
De halve periode is  348 - 165 = 183, dus de periode is 366. Laten we maar 365 van een heel jaar nemen.
Een kwart periode vσσr het maximum gaat de sinusgrafiek door de evenwichtsstand omhoog, dus dat is bij ongeveer 165 - 0,25 • 365 = 74
Dat geeft  y = 18,75 + 2,25 • sin(2π/365 •(x - 74))
       
  b. 4:19 is  4,32 uur  en  8:48 is 8,80 uur
17 juni is dagnummer 181  en  30 december is dagnummer 364
Het minimum is dus (181, 4.32) en het maximum is  (364, 8.80)
De evenwichtslijn is dan  (8,80 + 4,32)/2 = 6,56
De amplitude is 8,80 - 6,56 = 2,24
De halve periode is  364 - 181 = 183, dus de periode is 366. Laten we maar weer 365 van een heel jaar nemen.
Een kwart periode vσσr het maximum gaat de sinusgrafiek door de evenwichtsstand omhoog, dus dat is bij ongeveer 364 - 0,25 • 365 = 273
Dat geeft  y = 6,56 + 2,24 • sin(2π/365 •(x - 273))
       
  c. Daglengte:
D = 18,75 + 2,25 • sin(2π/365 •(x - 74)) - (6,56 + 2,24 • sin(2π/365 •(x - 273)))
       
   

       
  Lees af (of gebruik je GR met calc-maximum/minimum):  minimum (356, 7.74) en maximum (173, 16.63)
De evenwichtslijn is dan  (7,74 + 16,63)/2 = 12,19
De amplitude is 16,63 - 12,19  = 4,44
De periode is uiteraard weer 365 dagen
Een kwart periode vσσr het maximum gaat de sinusgrafiek door de evenwichtsstand omhoog, dus dat is bij ongeveer 173 - 0,25 • 365 = 82
Dat geeft  y = 12,19 + 4,44 • sin(2π/365 •(x - 82))
       
13. a. De rode grafiek begint bovenaan en gaat omlaag, dus dat is het hoogste punt van de ventilator.
De blauwe grafiek begint onder de evenwichtslijn en gaat omlaag dus dat is het laagste van de twee linkerpunten van de ventilator.
       
  b. De periode is 0,2 seconden, dus dat is 60/0,2 = 300 omwentelingen per minuut.
       
  c. evenwichtslijn 80
amplitude 80
periode 0,2 seconden  dus in de formule  2π/0,2 = 10π
begin punt: na een kwart periode is het punt op de evenwichtslijn, dus een verschuiving van 0,25 • 0,2 = 0,05 sec. naar rechts.
Dat geeft  y(t) = 80 + 80sin(10π(t - 0,05))
       
14. a. de periode is  2π/0,212769 = 29,53054866... dagen
Een dag is 24 • 69 = 1440 minuten
Dat is dus 29,53.... 1440 = 42524 minuten 
       
  b. 22 februari  ligt tussen t = 52 en t = 53
Dan is  (invullen)  P = 22 en  P = 14
Dat is dus tussen nieuwe maan en eerste kwartier OF tussen laatste kwartier en nieuwe maan.
Maar omdat P van t = 52 naar t = 53 afgenomen is (van 22 naar 14)  is het tussen laatste kwartier en nieuwe maan.
       
15. 2cos(1/2x - 1/8π)  = 2cos(1/2(x - 1/4π))
cosx heeft toppen  (0, 1) en  (π, -1)
cos(1/2x) heeft toppen  (0, 1) en  (2π, -1)
cos(1/2(x - 1/4π)) heeft toppen  (1/4π, 1) en  (9/4π, -1)
2cos(1/2(x - 1/4π)) heeft toppen  (1/4π, 2) en (9/4π, -2)

De lijn daar doorheen heeft  a Δy/Δx = (-2 - 2)/(9/4π - 1/4π) = -4/(2π) = -2/π
2 = -2/π • 1/4π + b = geeft  b = 5/2  dus het is de lijn  y = -2/π • x + 5/2

sin(x) heeft toppen  (1/2π, 1) en (3/2π, -1)
sin(x - 1/4π) heeft toppen  (3/4π, 1) en (7/4π, -1)

Liggen die op de lijn?

-2/π • 3/4π + 5/2 = -3/2 + 5/2 = 1  KLOPT
-2/π • 7/4π + 5/2 = -7/2 + 5/2 = -1  KLOPT OOK.
       
16. a. 3,5 = 7 + 7sin(2π/60 • (x - 15))
Y1 = 3,5
Y2 = 7 + 7*sin(2*π*(X - 15)/60)
intersect geeft x = 11,513  en  x = 48,487
Daartussen ligt dus 36,97 m
       
  b. Hoogte is 12,5 dus evenwichtslijn h = 6,25  en amplitude 6,25  (beiden a)
Lengte is 51 m dus in de formule staat  2π/51 = c
beginpunt van de sinusgrafiek  60 + 0,25 • 51 = 72,75
Dat geeft  h = 6,25 + 6,25 • sin(2π/51(x - 72,75))
       
  c. Maak er een cosinusgrafiek van die is gespiegeld.
De formule wordt dan   h = a - acos(2π/39 • x)
de bovenkant van de verdieping begint bij  x (39 - 24)/2 = 7,5
de cosinusgrafiek moet dus door (7.5, 4.5) gaan
invullen:  4,5 = a - acos(2π/39 • 7,5)
4,5 = a - 0,3546a
4,5 = 0,6454a
a
= 6,972
De hoogte wordt dan  2 • 6,972 = 13,9 m.
       
17. a. 2 + 3sin(π(x + 1/4)) = 7/2
3sin(π(x + 1/4)) = 3/2
sin(π(x + 1/4)) = 1/2
π(x + 1/4) = 1/6π + k2π  ∨   π(x + 1/4) = 5/6π + k2π
x
+ 1/4 = 1/6 + 2k  ∨   x + 1/4 = 5/6 + 2k
x
= -1/12 + 2k  ∨  x = 7/12 + 2k
Tussen 0 en 2 geeft dat de oplossingen x = 23/12  en  x = 7/12  
       
  b. De amplitude is 2 • 3 = 6  dus  q = 6
De periode is 4 dus  r = /4 dus  r =  1/2π

De grafiek van f is een sinusgrafiek met evenwichtslijn 3 en amplitude 2 en periode 2 die 1/4 naar links is geschoven, dus heeft beginpunt x = -1/4
De top daarvan bevindt zich een kwart periode naast het beginpunt, dus bij x = -1/4 + 1/2 = 1/4
Het hoogste punt van de grafiek van f is  (1/4, 5)

g is een cosinusgrafiek, dus die begint bij x = 1/4  dus  s = 1/4
de amplitude is 6, dus de evenwichtlijn is de lijn y = -1  dus  p = -1
       
18. de snelheid varieert tussen 2,1 en 0,3 dus de evenwichtsstand is (2,1 + 0,3)/2 = 1,2 = a
de amplitude is de afstand van evenwichtslijn tot maximum dus 2,1 - 1,2 = 0,9 = b
de periode is 1 jaar, dus  c = 2π/1 = 2π
het maximum zit bij 3 maanden en dat is 0,25 jaar, de grafiek gaat een kwart periode daarvσσr door de evenwichtsstand omhoog, dus dat is bij  t = 0,  dus  d = 0.
       
19. a. -1 + sin(2x - 1/6π)  = -0,5
sin(2x - 1/6π) = 0,5
2
x - 1/6π  =   1/6π + k2π     2x - 1/6π = 5/6π + k
2x =
1/3π + k2π    2x = π + k
x =
1/6π + kπ    x = 1/2π + kπ
Dat geeft de oplossingen  x =
1/6π,  7/6π,  1/2π, 3/2π
       
  b. De periode van  f  is  2π/2 = π  dus de periode van g is  1/3π  dus b = 2π/(π/3) = 6 = b

De amplitude van f  is 1, dus de amplitude van g is 0,25
Omdat de grafiek van g in het laagste punt begint, is de cosinusgrafiek gespiegeld, dus a = -0,25

f snijdt de y-as bij  y =  -1 + sin(2 • 0 - 1/6π) = -1,5
De evenwichtslijn van g is dan  -1,5 + amplitude = -1,5 + 0,25 = -1,25  dus d
= -1,25
       
20. De amplitude van de onderste is 50, dus van de bovenste ook.
De top van de onderste is bij 100 + 50 = 150 en dat is dus de evenwichtslijn van de bovenste.
De sinussen hebben dezelfde periode, dus ook de bovenste heeft factor  π/3 
De voorlopige formule van de bovenste is dus  Sbovenste = 150 + 50sin(π/3(x - d)) waarbij d de horizontale verschuiving is.
Voor x = 0,5 is Sonderste gelijk aan  100 + 50sin(1/6π) = 125 
De grafiek van Sbovenste moet dus ook door (0.5, 125) gaan.
125 = 150 + 50sin(π/3(0.5 - d))
-25 = 50sin(π/3(0.5 - d))
-0,5 = sin(π/3(0.5 - d))
-π/6 = π/3(0.5 - d))    (meer oplossingen hoeft niet: we hoeven maar ιιn d te vinden)
-0,5 = 0,5 - d
d
= 1
dus  Sbovenste = 150 + 50sin(π/3(x - 1))
       
21.      
       
22. De toppen zitten tussen y = 1,5 en y = -1
De evenwichtslijn is dus  (1,5 + -1)/2 = 0,25 dus d = 0,25
De amplitude is  2,5/2 = 11/4 dus  a = 11/4

Punt K:   3sin(1/4πx) = 11/2
sin(1/4πx) = 0,5
1/4πx = 1/6π + k • 2π  ∨  1/4πx = 5/6π + k • 2π
x = 2/3 + k
•  x = 31/3 + k • 8
Dat geeft oplossingen  2/3,  31/3,  82/3, 111/3, ...
xK = 2/3  en dat is het beginpunt van de cosinus, dus c = 2/3
en  xL = 111/3  dus de periode is  111/3 - 2/3 = 102/3
b = 2π/102/3 = 3/16π
       
23. a. De eerste top van sin(x) is normaal  (1/2π, 1)
Door de verschuiving 3 wordt dat  (1/2π, 3)
Door de vermenigvuldiging factor 1/2 wordt dat (1/4π, 3)

De eerste top van cos(x) is normaal  (π, -1)
Door de verschuiving 3 wordt dat  (π, -3)
Door de vermenigvuldiging factor 1/2 wordt dat (1/2π, -3)

De afstand is dan  √((1/4π)2 + 62) = 6,05
       
  b. Voer de formule  Y1 = 1 + 3sin(2x) + 1 + 3cos(2x)  in je GR in.
Bereken de coφrdinaten van het eerste maximum en het eerste minimum.

Dat zijn (0.3927, 6.2426)  en  (1.9635, -2.2426)

de evenwichtslijn is  (6.2426 + -2.2426)/2 = 2
de amplitude is  6.2426 - 2 = 4,24
de periode is hetzelfde als van de oorspronkelijke functies, dus in de formule staat nu 2x
het beginpunt van cosinus is de top  dus x = 0,39

Dat geeft  h(x) = 2 + 4,24 • cos(2(x - 0,39))
       
24. a. We tellen ongeveer 5 hartslagen in 4 seconden
Dat is in een minuut (60 seconden) 5 • 15 = 75 hartslagen.
De hartslag is dus 75 slagen per minuut.
       
  b. De evenwichtslijn is  (124 + 82)/2 =  103 en dat is a
De amplitude is dan  124 - 103 = 21  en dat is b
De periode is 60/66
Dan is  c = 2π/(60/66) = 2,2π
Dat geeft  P = 103 + 21sin(2,2πt)
       
  c. De formule voor de rechte lijn van de bloeddrukmeter is  P = 170 - 10t
Plot die grafiek en bepaal met je GR het eerste en laatste snijpunt van de lijn met de P-sinusoοde
Dat geeft  P = 128,5...  en  P = 91,4....
De onderdruk is 91 en de bovendruk is 129
       
25. a. -11 + 38,6 • sin(π/244 • (x + 122)) = 0
Invoeren in de GR en dan calc - zero
Dat geeft  xA =  -99,55  en  xB = 99.55
De afstand daartussen is dan 199 m 
       
  b. y = -11 + 38,6 • sin(π/244 • (x + 122))
herschalen met factor 1,17:   y = 1,17 • (-11 + 38,6 • sin(π/244 • (x + 122)))
1,87 omhoog schuiven:   y =  1,17 • (-11 + 38,6 • sin(π/244 • (x + 122))) + 1,87

x = 0  geeft met deze laatste formule  y = 34,162
x = 0  geeft met de oorspronkelijke formule  y = 27,6

De afstand is dan  6,6 m.
       
  c. De boog begint op 11 m onder het wegdek, en een sinusgrafiek begint op de evenwichtsstand. Dus de evenwichtsstand is  a = -11

Het hoogste punt raakt het wegdek dus de amplitude is b = 11

De  breedte is 95 m en dat is de halve periode, dus de periode is 190 m, dus  c = 2π/190 = 0,033

De boog begint bij x = 244/2 + 7 = 129 m, dus  d = 129

y = -11 + 11 • sin(0,033(x - 129))
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)