stelling van Liouville


	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De stelling van Liouville.

De stelling van Liouville zegt iets over een functie f(z) die op het hele complexe vlak begrensd is (nooit ergens oneindig groot wordt) en die overal analytisch is. De bewering van Liouville liegt er niet om:

Voor reële functies geldt dat duidelijk niet: neem de functie f(x) = sinx. Die is duidelijk begrensd en overal "netjes", maar toch zeker niet constant! Bij complexe getallen werkt het kennelijk anders.....

Het bewijs van deze gedurfde stelling is trouwens erg eenvoudig, kijk maar:

De stelling van Cauchy bij tweede-orde singulariteiten gaf het volgende(deze les):

Kies voor C een cirkel met straal R en middelpunt z = s.
Omdat f overal analytisch is, mag je R zo groot kiezen als je maar wilt. Dus laten we R naar oneindig gaan.
f(s) is begrensd, dus mag je stellen dat |f(s)| ≤ B voor één of andere bovenwaarde B.
Dan geldt:

B is een constante, R gaat naar nul, dus dat geheel gaat ook naar nul.
Maar als f '(s) naar nul gaat (voor elke s, want die was willekeurig gekozen) dan is f een constante functie.

Een leuk gevolg kun je vinden door de stelling om te keren.
Omdat we weten dat sinz overal een analytische functie is, en omdat we ook weten dat sinz niet constant is, volgt uit deze stelling direct dat we zeker weten dat sinz niet begrensd is.

Dat geldt dus voor elke niet-constante analytische functie.......die zijn allemaal onbegrensd......wauw!!