combinaties

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Combinaties.

Neem het volgende probleem:

Een korporaal is leider van een groep van 8 soldaten.
Hij wijst voor de komende verkenningsmissie drie vrijwilligers aan.
Hoeveel verschillende groepjes zijn er mogelijk?

Je zou misschien zeggen: voor de eerste van de groep zijn er 8 mogelijkheden, daarna voor de tweede nog 7 en tenslotte voor de derde nog 6, dus dat geeft in totaal 8 • 7 • 6 = 336 mogelijkheden (dat is trouwens 8 nPr 3).

Maar dan heb je een denkfout gemaakt!

Laten we de soldaten A tm H noemen, en al die groepjes van 3 gaan opschrijven. Dit zou het papiertje van de korporaal kunnen zijn:

ABC
ABD
ABE
ABF
ABG
ABH
ACB
ACD
ACE
ACF
ACG
ACH
ADB
ADC
ADE
...

BAC
BAD
BAE
BAF
BAG
BAH
BCA
BCD
BCE
BCF
BCG
BCH
BDA
BDC
BDE
...

CAB
CAD
CAE
CAF
CAG
CAH
CBA
CBD
CBE
CBF
CBG
CBH
CDA
CDB
CDE
...

DAB
DAC
DAE
DAF
DAG
DAH
DBA
DBC
DBE
DBF
DBG
DBH
DCA
DCB
DCE
...

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

Daar staan in totaal dus 336 groepjes.
Maar er zitten DUBBELEN bij!!!!
Je ziet bijvoorbeeld op het papiertje hierboven groepje ACD er al zes keer opstaan. En dat is natuurlijk zes keer het zelfde groepje dat op verkenning zal gaan. Dat komt omdat de volgorde waarin de soldaten worden gekozen NIET van belang is, het gaan er alleen om wie er gekozen worden. Je moet dit groepje natuurlijk niet 6 keer meetellen, maar slechts 1 keer.
Maar wacht eens even.....
ELK groepje staat er op deze manier zes keer in. Het totaal aantal echt verschillende groepjes dat we hebben gevonden is dus zes keer te groot, dus in werkelijkheid zijn er ³³⁶/₆ = 56 verschillende groepjes mogelijk.

Dat getal 6 komt natuurlijk van het aantal manieren waarop drie letters gerangschikt kunnen worden. Voor de eerste letter zijn er 3 mogelijkheden, daarna voor de tweede nog 2, en tenslotte voor de laatste nog 1. Dat geeft in totaal 3 • 2 • 1 = 6 mogelijkheden.
Het mini-boompje hiernaast laat dat zien.

Dit aantal groepjes waarbij de volgorde dus NIET van belang is, heet het aantal combinaties van 3 uit 8.

combinaties
• kies k dingen uit een verzameling van n
• de volgorde is niet van belang
• het is zonder terugleggen

Je noteert het aantal combinaties van k uit n met twee getallen tussen haakjes zoals hierboven, en je spreekt het uit als "n boven k" of "n over k"
Ook op je rekenmachine is uiteraard weer een knop voor de combinaties te vinden: de nCr knop.

Houd goed het verschil tussen permutaties en combinaties in de gaten:

combinaties: de volgorde is NIET van belang; het zijn groepjes
permutaties: de volgorde is WEL van belang; het zijn rijtjes

OPGAVEN

1.	Een grote supermarktketen gaat zijn producten "labelen". Dat doen ze door op elk product een stickertje te plakken van een vierkant van 4 bij 4 hokjes die zwart of geel gekleurd kunnen zijn.

	a.	Hoeveel codes zijn er mogelijk met 10 gele en 6 zwarte hokjes, zoals hiernaast?

	b.	Hoeveel codes zijn er in totaal mogelijk?

2.	De symbolen die in het display van een elektrische wekkerradio verschijnen zijn opgebouwd uit één of meer strepen van een rooster van 7 strepen:



	Bij de "6" hierboven staan 6 van de 7 strepen AAN, en bij de "1" maar 2 van de 7. Hoeveel verschillende symbolen zijn in totaal mogelijk met 5 strepen AAN? (het hoeven uiteraard geen bestaande symbolen te zijn, alles mag).


3.	Een sultan heeft een harem met daarin 14 vrouwen. Elke nacht laat hij aan het begin een groepje van 4 vrouwen zijn slaapkamer binnenkomen om de nacht mee door te brengen. De sultan wil voor de afwisseling graag elke keer een ander groepje. Hoeveel nachten kan hij dat volhouden?

4.	examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1990 Een planoloog wil graag weten op grond van welke eigenschappen de bewoners de straten van hun wijk beoordelen. Als onderdeel van zijn onderzoek legt hij een aantal proefpersonen groepjes van drie straten voor. Hij vraagt hen bij elk groepje aan te wijzen welke twee van de drie straten het meest op elkaar lijken. Het onderzoek heeft betrekking op 10 straten, voor het gemak A, B, C, D, E, F, G, H, K, L genoemd. Hieruit worden alle mogelijke groepjes van 3 gevormd en elk groepje wordt op alfabetische volgorde op een kaartje geschreven. Hieronder zie je drie voorbeelden.



	a.	Hoeveel kaartjes zijn er nodig?

	b.	Op hoeveel kaartjes komt straat A voor?

	c.	Op hoeveel kaartjes komen de straten A en B samen voor?

5.	Een klein jongetje gaat zijn verjaardag vieren, en hij mag van zijn ouders 8 vriendjes uitnodigen. Helaas heeft hij 12 vriendjes, dus hij zal moeten kiezen.

	a.	Op hoeveel manieren kan hij kiezen wie hij uitnodigt?

	Op zijn feestje geven ze hem één voor één een cadeautje.

	b.	Hoeveel verschillende volgorden zijn er voor hem om de cadeautjes te krijgen?


6.	Een leraar gaat in zijn klas van 28 leerlingen 4 verschillende boeken verloten.

	a.	Op hoeveel manieren kan hij de boeken verloten als niemand meer dan 1 boek krijgt?

	b.	Op hoeveel manieren kan het als er wel leerlingen meerdere boeken mogen krijgen?

	c.	Op hoeveel manieren kan het als de boeken hetzelfde zijn, en elke leerling weer hoogstens één boek mag krijgen?