machtsindex


Wie is de machtigste?	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

In veel groeperingen (Verenigde Naties, EU) zijn de deelnemers niet even groot of niet even belangrijk. Dat betekent dat het bij stemmingen niet eerlijk zou zijn om elke stem even zwaar te laten tellen. De grotere deelnemers vertegenwoordigen meer mensen en zouden dus ook meer stemmen moeten krijgen dan de kleinere.

Maar hoeveel meer?
Wat is eerlijk?

Een stemsysteem waarin niet iedere deelnemer evenveel stemmen krijgt noemen we een gewogen systeem.
In deze les onderzoeken we twee methoden om te bepalen wie er bij welke stemmenverhouding de meeste macht heeft.

Eerst even iets over de notatie.

Het stemsysteem (55 ⇒ 20, 40, 15, 25) betekent:
Er zijn voor een meerderheid 55 stemmen nodig, en de kandidaten A, B, C en D hebben achtereenvolgens 20, 40, 15, en 25 stemmen.

Methode 1: De Banzhaf-Index.

De Amerikaanse jurist John Banzhaf ontwikkelde in 1965 ideeën over hoe je de macht van een lid bij een bepaald stemsysteem in een getal zou kunnen uitdrukken..
Dat getal heet de Banzhaf-index, en de berekening ervan gaat als volgt:

Schrijf alle mogelijkheden op van stemmenverdeling.
Bereken bij hoeveel van die mogelijkheden het feit dat lid A van mening verandert doorslaggevend zou zijn (dus het eindresultaat zou veranderen).

Neem als voorbeeld het stemsysteem voor drie partijen: (51 ⇒ 45, 45, 10).
Dan zijn er voor het VOOR/TEGEN stemmen van deze drie kandidaten in totaal 8 (juist: 2³) mogelijkheden. Die staan in de volgende tabel.

A 45	B 45	C 10	wordt het voorstel aangenomen?	welke is doorslaggevend?
voor	voor	voor	JA	-	-	-
voor	voor	tegen	JA	A	B	-
voor	tegen	voor	JA	A	-	C
voor	tegen	tegen	NEE	-	B	C
tegen	voor	voor	JA	-	B	C
tegen	voor	tegen	NEE	A	-	C
tegen	tegen	voor	NEE	A	B	-
tegen	tegen	tegen	NEE	-	-	-
				4	4	4

Je ziet dat elke partij vier keer een doorslaggevende stem heeft. Dat betekent dat de Banzhaf-index voor elk van deze drie partijen gelijk is aan 4. De machtsverhoudingen zijn 4-4-4 (of 1-1-1 dat is natuurlijk hetzelfde; het gaat om de verhoudingen). Alhoewel C veel minder stemmen heeft, heeft toch iedereen evenveel macht.

Nou valt dit nog redelijk uit te schrijven. Maar met meer partijen loopt de zaak al gauw uit de hand, en zullen we handige telmethodes moeten gebruiken om de Banzhaf-index te berekenen.

Voorbeeld 1.

Neem het stemsysteem: (40 ⇒ 10, 10, 10, 15, 15, 15)

Nu zouden er 2⁶ = 64 mogelijke stemvolgorden zijn. Dat wordt iets te veel werk om uit te schrijven. Dus gaan we de zaak wat systematischer bekijken.
Wanneer is de mening van iemand met 10 stemmen (een "10-persoon") doorslaggevend? Dat kan op twee manieren.

Het voorstel wordt aangenomen met 40-49 stemmen, en deze 10-persoon stemde VOOR.
Immers dan wordt het aantal voorstemmers als deze persoon van mening verandert minder dan 40, en wordt het voorstel verworpen.

Het voorstel wordt verworpen met 30-39 stemmen VOOR, en deze persoon stemde TEGEN.
Immers dan wordt het aantal voorstemmers als deze persoon van mening verandert minstens 40, en wordt het voorstel aangenomen.

40-49 stemmen VOOR kan als volgt: 10-10-10-15, en dat zijn 3 manieren (de 15-persoon kan op 3 manieren gekozen worden) en 10-15-15 en dat zijn ook 3 manieren. Bedenk dat 15-15-15 geen mogelijkheid is, want de 10-persoon zelf moest ook VOOR stemmen.
30-39 stemmen VOOR kan als 10-15-10 (3 manieren) en als 15-15 (3 manieren). Bedenk dat 10-10-10 niet kan, want deze persoon zelf moest TEGEN stemmen.
Daarom is de Banzhaf-index van een 10-persoon gelijk aan 6 + 6 = 12

Wanneer is de mening van iemand met 15 stemmen doorslaggevend? Dat kan op twee manieren.

Het voorstel wordt aangenomen met 40-54 stemmen, en deze 15-persoon stemde VOOR.
Immers dan wordt het aantal voorstemmers als deze persoon van mening verandert minder dan 40, en wordt het voorstel verworpen.

Het voorstel wordt verworpen met 25 -39 stemmen VOOR, en deze 15-persoon stemde TEGEN.
Immers dan wordt het aantal voorstemmers als deze persoon van mening verandert minstens 40, en wordt het voorstel aangenomen.

40-54 stemmen VOOR kan als 15-15-15 (1 manier) en   15-15-10 (2•3 = 6 manieren, want die tweede 15 kun je op 2 manieren kiezen en die 10 op 3 manieren) en 15-10-10-10 (1 manier) en 15-15-10-10 (2•3 = 6 manieren) dus in totaal op 14 manieren.
25-39 stemmen VOOR kan als 15 -10 (6 manieren) en   15-15 (1 manier) en 15-10-10 (6 manieren) en 10-10-10 (1 manier) dus in totaal op 14 manieren.
Samen dus 14 + 14 = 28 manieren.

De Banzhaf-indices van dit stemsysteem zijn daarom   (12-12-12-28-28-28).

Methode 2: De Shapely-Shubik index.

Die werkt volgens deze regel:

Schrijf alle mogelijke volgorden van de stemmers op (Bij n stemmers zijn dat er n!)
Ga vervolgens kijken bij welke deelnemer er voor het eerst een meerderheid zou zijn als ze allemaal vóór zouden stemmen (lees van links naar rechts).
Degene bij wie dat zo is krijgt een punt.
De Shapely-Shubik index is het aantal punten dat een deelnemer heeft.

Voorbeeld 2.
Neem het stemsysteem (51 ⇒ 40, 30, 20, 10).
Noem de deelnemers respectievelijk ABCD, dan staan hier alle mogelijke volgorden (4! = 24 stuks). Degene die voor het eerste een meerderheid geeft is rood gekleurd.

ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC,
BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA,
CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA

Tel de rode letters en je vindt Shapely-Shubik indices van (10, 6, 6, 2)

Voorbeeld 3.
Laten we de Shapely-Shubik ook voor dat grotere stemsysteem (40 ⇒ 10, 10, 10, 15, 15, 15) gaan berekenen.
In totaal zijn er voor 6 deelnemers 6! = 720 mogelijke volgorden.

Wanneer geeft een 10-persoon voor het eerst een meerderheid?
Dat is zo als vóór die 10-persoon 30-39 stemmen VOOR waren, en dat kan als er voor hem 15-15 of 10-10-15 zat.

•

voor 15-15 kun je op 3 manieren kiezen wélke 15-personen dat waren, en daarna op 2 manieren nog hun volgorde.
voor de de drie personen erna zijn er nog 3 • 2 • 1 volgorden,
Dat geeft in totaal 3 • 2 • 6 = 36 manieren.

•

voor 10-10-15 kun je op 3 manieren kiezen wélke 15-persoon dat was, en daarna kun je de volgorde nog op 3 • 2 • 1 = 6 manieren kiezen.
voor de twee personen erna zijn er nog 2 • 1 volgorden,
in totaal dus 3 • 6 • 2 = 36 manieren

Samen geeft dat voor een 10-persoon 36 + 36 = 72 mogelijkheden.

Wanneer geeft een 15-persoon voor het eerst een meerderheid?
Dat is zo als vóór die 15-persoon 25-39 stemmen VOOR waren, en dat kan met
15-10 of 10-10-10 of 15-15 of 15-10-10.

•

voor 15-10 kun je op 2 • 3 kiezen welke personen dat waren, en daarna hun volgorde nog op 2 manieren.
voor de 3 personen erna zijn er weer 6 volgorden,
In totaal 6 • 2 • 6 = 72 manieren

•

voor 10-10-10 kun je op 3 • 2 • 1 = 6 manieren de volgorde nog bepalen.
voor de 2 personen erna nog 2 manieren, dus in totaal 12 manieren

•

voor 15-15 kun je op 2 manieren nog de volgorde bepalen.
voor de 3 personen erna nog 66 manieren, dus in totaal 12 manieren

•

voor 15-10-10 kun je op 2 • 3 manieren kiezen wélke personen het waren, en daarna nog op 3 • 2 • 1 = 6 manieren hun volgorde. Voor de twee personen erna nog 2 manieren
In totaal dus 6 • 6 • 2 = 72 = 36 manieren.

Samen geeft dat voor een 15-persoon 72 + 12 + 12 + 72 = 168 mogelijkheden.

De Shapely-Shubik indices zijn dus (72, 72, 72, 168, 168, 168).
In feite (omdat het om verhoudingen gaat) hetzelfde als de Banzhaf-indices voor dit systeem!!!

Bepaal van de volgende stemsystemen de Banzhaf-indices en ook de Shapely-Shubik indices.

(50 ⇒ 10, 10, 10, 20, 30, 30)

(5,5,5,9,15,15)
(5,5,5,11,17,17)

(13 ⇒ 8, 8, 5, 5, 5)

(7,7,3,3,3)
(9,9,4,4,4)

(45 ⇒ 10, 10, 15, 15, 20)

(3,3,5,5,9)
(7,7,12,12,22)

Ik hoop niet dat je nu boos wordt omdat deze opgaven nogal veel tijd kostten, maar op de site http://homepages.warwick.ac.uk/~ecaae/ kun je die indices eenvoudig laten berekenen (onze Banzhaf heet daar "normalised Banzhaf", en bij het invoeren is "Quota" het minimum aantal stemmen om een voorstel te laten aannemen).

Een stemsysteem ontwerpen: De Veiligheidsraad van de VN.

De Veiligheidsraad van de Verenigde Naties heeft 15 leden waaronder 5 permanente leden met vetorecht (Verenigde Staten, China, Rusland, Groot Brittannië, Frankrijk) en 10 roulerende leden. Die roulerende landen worden steeds voor de duur van 2 jaar gekozen, elk jaar worden er vijf vervangen.
Om een voorstel (een resolutie) aan te nemen moeten er 10 stemmen VOOR zijn (en daarnaast, vanwege hun vetorecht, dus alle stemmen van de permanente leden).

We gaan proberen daar een stemsysteem voor te maken.
Dat zal er natuurlijk zó uitzien:
(Q ⇒ p, p, p, p, p, t, t, t, t, t, t, t, t, t, t)

Daarin is Q het aantal benodigde stemmen (inclusief dat veto-gedoe) en p het aantal stemmen van een permanent lid, en t het aantal stemmen van een tijdelijk lid. De vraag is natuurlijk: hoe kunnen we die Q, p en t zo eenvoudig mogelijk kiezen, zodat het klopt met die 9 stemmen plus vetostemmen? Omdat het om de verhoudingen gaat stellen we eerst even al die t's gelijk aan 1.

Vanwege het vetorecht mogen er niet voldoende stemmen zijn als er een p ontbreekt, dus 4p + 10 < Q
Als alle p-landen voor stemmen plus 4 t-landen, dan moet het aantal Q gehaald zijn: 5p + 5 ≥ Q en 5p + 3 < Q. Maar omdat we alleen met gehele getallen willen werken geeft dat 5p + 5 = Q

Omdat 4p +10 < Q en 5p + 4 = Q geldt dus 4p + 10 < 5p + 5 ⇒ p > 6
De kleinste p die voldoet is p = 6 en Q = 5p + 5 = 35
Dat geeft het stemsysteem: (35 ⇒ 6, 6, 6, 6, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1).
Inderdaad zijn er nu zonder een p-land slechts 34 stemmen, en met alle p-landen plus 5 t-landen precies 35 stemmen.

Bereken voor de landen van de Veiligheidsraad van de VN de Banzhaf-indices en de Shapely Shubik-indices.

(1276, 1276, ...,252, 252, ...)
(0,192 - 0,004)