eindige limieten


Limieten berekenen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Tot nu toe probeerden we gewoon wat waarden dicht bij x = a om te ontdekken hoe groot de limiet van een functie daar was. Of we keken naar de vorm van de grafiek.
Deze les bekijken we een aantal gevallen waarin we limieten exact (algebraïsch) kunnen berekenen.
We onderscheiden daarin twee gevallen: de limiet van x naar een bepaald getal a en de limiet van x naar oneindig. Deze les bekijken we x → a, de volgende les komt x → ∞ aan de beurt.

De limiet van x → a

Ik zou altijd eerst beginnen met x = a in de functie in te vullen. Wie weet komt er gewoon een functiewaarde f(a) uit.
De meeste "normale" functies zijn namelijk gewoon continu op hun domein.
Bijvoorbeeld xⁿ en g^xen sinx en cosx en tanx en ^glogx en ⁿ√x.
En ook combinaties van zulke functies zijn dan continu op het domein. (daarmee bedoel ik dat je ze met elkaar vermenigvuldigt of bij elkaar optelt of door elkaar deelt).
Dat betekent dat je bij zulke functies alleen hoeft op te letten wat het domein is!
Voor dat domein moet je op drie dingen verdacht zijn:

1.	wordt er door nul gedeeld?
2.	wordt de wortel van een negatief getal genomen?
3.	wordt een logaritme van nul of lager genomen?

De rest van de gevallen is namelijk oninteressant; óf daar bestaat de functie niet, óf hij is er gewoon continu.
Voor het eerste voorbeeld (dat van die gebroken functie) zijn er een paar aardige trucjes te gebruiken om limieten te berekenen.

Truc 1: Ontbinden in factoren.

Als je met een breuk te maken hebt zul je moeten onderzoeken wat er gebeurt als de noemer nul wordt.
Vul altijd eerst de waarde van x waarvoor de noemer nul wordt in. Je weet maar nooit...

Als er namelijk ^"iets"/₀ uitkomt (waarbij dat "iets" dus niet ook nul is), dan ben je klaar want dan is de limiet gelijk aan ±∞. (nog even een waarde in de buurt invullen om te kijken welk van beiden het is). De grafiek zal dan een verticale asymptoot hebben.

Alleen als er ⁰/₀ uitkomt, dan heb je problemen.
Maar bij functies met machten kun je dan vaak de teller en noemer ontbinden in factoren, en dan twee factoren tegen elkaar weg laten vallen.

Voorbeeld.

Merk nog even op dat er van de tweede naar de derde vorm gedeeld is door (x - 3). Dat mag natuurlijk niet als x - 3 nul is, maar omdat we de limiet van x → 3 bekijken, nadert x naar 3, maar is nooit gelijk aan 3 zélf. Dus dat wegdelen dat mág!
Overigens, omdat de noemer gelijk is aan (x - 3)(x + 2) zou ik hier ook de limiet van x → -2 bekijken. Die is echter veel makkelijker: gewoon direct invullen geeft ^-25/₀ dus dat is ±∞. Het hangt er vanaf of je de linkerlimiet of de rechterlimiet neemt welk van beiden (+∞ of -∞) het wordt.

Nog een voorbeeld.

Zodra je op ^iets/₀ uitkomt weet je al dat het +∞ of -∞ wordt.
Weer hangt het er vanaf vanaf welke kant je naar x = 1 gaat of er +∞ of -∞ uitkomt. In dit geval is de linkerlimiet gelijk aan -∞ en de rechterlimiet gelijk aan +∞ (ga dat zelf maar na)

Het kan zijn dat het te moeilijk is om in factoren te ontbinden. Dan kun je soms gebruik maken van een staartdeling om dat toch voor elkaar te krijgen. Daarvoor moet je eerst deze les over staartdelingen gedaan hebben.
Als de limiet voor x → a namelijk ⁰/₀ oplevert, dan kun je de teller en de noemer beiden door (x - a) delen.

Nog een voorbeeld.

x = 2 even invullen levert (helaas) ⁰/₀ op.
Daarom gaan we met een staartdeling zowel de teller als de noemer door (x - 2) delen. Doe dat zelf maar, hier is het resultaat:

Gelukkig; bij opnieuw invullen komt er nu gewoon ¹¹/₈ uit deze limiet.
Het zou zelfs kunnen gebeuren dat er wéér ⁰/₀ uitkomt. Dan ga je gewoon het hele verhaal nóg een keer uitvoeren.

Laatste voorbeeld.

x = -1 invullen levert weer ⁰/₀op. Daarom gaan we teller en noemer delen door x + 1:

Maar als je nu x = -1 invult komt er wéér ⁰/₀ uit.
Dus nog maar een keer delen door x + 1:

Héhé... er kwam gewoon 3 uit!

Truc 2: een merkwaardig product.

Deze truc werkt omdat geldt: (a + b)(a - b) = a² - b²
Dat kun je soms handig gebruiken om wortelvormen kwijt te raken. Als in die a of in die b een wortel zit, dan verdwijnt die als je a² - b² berekent.

Als je x = 1 invult komt er weer ⁰/₀ uit natuurlijk.....zucht....
Maar als je die teller leest als a - b dan valt die wortel weg als je teller en noemer vermenigvuldigt met a + b.

Mooi hé? Daar komt gewoon -¹/₂ uit.

Bereken de volgende limieten:

2²/₃

∞

¹/₂

-¹/₃₂

-¹/₄₈

^-1/₂

-¹/₈

⁵/₆

Hiernaast zie je (een stukje van) de grafiek van
y = ^tan2x/_tanx

Onderzoek de continuïteit van deze functie.

Welke waarden kan de functie NIET aannemen?

De insluitstelling.

Stel dat in de buurt van x = c geldt dat f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

Deze stelling heet de insluitstelling (engels: squeeze theorem), en zegt eigenlijk niets anders dan:

"Als een functie in de buurt van x = c altijd tussen twee anderen inzit, en die anderen gaan beiden voor x = c naar dezelfde waarde L, dan gaat die functie daar tussenin ook naar die waarde L".

Je moet daar zo'n soort plaatje bij in gedachten hebben:

Bedenk dat -1 ≤ cos(¹/_x) ≤ 1 zolang x maar niet gelijk is aan nul (En dat laatste is hier het geval, want we nemen de limiet van x naar nul toe, dus x is nooit gelijk aan nul).
Dan geldt: -x² ≤ x² cos(¹/_x) ≤ x² (alles met x² vermenigvuldigen verandert de tekens niet, want x² is positief)
Maar -x² en x² gaan beiden naar nul als x naar nul gaat.
Dus gaat dat middelste deel ook naar nul; dat zegt de insluitstelling.
De gevraagde limiet is dus gelijk aan nul.
Hier zie je wat er aan de hand is:


3.	Bereken de volgende limieten met de insluitstelling:

	a.

	b.