De balansmethode

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Het wordt de hoogste tijd al dat "eenvoudiger schrijven" ook eens in praktijk te gaan toepassen.
We beginnen met een verhaaltje over een weegschaal. Neem een weegschaal met twee soorten ballen erop: groene, die 10 gram wegen en rode waarvan we niet weten hoe zwaar ze zijn. De weegschaal is in evenwicht, kijk maar.

De vraag is:  Hoeveel weegt zo'n rode bal?
Stel dat zo'n rode bal x gram weegt. Dan staat in het plaatje eigenlijk:

3 groene ballen plus 2 rode gelijk zijn aan 2 groenen plus 4 roden
3 10  plus 2 roden = 2 10 plus 4 roden
30 + 2 x = 20 + 4 x

Dat laatste noemen we een vergelijking. Een vergelijking is eigenlijk elke wiskunderegel waar "=" in staat. We zijn op zoek naar de oplossing van deze vergelijking, ofwel wat x moet zijn zodat het klopt wat er staat.
De vergelijking die we hier moeten oplossen is dus:
30 + 2x = 20 + 4x
Laten we de zaak vereenvoudigen door van elke schaal een groene bal weg te pakken. We weten dat de schaal daardoor in evenwicht blijft. De schaal wordt dan als hieronder. De bijbehorende vergelijking staat er naast.

20 + 2x = 10 + 4x
Dat ziet er al ietsje simpeler uit.
Maar wacht eens even...wat met groene ballen kan, kan natuurlijk ook met rode ballen. Laten we van beide kanten van de weegschaal in n keer 2 rode ballen weghalen! Zolang dat maar van beide kanten gebeurt, blijft hij in evenwicht. Dat geeft het volgende plaatje:

20 = 10 + 2x
Nou kun je niet zo veel meer aan beide kanten weghalen. Het enige dat nog zou kunnen is n groene bal verwijderen,. dus laten we dat maar doen:

10 = 2x
Ik denk dat je nu wel ziet wat de oplossing van onze vergelijking is;  x moet gelijk zijn aan 5.
Als je het heel netjes en precies doet, dan moet je eigenlijk zeggen: "We nemen nu van beide kanten van de weegschaal de helft. Dan blijft aan de ene kant n rode bal over en aan de andere kant een halve groene: die weegt 5 gram. Dus x = 5"
Deze methode heet heel toepasselijk de "BALANSMETHODE"
Wat is er nou stap voor stap wiskundig gezien gebeurd?
vergelijking wat is er gebeurd? nieuwe vergelijking eindresultaat
30 + 2x = 20 + 4x beide kanten "min 10" 30 + 2x - 10 = 20 + 4x - 10 20 + 2x = 10 + 4x
20 + 2x = 10 + 4x beide kanten "min 2x" 20 + 2x - 2x = 10 + 4x - 2x 20 = 10 + 2x
20 = 10 + 2x beide kanten "min 10" 20 - 10 = 10 + 2x - 10 10 = 2x
10 = 2x beide kanten "de helft nemen" 5 = x 5 = x
Het had natuurlijk ook wel wat efficinter gekund. In de eerste stap haalden we 10 weg en in de derde stap nog een keer. Dat had ook wel in n keer gekund, dus direct 20. Dan zou de balansmethode er z uit hebben gezien: 
vergelijking wat is er gebeurd? nieuwe vergelijking eindresultaat
30 + 2x = 20 + 4x beide kanten "min 20" 30 + 2x - 20 = 20 + 4x - 20 10 + 2x = 4x
10 + 2x = 4x beide kanten  "min 2x" 10 + 2x - 2x = 4x - 2x 10 = 2x
10 = 2x beide kanten "de helft nemen" 5 = x 5 = x
1. Hieronder staan drie series balansen (bijbehorende onder elkaar) Leg uit welke vergelijking bij elke balans hoort en hoe die vergelijking werd opgelost, en wat nou de uiteindelijke oplossing is.

2. Los de volgende vergelijkingen met de balansmethode op:
a. 6x + 2 = 4x + 10

x = 4

d. 10x + 1 = 5 + 8x

x = 2

b. 5x + 3 = 4x + 8

x = 5

e. 1 + 2x = 6 + x

x = 5

c. 3 + 7x = 5x + 5

x = 1

f. 8 + 6x = 3x + 12

x = 4/3

 
Hoe zit dat nou precies met die laatste stap?
Na het heen en weer verplaatsen van de blokjes eindigen we altijd met aan beide kanten nog n blokje; aan de ene kant met een letter, aan de andere kant een getal.
Dat ziet er altijd ongeveer z uit:

Er staan nog maar twee blokjes, dus heen en weer schuiven met blokjes helpt niet meer. Toch willen we graag het getal 5 bij de x weghalen (ons doel is immers te krijgen x = ....).

De oplossing is vrij eenvoudig: deel beide blokjes door 5:  Neem van beide schalen n-vijfde deel!!!!!
Dan krijg je aan de linkerkant  5x/5
en dat is gelijk aan x.
Aan de rechterkant krijg je  8/5 en dat is 1,6.
Conclusie: x = 1,6
Als je van  "a x"  het getal a weg wilt halen, dan deel je beide kanten door a
Kan het ook met negatieve getallen?
Jazeker! Kijk maar naar het volgende voorbeeld.

Zoals je ziet was de oorspronkelijke vergelijking 
6 + 4x = 8 + 6x
Eerst is op elke schaal 4x weggehaald.
Dan blijft de onderste figuur over:  6 = 2x + 8.
Maar nu willen graag die 8 daar bij de x weg hebben, dus zouden we graag gewoon van beide schalen 8 afhalen. Helaas ligt op de andere schaal maar 6!

De oplossing is eenvoudig: gewoon tch 8 weghalen!
Wat krijg je als je 6 hebt en je haalt er 8 vanaf? Juist! 
-2 natuurlijk. 
De vergelijking wordt dan  -2 = 2x 
Als je nu beide kanten deelt door 2 dan geeft dat x = -1. De balansmethode werkt nog steeds!

En ook als er op de schalen al negatieve getallen liggen blijft de balansmethode geldig. Het ziet er misschien een beetje raar uit, maar z zou zo'n balans eruit zien met negatieve getallen, bijvoorbeeld met de vergelijking  -2 + 5x = 4 - 2x:

Van de eerste balans naar de tweede zie je dat je, om een bal -2 weg te krijgen, gewoon bij beide schalen +2 optelt. Die +2 en -2 vallen op die linkerschaal tegen elkaar weg: worden samen nul!
Op dezelfde manier is van de derde naar de vierde schaal  -2x weggehaald door bij beide schalen +2x op te tellen.
De uiteindelijke oplossing wordt natuurlijk  x = 6/7   (laatste stap: beide kanten delen door 7).
Dat gedoe met die schalen wordt wel een beetje overdreven en gezocht op deze manier. Wat moet je je voorstellen bij een negatief getal op een weegschaal? Misschien een soort ballonnetje dat hem omhoogtrekt of zo?

Laten we ophouden met die flauwekul en het voortaan gewoon in wiskundetaal formuleren.
Onthoud gewoon dat je vergelijkingen z kunt vereenvoudigen:

om PLUS weg te halen moet je beide kanten MIN doen.
om MIN weg te halen moet je beide kanten PLUS doen.
om KEER weg te halen moet je beide kanten GEDEELD DOOR doen

Misschien is het (zeker in het begin) handig om tussen de vergelijkingen te schrijven wat je doet. Dat zou er bijvoorbeeld z uit kunnen zien:

3. Los op:
a. 2x - 4 = 5 + 6x

x = -9/4

g. 4x + 2x + 5 = x - 7

x = -12/5

b. 3x + 12 = 8x - 3

x = 3

h. 3x = 1 - 2x + 6

x = 7/5

c. -2x + 5 = 10 + 4x

x = -5/6

i. 0 = 4x + 3 - 5x

x = 3

d. 3 + 2x + 1 = 6x + 2

x = 1/2

j. -2x - 5 = -6 - 4x

x = -1/2

e. 5 - 5x = 2 + 2x

x = 3/7

k. 2x + 3x - 4 = 5 + 7x - 2

x = -7/2

f. 2x + 3 = 1/2x + 12

x = 6

l. x + 4 = 6x - 12

x = 16/5

   
4. Kyra en Gwen beginnen tegelijk, en in hetzelfde tempo getallen op te noemen.
Kyra begint bij 2012 en neemt elk volgend getal steeds 7 lager. Haar rij is dus  2012 - 2005 - 1998 - ....
Gwen begint bij 80 en neemt elk volgens getal steeds 3 hoger. Haar rij getallen is dus 80 - 83 - 86 - ...
Wat is het kleinste verschil tussen de getallen die zij tegelijk noemen dat zal voorkomen?
         

  2 

           
Kunnen er nog rare dingen gebeuren?

Hh?

 

Het kan gebeuren dat tijdens de balansmethode alle x-en verdwijnen! Raar h?
Neem bijvoorbeeld de volgende vergelijking:

Los op:  4x + 8 = x + 3 + 3x
  ⇒   4x + 8 = 4x + 3
⇒   8 = 3
Wat moet je in zo'n geval doen?
Ik zou in paniek raken.....
Er zijn twee mogelijkheden:
Mogelijkheid 1:    Je krijgt iets wat niet klopt.
Zoals in het voorbeeld hierboven:  8 is duidelijk niet gelijk aan 3.
In dat geval is de enige conclusie: "Er is geen enkele x waarvoor dit klopt"
Conclusie: 
           
 
"Er is geen oplossing"
Mogelijkheid 2:    Je krijgt iets wat altijd klopt.
  Als de opgave was geweest  los op:  4x + 8 = x + 8 + 3x  dan had je gevonden  8 = 8
Dat is duidelijk altijd waar! Kennelijk doet het er niet toe wat je kiest voor x. Alles mag.
Conclusie: 
   
 
"Alles is toegestaan"
 

       
       
   

mintekens

   

haakjes

       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)