© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Legendre's Duplicatie Formule.
       
Eerst gaan we een nieuwe functie introduceren, die nogal lijkt op de gammafunctie, en dat is de bętafunctie:
       

       
Maar  "...nogal lijkt op de gammafunctie..."  is voor ons echte wiskundigen natuurlijk veel te vaag. Laten we proberen een verband tussen de bętafunctie en de gammafunctie te gaan vinden. Als dat eenmaal gelukt is, zul je zien dat de bętafunctie vaak als handig hulpje gebruikt kan worden om eigenschappen van de gammafunctie te vinden.

Omdat er nu twee machten in die integrand staan probeer je maar eens twee dezelfde gammafuncties met elkaar te vermenigvuldigen. Wie weet levert het wat op....

       
En nou komt er een truc van (hoe kan het ook anders?) ..... Euler natuurlijk!
Euler bedacht de volgende geniale substitutie:   t = uv  en   s = u(1 - v)
Dan is  t + s =  uv + u(1 - v) = uv + u - uv = u
Verder worden de grenzen voor  u dan  0 en  ∞  en voor  v worden ze  0 en 1  (immers  u = t + s  en  v = t/u = t/(t + s)  )
Om dtds te veranderen in dudv  heb je de zogenaamde Jacobiaan nodig.  Als je nog niet weet wat dat is kun je in deze les ontdekken hoe dat werkt.
       
In dit geval levert dat op:

Oké, we pluggen dat allemaal in de integraal en krijgen:

Nou zeg,.... wat mooi!
Die u en v zijn prachtig van elkaar gescheiden, dus kun je de dubbelintegraal weer veranderen in twee enkele integralen:

De laatste stap volgt natuurlijk gewoon uit de definities van de gammafunctie en de bętafunctie.
Dat geeft de volgende prachtige conclusie:
       

       
Nou gaan we dat gebruiken om  β(x, x) te berekenen:

substitueer nu  u = 2t - 1  dus  t = (1 + u)/2  en  dt = 1/2du, dat geeft:

Nou is die laatste integrand een even functie  van u  (er komt alleen u2 in voor) dus mag je ook wel tweemaal de integraal van 0 tot 1 nemen in plaats van de integraal van -1 tot 1. Als je verder het verband hierboven tussen de β-functie en de Γ-functie gebruikt dan geeft dat:

       
We gaan nu terug naar de β-functie en vervangen in de integraaldefinitie daarvan t door u2   (dus dt = 2udu). Dat geeft:

Bereken vervolgens  β(1/2, x).  Dus vervang in deze integraal x door 1/2  en y door x:

       
Als je nu  (1) en (2) met elkaar combineert, dan vind je:
22x - 1 • Γ(x) • Γ(x) = 2Γ(2x) • β(1/2, x)
Maar vanwege het gevonden verband tussen de β-functie en de Γ-functie kun je die  β(1/2, x) weer door Γ's vervangen:

Γ(1/2) is gelukkig een oude bekende. Uit Euler's reflectieformule volgt direct   Γ(1/2)Γ(1/2) = π/sin0,5π  = π
Dus  Γ(1/2) = √π
Dat geeft samen dan eindelijk Legendre's Duplicatie Formule:
       
Γ(x) • Γ(x + 1/2) = 21 - 2x • √π • Γ(2x)
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)