logaritmen


Logaritmen en Inversen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

inverse functie

De inverse functie van een functie noemden we eerder ook wel de "OFHEFFER" ervan. Het is degene die ervoor zorgt dat alle effect van de functie teniet wordt gedaan. Pas je op een getal x een functie toe, en daarna op het resultaat zijn inverse, dan heb je uiteindelijk x zelf weer over; er is netto niets gebeurd.
Dat "ophef-effect" kun je handig gebruiken in vergelijkingen.
Stel dat in een vergelijking een wortel voorkomt, bijvoorbeeld √(x) = 5
Wat betekent dat?
Er is een getal x geweest, en daar is de bewerking "wortel nemen" op toegepast, en het resultaat is het nieuwe getal 5.

Maar de machine "kwadrateren" is de inverse van "wortel nemen" dus daarmee kunnen we effect weer teniet doen. Als je de machine "kwadrateren" dus toepast op het getal 5, dan zal de oorspronkelijke x er weer uitkomen:

Gelukkig weten we wat 5 in het kwadraat is: 25. De conclusie is dat x = 25.
Waar komt het eigenlijk op neer?
• We begonnen met de vergelijking √x = 5.
• Om die wortel weg te krijgen pasten we op de linkerkant de inverse bewerking "kwadrateren" toe.
• Maar dan moeten we dat aan de rechterkant ook doen.
• Dan komt er links x uit, en rechts 5² = 25, dus x = 25.

Hier is een rijtje bekenden met hun inverse:

functie	inverse

"gedeeld door"	"keer"
"plus"	"min"
"wortel"	"kwadraat"
"derdemachts-wortel"	"tot de derde"
"twee-tot-de-macht"	???

De laatste gaan we onderzoeken.
We gaan de methode hierboven nu gebruiken om machten weg te werken.
Neem bijvoorbeeld de volgende vergelijking: 2^x= 10
Dat betekent dat er een getal x is geweest en daar is de bewerking "2 tot de macht" op losgelaten, en toen kwam er 10 uit. Dus:

x zal tussen 3 en 4 liggen, want 2³ = 8 en 2⁴ = 16.
Als we nou ook van de bewerking 2^x de inverse weten, dan kunnen we x vinden:

De tweede machine met het vraagteken is uiteraard ook door wiskundigen in elkaar gezet. Hij zou "2-ONTMACHTER" of zo kunnen heten omdat het twee-tot-de-macht opheft.
Hij heet echter ²logx. Log is de afkorting van "logaritme"
Aan het tweede machientje hierboven kun je al zien dat ²log10 = x
De oplossing van de vergelijking 2^x = 10 is dus x = ²log10.
Eigenlijk is weer op beide kanten van de vergelijking het machientje ²logx toegepast. Aan de linkerkant had dat tot effect dat er weer x uitkwam, aan de rechterkant komt ²log10 te staan.

"Maar wat is nu de uitkomst?"
"Nou, ²log10"

"Maar wat komt er dan UIT??"
"Dat zeg ik, gewoon ²log10!!"

"Maar wat ís dat dan???"
"Nou, ²log10 is ²log10!!!"

"Ja maar, welk getál????"
"²log10 ís een getal!!!!"

Precies dezelfde discussie als bij het invoeren van""Wortel".
"Hûh? Wortel? Wat is dat, kun je dat eten?"
Het kost altijd even tijd om eraan te wennen dat √3 ook maar gewoon een getal is.
Dat het een antwoord is, en geen opgave.
Met logaritmen is dat ook zo. ²log10 is een mooi antwoord op een opgave (we zagen al dat het ergens tussen 3 en 4 in zal liggen, want 2³ = 8 en 2⁴ = 16).
Sommige wortels kun je exact uitrekenen, zoals √16 = 4 (omdat 4² = 16 natuurlijk)
Ook dat is met sommige logaritmen precies zo. ²log32 bijvoorbeeld is exact gelijk aan 5. (omdat 2⁵ = 32 natuurlijk).

Als de twee een ander getal is, bijvoorbeeld 3 of 4 of ... dan heet de inverse ³logx of ⁴logx of ......
In het algemeen:

^glog x is de inverse van g^x

g^x = a ⇒ x = ^glog a

Bij deze laatste vergelijking is dus op beide kanten het machientje " ^glog nemen" toegepast.

Los algebraïsch op, en rond je antwoord NIET af:

3^x = 18

³log18

d. 4^2x = 18

¹/₂•⁴log18

5^x= 625

e. 2^x^{- 1} = 50

1+²log50

7^x = 200

⁷log200

f. 10^{x + 2} = 200

¹⁰log200-2

Welke getallen uit de rij ⁵log1, ⁵log2, ⁵log3, ..., ⁵log1000 zijn gehele getallen?

1, 5, 25, 125, 625

Probeer een geheel getal te vinden voor:

⁵log 5⁴ = ...

c. ⁷log 49 = ...

²log 2⁶ = ...

d. ^0,5log 0,25 = ^0,5log(0,5²) = ...

Probeer op deze manier een geheel getal te vinden voor:

⁴log 64 = ...

g. ^0,5log 0,125 = ...

³log 243 = ...

h. ¹⁰log 10000000 = ...

²/₃

Het werkt ook andersom!

We zagen al dat ^glogx de inverse is van g^x zodat log gebruikt kan worden om tot-de-macht weg te werken.
Maar omgekeerd werkt het ook. g^x is ook de inverse van ^glogx.
Ze zijn eigenlijk elkaars inverse.
Dat betekent dat g^x gebruikt kan worden om ^glogx weg te werken.
Dat werkt als volgt. Neem de vergelijking ³log x = 4
Aan de linkerkant staat een getal x en daar is ³log op toegepast. Om die ³log daar weer weg te krijgen passen we de inverse ervan toe, en dat is 3^x . Maar dan moeten we aan de rechterkant óók drie-tot-de-macht doen:

Links heffen de 3-macht en de 3-log elkaar op, dus komt er x uit, rechts staat er 81. Conclusie: x = 81.

g^x is de inverse van ^glogx

Uiteraard kun je deze vergelijking ook oplossen met de regel hierboven als je die andersom leest.
Kijk maar:

g^x = a ⇒ x = ^glog a
??? ⇐ 4 = ³log x

De pijl de andere kant op volgen levert 3⁴ = x ofwel x = 81

Los algebraïsch op:

²log x = 3

⁵log(x - 1) = 3

126

^0,2log x = 5

0,00032

3 • ⁴logx = 6

²logx + 6 = 8

³logx + ³logx = 4

Los algebraïsch op:

⁴log(2x + 1) = 2

7,5

2 • 4^{x - 1} = 12

2 - ⁵log(x - 1) = 3

1,2

^xlog16 = 4

x = 2

^xlog(2401) = 4

(³logx)² = 81

19683

2^3x = 10

¹/₃•²log10

³log(x² ) = 4

x = 9

5 • ^0,5logx + 2 = 17

¹/₈

⁵log(√x + 7) = 2

324

Probeer te bedenken hoe de grafiek van de functie y = ^xlogx eruit zal zien.

de lijn y = 1 voor x>0

Los algebraïsch op: ^xlog(x² + 3x - 5) = 2

x = ⁵/₃

En bestaat die ^glogx dan altijd?

Nou.......ehh.......om eerlijk te zijn......... nee.

In ieder geval moet g altijd groter dan 0 zijn, dat hebben we al eerder bij exponentiële functies vastgesteld.
Maar dat heeft ook gevolgen voor x.

Als je je bedenkt dat ^glogx = a hetzelfde is als g^a= x dan zie je dat ook die x groter dan 0 moet zijn!
Immers als g groter dan nul is, dan is g^a ook groter dan nul (zelfs als a een negatief getal is blijft g^a positief,
immers g^-a = ¹/_ga en dat is dus wél positief).
Conclusie:

^glogx bestaat alleen als g > 0 én x > 0

Dat heette trouwens vroeger (en nu nog steeds) het Domein: dat waren de toegestane x-waarden.
Later zullen we daarover meer zien als we de grafieken van ^glogx gaan bestuderen.

Ik heb er nu al zin in....