drie variabelen


Drie variabelen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Als je een probleem met drie onbekenden hebt, dan zul je daar niet zo'n handig toelaatbaar gebied van kunnen tekenen. Immers je kunt op de x-as een variabele kwijt, en op de y-as ook, maar waar moet je die derde variabele laten?
Daar zou een derde as voor nodig zijn en dat zou dan een ruimtelijke tekening geven, en dat is veel lastiger en ingewikkelder dan zo'n mooi plat toelaatbaar gebied (in een latere les zullen we toch een paar zulke ruimtelijke toelaatbare gebieden tekenen).

Maar soms kun je je aantal variabelen terugbrengen.
We zagen dat ook al bij vergelijkingen, en de aanpak daar was als volgt:

1. Zoek een extra verband tussen je variabelen.
2. Maak daarvan x = ....... (kies voor x maar één van je variabelen)
3. Vervang alle x-en in de andere vergelijkingen door wat daar op die stippeltjes staat.
4. Vergeet de "logische" vergelijking x ≥ 0 niet.
5. Dan ben je de variabele x nu kwijt!

Voorbeeld.

Toen ik gisteren thuiskwam lag het boodschappenlijstje hiernaast op mij te wachten.

Ik zit ontzettend onder de plak en doe dus altijd direct wat mijn vrouw van mij vraagt. Haastig ging ik naar de supermarkt.
In de supermarkt gekomen zie ik dat drop in de aanbieding is, en per kg nog slechts €1,00 kost.
Bijna had ik 10 kg drop gekocht, maar ik bedenk me net op tijd.
Toverballen kosten €2,50 per kg en spinazie kost €1,20 per kg.

Laat ik maar eens wat beperkende voorwaarden opstellen.
Stel dat ik d kilo drop, t kilo toverballen en s kilo spinazie koop.
Dan moet gelden:

•

het geld: 2,5t + 1,2s + d ≤ 10

•

maximaal 6 kg snoep: d + t ≤ 6

•

meer geld aan spinazie dan aan toverballen: 2,5t > 1,2s

•

logisch: d, t, s ≥ 0

Nou dat zijn vergelijkingen met drie onbekenden (d, t, en s) en dat valt dus niet tekenen.

Een extra gegeven.
Maar stel dat ik besluit om die 10 euro precies helemaal op te gaan maken.....

Daar wordt de zaak nogal anders van!
Dan heb ik de extra voorwaarde 2,5t + 1,2s + d = 10 en dan valt die ongelijkheid van het geld weg.
Maar van deze vergelijking kan ik bijvoorbeeld maken: d = 10 - 2,5t - 1,2s
Dat kun je dan weer voor d invullen in de andere vergelijkingen:

•

d + t ≤ 6 wordt dan 10 - 2,5t - 1,2s + t ≤ 6 ⇒ 1,5t + 1,2s ≥ 4

•

2,5t ≥ 1,2s blijft hetzelfde.

•

t, s ≥ 0 blijft hetzelfde.

•

d ≥ 0 wordt dan: 10 - 2,5t - 1,2s ≥ 0 ⇒ 2,5t + 1,2s ≤ 10

Daarmee kun je in een assenstelsel met een t-as en een s-as een toelaatbaar gebied tekenen, zoals hiernaast is gebeurd.
En daar kun je dan weer allerlei heel interessante vragen mee beantwoorden.

Bijvoorbeeld: Hoe kan ik zo veel mogelijk kilo's boodschappen kopen?

De doelstellingsfunctie wordt dan het totale gewicht G = d + t + s en dat moet maximaal.
d = 10 - 2,5t - 1,2s geeft G = 10 - 1,5t - 0,2s
In de figuur hiernaast zie je een paar niveaulijnen.
Het maximaal haalbare gewicht is dat gele punt in de figuur.
Dat is het snijpunt van 2,5t = 1,2s en 1,5t + 1,2s = 4
Het snijpunt is t = 1 en s = 2¹/₁₂en d = 5 dus dat is 8,08 kilo

Conclusie: koop 1 kilo toverballen, 2¹/₁₂ kilo spinazie en 5 kilo drop en je hebt onder deze voorwaarden zoveel mogelijk kilo's gekocht. Je tien euro zijn precies op!

OPGAVEN

De vestigingsleider van een filiaal van snoepwinkel JAMIN heeft zojuist een enorme container met 105000 bonbons binnengekregen.
Hij moet deze bonbons nog verdelen over de verschillende soorten cadeauverpakkingen. JAMIN verkoopt 3 soorten bonbondozen: Een doos "Très Chique" bevat 15 bonbons en er zijn het afgelopen jaar 1064 dozen van verkocht. Een doos "Magnifique" bevat 24 bonbons en daarvan zijn het afgelopen jaar 1159 dozen verkocht. Tenslotte bevat een doos "Epicure" maar liefst 30 bonbons, maar die is nogal duur dus daarvan zijn het afgelopen jaar slechts 484 dozen verkocht.

Eerst neemt hij zich voor de bonbons te verdelen over de doossoorten volgens de verhouding van de verkoopaantallen van het afgelopen jaar.

Bereken (in hele bonbons) hoeveel bonbons er dan voor iedere doossoort beschikbaar zijn.

Later bedenkt hij zich dat het misschien beter is in totaal zoveel mogelijk dozen te vullen. Maar wel moet aan een aantal eisen worden voldaan:

Er moeten minstens 1200 dozen Très Chique en Magnifique komen
Er moeten minstens 400 dozen Epicure komen
Er moeten niet meer bonbons in Très Chique komen dan in Magnifique.
Het totale aantal bonbons in Très Chique wordt niet meer dan drie keer het aantal bonbons in Epicure

Stel het aantal bonbons dat beschikbaar komt voor de dozen Très Chique, Magnifique achtereenvolgens T en M
Uit de bovengenoemde eisen volgen (behalve dat de aantallen bonbons positief moeten zijn) vijf beperkende voorwaarden in T en M.

Stel deze vijf voorwaarden op en teken in een rechthoekig assenstelsel OTR het gebied waarin aan deze voorwaarden wordt voldaan.

Bereken hoeveel bonbons er per doossoort beschikbaar komen als er in totaal zoveel mogelijk dozen worden gevuld.

Examenvraagstuk.

CSC (Chicago Steel Corporation) is een onderneming die onder andere graafmachines en tractoren maakt. CSC heeft zelf ovens voor de aanmaak van de stalen platen waaruit de diverse onderdelen worden geperst.
Voor de vervaardiging van de stalen platen wordt ijzererts van drie verschillende delfplaatsen I, II en II gemengd. Voor een goede kwaliteit van het mengsel moeten de basiselementen A, B en C in voldoende mate aanwezig zijn. Deze drie elementen komen in het erts van elke delfplaats in verschillende hoeveelheden voor.
In de tabel hieronder kan worden afgelezen:

·        Het aantal kilogrammen van elk basiselement per ton ijzererts van elke delfplaats
·        Het minimale aantal kilogrammen van elk basiselement dat nodig is per ton mengsel.
·        De inkoopkosten per ton ijzererts van elke delfplaats.

	aantal kilogrammen per ton ijzererts uit:			minimale aantal kg per ton ijzererts
	I	II	III
A	180	300	150	200
B	20	6	16	10
C	90	50	40	60
inkoopkosten per ton ijzererts	$800	$400	$600

CSC heeft 54 ton mengsel nodig. Neem aan dat uit I, II achtereenvolgens x, y ton erts wordt ingekocht.

Om voldoende van het basiselement A in het mengsel te hebben moet gelden: x + 5y ≥ 90. Toon dit aan

CSC wil de 54 ton mengsel van goede kwaliteit tegen minimale inkoopkosten krijgen.

Stel de andere beperkende voorwaarden op en bereken in één decimaal nauwkeurig hoeveel ton erts van elke delfplaats dan ingekocht moet worden.

Onderzoek of een prijsverlaging van het erts uit III van $600 naar $500 voor CSC reden kan zijn om de mengverhouding te wijzigen.

De leerlingenvereniging Advendo besluit op de jaarlijkse slotavond om cocktail te gaan verkopen. Als voorbereiding mengt de feestcommissie alvast precies 10 liter van de cocktail "Hawai Tropicana". Deze cocktail bestaat uit een mengsel van drie basisdranken, namelijk Rum (30% alcohol) en Bananenlikeur (10% alcohol) en Jus d´Orange (geen alcohol). De Hawai Tropicana moet aan de volgende voorwaarden voldoen:

•

Er zit minstens 15% alcohol in

•

De hoeveelheid Rum mag niet meer zijn dan het dubbele van de hoeveelheid likeur.

Verder is er slechts zes liter Rum beschikbaar

Stel restricties op en teken het toelaatbare gebied. Kies als variabelen de hoeveelheid Rum en de hoeveelheid likeur.

Wat is het hoogste alcoholpercentage dat haalbaar is?

De kosten per liter zijn: Rum €15,- en Likeur €8,- en Jus d'Orange €2,-
Hoe kan men het goedkoopst 10 liter cocktail maken, en hoeveel alcohol bevat het resultaat dan?

Hoe verandert het toelaatbare gebied als men precies evenveel Likeur als Jus d'Orange gebruikt?

De leerlingenvereniging Advendo besluit op de feestelijke slotavond zoutjes te gaan verkopen. De penningmeester gaat inkopen doen, en hij gaat in totaal €800,- besteden.
Hij koopt drie soorten zoutjes, namelijk borrelnootjes (€2,50 per zak) en paprikachips (€1,- per zak) en chipito's (€ 1,50 per zak)
Neem voor het gemak voor de rest van deze opgaven aan dat het aantal gekochte zakken niet geheel hoeft te zijn. De penningmeester besluit verder om niet meer geld aan borrelnootjes dan aan paprikachips uit te gaan geven en hij wil minstens 30 zakken borrelnootjes kopen en van borrelnootjes plus paprikachips samen hoogstens 400 zakken.

Stel de benodigde restricties op en teken het toelaatbare gebied. Neem als variabelen het aantal zakken borrelnootjes (B) en het aantal zakken Chipito's (C).

Wat is het maximaal mogelijk aantal zakken dat hij kan kopen?

In een zak borrelnootjes zit 400 gram, en een zak paprikachips zit 300 gram en in een zak chipito's zit 200 gram. Wat is het grootst aantal kilo's dat gekocht kan worden? Teken de niveaulijn van 150 kg..

Onderzoek of het onder deze omstandigheden mogelijk is dan de penningmeester precies evenveel geld aan chipito's als aan borrelnootjes uitgeeft. Geef dat aan in het toelaatbare gebied.

examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1985.

Een pensioenfonds gaat een bedrag ter waarde van 30 miljoen gulden beleggen in aandelen, obligaties en onroerend goed. De regels die in acht worden genomen zijn:

•

er moet ten minste 3 miljoen gulden in elk van de drie bovengenoemde categorieën worden belegd.

•

ten minste de helft van het totale bedrag moet worden geïnvesteerd in aandelen en obligaties.

•

het bedrag dat voor aandelen wordt besteed mag niet het dubbele van het bedrag aan obligaties overschrijden.

De verwachte jaarlijkse opbrengst van aandelen is 8% van het hierin geïnvesteerde bedrag; voor obligaties en onroerend goed zijn deze percentages achtereenvolgens 7% en 9%.

Noem de bedragen in miljoenen guldens die worden belegd in aandelen en obligaties achtereenvolgens x en y.

Druk de verwachte totale jaarlijkse opbrengst op aandelen, obligaties en onroerend goed uit in x en y

Aan welke voorwaarden moeten x en y voldoen op grond van bovenstaande regels?

Teken in een rechthoekig assenstelsel Oxy het gebied dat overeenkomt met de in b) gestelde voorwaarden.

Bij welke verdeling van het bedrag van 30 miljoen over aandelen, obligaties en onroerend goed is de verwachte opbrengst van het fonds maximaal? Bereken de maximale opbrengst.

Bij een verandering van de opbrengstpercentages kan een andere verdeling van het te beleggen bedrag optimaal zijn, dat wil zeggen een maximale opbrengst geven.
De jaarlijkse opbrengst van aandelen kan veranderen.
Stel dat de jaarlijkse opbrengst van aandelen p% is van het hierin geïnvesteerde bedrag. De jaarlijkse opbrengst van obligaties en onroerend goed blijft onveranderd.
Bereken p in het geval dat er meer dan één optimale verdeling van het te beleggen bedrag mogelijk is.
Bereken voor de gevonden waarde van p de maximale opbrengst.

examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1987.

Een boer heeft 22 ha bouwland. Het komend jaar zullen hierop aardappelen, erwten en graan geteeld worden. De te verwachten opbrengst is 60 ton aardappelen per ha, 40 ton erwten per ha en 50 ton graan per ha.
De te verwachten winst per ton is voor aardappelen f 70,- , voor erwten f 75,- en voor graan f 90,-.

De boer wil 6,5 ha voor aardappelteelt bestemmen, 7,1 ha voor erwtenteelt en 8,4 ha voor graanbouw. Bereken de winst die in totaal te verwachten is.

De oogsttijden voor de diverse gewassen vallen na elkaar. Elk gewas moet in een periode van 5 dagen geoogst worden, waarbij 8 uren per dag wordt gewerkt. Hierbij gelden de volgende voorwaarden:

gewas	oogst- periode	benodigd aantal arbeidsuren per ha	beschikbaar aantal oogsters
graan erwten aardappelen	I II III	10 15 12	3 2 2

Is de keuze die de boer in opgave a) gedaan heeft onder deze voorwaarden uitvoerbaar? Licht het antwoord toe.

Stel dat x ha voor aardappelteelt bestemd wordt, en y ha voor erwtenteelt, terwijl de rest van het land wordt gebruikt voor graanbouw.

Geef de beperkende voorwaarden voor x en y. Teken in een rechthoekig assenstelsel Oxy het gebied waarin aan de gestelde voorwaarden wordt voldaan.

Bij welke waarden van x en y is de te verwachten winst maximaal? Bereken deze te verwachten winst.

In welke periode hebben de oogsters in de situatie van onderdeel d) nog arbeidsuren over voor andere activiteiten? Bereken dit aantal arbeidsuren.