Logaritmische schaalverdeling.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Een beroemd verhaal vertelt dat de uitvinder van het schaakspel, ene Sissa ibn Dahir (zeg maar Sissa),  het spel aan zijn koning leerde. Die was zó enthousiast dat hij de uitvinder een beloning wilde geven. "Zeg maar wat je wilt hebben," zei hij gul, want hij was namelijk nogal rijk. Sissa vroeg de koning om 2 graankorrels op het eerste veld van het schaakbord, 4 korrels op het tweede veld, 8 op het derde veld enzovoorts: steeds op een volgend veld het dubbele aantal van het vorige veld. De koning moest lachen om zo'n eenvoudige beloning.
Totdat hij een grafiek ging maken van het veldnummer op de x-as en het aantal graankorrels op de y-as......
Op zijn vel papier had hij een y-as tot een miljoen getekend. Maar daar paste zijn 20ste veld al niet meer op. (220 = 1048576) En op het vel dat hij er bovenaan plakte paste het 21ste veld al niet eens.
OEPS!
Het liep nogal uit de hand!!!!!
Om de hoogte van het laatste veld goed te tekenen zou hij ongeveer 2 • 1013 vellen papier boven elkaar nodig hebben. Als elk velletje 0,1 mm dik is, en je legt ze op elkaar als stapel zou die stapel maar liefst 2 miljoen km DIK  zijn!!!!!!!!
Een grafiek op schaal zou er zó uitzien:
     
De eerste pakweg 55 velden geven een nogal saai beeld: daar is helemaal niets aan te zien. Om de saaiheid nog iets te verbergen heb ik er maar een lullig plaatje van Sissa naast gezet. En er valt uit al die stippen ook helemaal niets af te lezen. Je kunt bijvoorbeeld uit deze grafiek niet aflezen dat op het 30ste veld ongeveer een miljard korrels liggen.

Hoe krijgen we hier een "fatsoenlijke" grafiek uit?

Een oplossing om die enorm grote getallen wat in de hand te houden is:  zet op de y-as niet de getallen 1, 2, 3, ... maar de machten van 10:  101, 102, 103, ....  (dus 10, 100, 1000, ....). Dan wordt bovenstaande grafiek slechts zo'n 20 vakjes hoog en is er toch ook ruimte om de getallen op de eerste paar velden aan te geven. Kijk maar:

Nu is wel te zien welk aantal korrels ongeveer bij veld 30 en andere velden hoort. Veel beter!
Zo'n schaalverdeling waarbij dus niet de getallen zélf regelmatig oplopen, maar de machten van 10 heet een logaritmische schaalverdeling.

Logaritmische schaalverdeling:  de machten van 10 zijn regelmatig.
Het is alsof de bovenste grafiek op elastiek of rubber  is getekend, waarna de onderkant sterk is uitgerekt (hoe lager, hoe verder het rubber is uitgerekt) en de bovenkant niet. Zo'n schaalverdeling is dus erg handig als je in één grafiek zowel hele grote getallen als hele kleine getallen wilt aangeven.
Het vreemde papier hierboven heet enkellogaritmisch papier."Enkel" omdat er één as (in dit geval de y-as) zo vreemd veranderd is. De andere (x-as) is normaal.
Het filmpje hiernaast geeft je een idee van hoe snel dat gaat op een logaritmische schaal.

ONDERVERDELEN

Stel we hebben een logaritmische schaal waar dit een klein stukje van is (deze keer horizontaal getekend om papier te sparen):

En stel dat we nu het getal 750 op deze schaal willen aangeven. WAAR LIGT DAT?
Nou ja, natuurlijk daar ergens tussen 100 (102) en 1000 (103) maar waar?????
Denk om de hoofdregel:

De machten van 10 zijn regelmatig.

Dat betekent dat we 750 kunnen tekenen als we weten hoeveelste macht van 10 dat is.
Dus de vraag is  10? = 750.
De oplossing is simpel:  ? = 10log(750) = LOG(750) = 2,87
Verdeel het stuk tussen 100 en 1000 in deelstreepjes (102,1  -  102,2  -  102,3  -  ...) en je hebt de plaats van 750:

Bij de rode pijl staat 750.
En net zo staat bij de blauwe pijl het getal 103,6 = 3981.
Om je al dit rekenwerk te besparen is er ook enkellogaritmisch papier in de handel waarop de "echte" getallen zijn afgedrukt in plaats van de machten van 10 (met de methode van de rode pijl hierboven berekend). Op dat papier ziet de schaalverdeling hierboven er als volgt uit:

Denk erom:  de rode 3 aan de linkerkant staat dus voor 300, de rode 3 rechts voor 3000. Je moet gewoon even opletten tussen welke getallen je inzit. Op dit enkellogaritmische papier zijn de machten van 10 niet al ingevuld maar staat er steeds 10....  zodat je zelf kunt kiezen welke groottes je in beeld wilt hebben. Dat zorgt er voor dat dit geweldige papier zowel door microbiologen (groottes van bijv. 10-5 m of minder)  als door sterrenkundigen (groottes van bijv. 1011 m of meer) te gebruiken is.
Een prijs voor de meest gemaakte fout.

Meestal gaat het fout als je op dit rare papier getallen vlak bij de machten van 10 moet invullen. Bijvoorbeeld:  heel veel mensen denken dat 1200 op de schaal hierboven  op deze plaats ligt:

Maar dat is fout!
Ik hoop dat je inziet dat het getal bij de blauwe pijl gelijk is aan 2000.

 
1. Geef op de logaritmische schaal hieronder de volgende getallen aan:
a.    50 b.    900 c.    1100 d.    4500

2. Welke getallen horen bij de pijlen op de volgende logaritmische schalen?

           

5012 - 12589 - 70795 - 1,12 - 6,31 - 28,18
HELP! Er is geen x-as!!

Als je wilt weten waar de x-as op jouw nieuwe schaalverdeling ligt, dan moet je dus oplossen  10? = 0
Maar dat kan niet!!!!
"tien-tot-de-macht"  kan nooit nul worden.

Kijk maar hiernaast: als je de machten van 10 laat afnemen tot  -2, -3, -4 enzovoorts, dan worden de "echte"getallen kleiner en kleiner:  0.01,  0.001,  0.0001 enzovoorts. Het papier wordt verder en verder uitgerekt. NUL zal zo nooit worden bereikt.

Alhoewel er op zulk papier meestal wel een horizontale lijn met een schaalverdeling wordt getekend is het dus NIET de x-as. Die is er namelijk niet (hij ligt eigenlijk oneindig ver omlaag).
3. Op de volgende logaritmische schaal staat het gewicht (in kg) van een aantal dieren.

a. Hoeveel weegt een witte haai?
   

≈5000 kg
b. Welke dieren schelen meer in gewicht: een rat en een bison of een nijlpaard en een witte haai?
   

de laatsten

c. Hoeveel katten heb je nodig om het gewicht van een blauwe vinvis te krijgen?
         

≈ 35000
4. Iedereen weet dat autorijden gevaarlijker is dan borduren. Maar hoe is het met roken en bergbeklimmen? Stierenvechten en Russisch roulette?  De wiskundige John Allen Paulos bedacht de Veiligheidsindex van Paulos. Dat is een getal dat aangeeft hoe gevaarlijk een activiteit is. Het werkt als volgt:
Als van een groep van N deelnemers aan een activiteit er gemiddeld 1 doodgaat, geldt voor de veiligheidsindex (V) de formule  V = log(N).
Een deelnemer aan een rondje Russisch roulette heeft bijvoorbeeld een kans van 1 op 6 om dood te gaan, dus van de 6 deelnemers zal er gemiddeld 1 doodgaan. Daarom is  V = log(6) ≈ 0,8. 
Hieronder staat voor de activiteit "In leven zijn"  de veiligheidsindex V van een aantal doodsoorzaken.

a. 1 op de 500 mensen overlijden aan drugsgebruik. Teken de veiligheidsindex voor drugsgebruik op deze lijn.
     
b. Er staat een aparte index voor autorijden en eentje voor fietsen. 
Waar moet de index voor autorijden en fietsen sámen staan?
     
c. Hoeveel keer zo vaak zal iemand door vuur doodgaan als door bevriezing?
       

≈ 60 keer
5. Een logaritmische tijdschaal.
In de figuur hieronder staat de indeling van verschillende geologische perioden uit het bestaan van onze aarde.

De tijd is in miljoenen jaren gegeven. Het probleem is dat niet alle perioden op één tijdschaal te geven zijn omdat de recentere perioden veel en veel korter duren dan de eerdere. In de figuur hierboven is dat door "uitzoomen" van de figuur toch geprobeerd.
Maar dat kwartair op het eind is weer verdeeld in het Pleistoceen (2.6 miljoen tot 0,01 miljoen jaar geleden) en het Holoceen (0,01 miljoen jaar geleden tot nu). Dat valt niet meer te tekenen.
Op een logaritmische schaal zou de figuur er zó uitzien:

a. Het Holoceen is weer onderverdeeld in Subatlanticum (0 - 2400 jaar geleden), Subboreaal (2400-5600 jaar geleden),  Atlanticum (5600-9200), Boreaal (9200-10600) en  Preboreaal (10600-11500).
Teken die onderverdeling in de figuur.
     
b. Hoeveel procent van het Phanerozoïcum bestaat uit het Holoceen?
   

≈ 0,0015%
c. Onze Middeleeuwen dateren ruwweg van het jaar 300 tot het jaar 1500. Geef de Middeleeuwen aan in de bovenstaande figuur.
     
6. Afstanden in de ruimte.
Hieronder staat een tabel met de afstanden van verschillende objecten in ons heelal tot onze zon.
Maak een logaritmische schaalverdeling waarop deze objecten zijn weergegeven.
object mercurius aarde jupiter pluto proxima centauri andromedanevel
afstand in km 6•107 15 •107 78•107 590•107 4 • 1013 2,8 • 1019
           
7. Voor een aantal diersoorten is onderzocht of er een verband bestaat tussen het lichaamsgewicht (B in kg) en het hersengewicht (H in gram).  Om van alle soorten de gegevens in één figuur duidelijk te kunnen weergeven is log B uitgezet tegen log H. Het resultaat is de figuur hiernaast. Hierin is een rechte lijn getekend die goed bij deze punten past.

     
  a. Hoeveel procent van het gewicht van een konijn bestaat uit hersenen?
   

0,6%
  b. Het hersengewicht van een muis is ongeveer 0,4 gram, en het lichaamsgewicht is ongeveer 20 gram. Teken de plaats van de muis in de figuur hiernaast.
           
  Het verband tussen B en H kan grofweg benaderd worden door de formule die past bij de lijn.  Een formule daarvoor is :  log B = -3.5 + 1,67 · log H

Een neushoorn heeft een lichaamsgewicht van ongeveer 1200 kilo.
           
  c. Bereken met behulp van de formule zijn hersengewicht. Geef je antwoord in grammen nauwkeurig.
         

8702
  De formule  kan geschreven worden als:  B = p · Hq
           
  d. Bereken p en q.      
         

3,16 en 1,67
8. De intensiteit van radioactieve straling neemt af bij het passeren van een absorberende laag. Die afname is afhankelijk van het materiaal en de dikte van de laag en van de intensiteit van de straling.

Als I(x) de intensiteit (in Curie) is na het passeren van de absorberende laag met dikte x (in mm), dan blijkt te gelden:

         
  I(x) = I(0) • gx    
         
 

Hierbij is I(0) de intensiteit vooraf, en g een constante die afhangt van het gebruikte materiaal.
Staal heeft  g = 0,986
         
  a. Als een bepaalde hoeveelheid straling op een plaat staal van 2 cm dik valt, is de straling die er door komt nog 6 Curie. Hoe groot was de straling vóór de plaat staal?
       

≈ 7,95
  b. Een laag beton heeft g = 0,993 en blijkt 80% van de straling tegen te houden.
Bereken hoe dik deze laag beton is.
       

≈ 22,9 cm
  In de volgende figuur zie je voor een aantal materialen de intensiteit I(x) uitgezet tegen de dikte x. Zoals je ziet was in alle gevallen de beginintensiteit gelijk aan  I(0) = 100.
Op de y-as is gebruik gemaakt van een logaritmische schaalverdeling.
   
 

   
  c. Lees uit deze figuur zo goed mogelijk af hoeveel straling er door een wand van 20 cm beton komt. Geef een duidelijke uitleg.
       
  d. Bereken de factor g voor ijzer in vier decimalen nauwkeurig
     

≈ 0,9898
  e. Een radioactief preparaat met sterkte 100 Curie is opgeslagen in een bunker die bestaat uit eerst 10 cm beton (g = 0,993) daarna 10 cm staal (g = 0,986) en daarna nog eens 10 cm beton.
Lees uit de grafiek af hoeveel straling er nog uit deze bunker ontsnapt. Geef een duidelijke uitleg.
     

≈ 6 Curie
   
9. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2000

In Amerika zijn 576 verschillende soorten bomen onderzocht. Van elke soort is het hoogste exemplaar opgespoord en daarvan is de diameter van de stam op 1 meter boven de grond gemeten. Onderzocht is of er een verband bestaat tussen de diameter D (in meters) en de hoogte H (in meters) van deze bomen
Om van alle bomen de gegevens in één figuur duidelijk te kunnen weergeven is log D uitgezet tegen log H. Het resultaat is de puntenwolk van de figuur hieronder. Hierin is een rechte lijn k getekend die goed bij deze puntenwolk past.
   
 

   
  Een van de exemplaren is in de figuur aangegeven met de letter P. Uit de figuur lees je bijvoorbeeld af dat voor deze boom geldt  log D ≈ 0,2
   
  a. Bereken de diameter op 1 meter boven de grond en de hoogte van deze boom. Rond de diameter af op een geheel aantal decimeters en de hoogte op een geheel aantal meters.
       
  Voor een andere boom in de figuur geldt dat de hoogte 15,85 meter is en dat de diameter op 1 meter hoogte boven de grond gelijk is aan 25,1 centimeter.
       
  b. Geef in de figuur aan welke boom dit is. Geef een toelichting.
       
  In sommige gevallen is de hoogte van een boom met een bepaalde diameter het dubbele van wat de lijn k bij die diameter aangeeft. Voor die bomen geldt:

log D = -2,45 + 1,5 • log H
       
  c. Geef in de figuur aan bij welke bomen de hoogte meer is dan het dubbele van wat de lijn k aangeeft.
       
10. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2007.

De dijkhoogtes laat men niet alleen afhangen van de kans op een overstroming maar ook van de benodigde investeringskosten. Hoe hoger de dijk, hoe kleiner de kans op een overstroming maar hoe hoger de kosten. Vanwege de hoge kosten is men gedwongen om een bepaald risico te accepteren. Voor de waterstanden in de grote rivieren in Zuid-Holland hanteert men de volgende formule:  P = 103,95 - 1,58w
Hierin is P de kans dat in een jaar tijd het water minimaal de hoogte w bereikt. De hoogte w wordt uitgedrukt in meter boven NAP. Om aan de norm te voldoen, zal de gewenste dijkhoogte dus minstens gelijk moeten zijn aan de hoogte w. Het model kan alleen gebruikt worden als w ≥ 2,5.
       
  a. Bereken op algebraïsche wijze hoe hoog de rivierdijken moeten zijn om precies aan de norm, 1 overstroming per 4000 jaar, te voldoen. Rond je antwoord af op hele cm.
     

478 cm
  In onderstaande figuur is de grafiek van  P = 103,95 - 1,58w   te zien.
       
 

       
  Deze grafiek is zeker bij grote waterhoogtes (bijvoorbeeld vanaf 4 m) niet handig in het gebruik. Om deze reden bekijkt men liever de grafiek die het verband weergeeft tussen log P en w. Het verband tussen log P en w is lineair.
       
  b. Leid uit bovenstaande formule voor P de formule af die het lineaire verband beschrijft tussen log P en w en teken in onderstaande  figuur de grafiek die dit verband weergeeft voor w ≥ 2,5.
       
 

       
     
 
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)