Keerpunten.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een keerpunt van een parameterkromme is een punt waar de beweging van ons punt P omkeert.
Wat betekent "omkeren" wiskundig?
We hebben dat voor een deel al eerder gezien. Dat was toen we punten zochten waar de raaklijn aan de kromme horizontaal of verticaal was. Voor horizontale raaklijn moest je stellen dat de y-coördinaat. een maximum heeft, zodat y'(t) = 0 dus de snelheid in de y-richting is nul. Dat betekent dat daar de beweging in de y-richting omkeert. Die gaat van stijgende y naar dalende of andersom.
Precies hetzelfde geldt voor een verticale raaklijn: daar keert de beweging in de x-richting om.
Nou, een keerpunt is een punt waar beide bewegingen tegelijk omkeren. Dat betekent dus dat zowel x'(t) als y'(t) nul zijn:

Keerpunt:  x'(t) = 0  én  y'(t) = 0
Dat geeft meteen de manier om zulke keerpunten op te sporen. Los op x'(t) = 0 en y'(t) = 0 en de dubbele t's (die in beide oplossingen voorkomen) geven de plaats van de keerpunten aan. Je kunt natuurlijk ook alleen x'(t) = 0 oplossen en de gevonden t's invullen in y'(t) om te kijken bij welke daar óók nul uitkomt, dat is meestal minder werk.
Voorbeeld 1.

Bereken de keerpunten van de kromme  x(t) = cos(2t) en  y(t) = sin(t)

De gemeenschappelijke periode is 2π, dus we bekijken  0 t ≤ 2π.
x'(t) = 0 
  -2sin2t = 0    2t = 0 + k • 2π  of  2t = π + k • 2π
  t = 0  of  t = π  of  t =   of   t = 1/2π  of  t = 11/2π.

y'(t) = 0 
  cost = 0    t = 1/2π  of  t = 11/2π.

De dubbelen zijn t = 1/2π en t = 11/2π en daar zitten dus de keerpunten van deze krommen Dat zijn de punten (-1, 1) en (-1, -1) zoals je ook hiernaast wel ziet.

   
Voor een keerpunt is het alleen maar nodig dat x' en y' beiden nul zijn. Punt P hoeft niet echt "terug" te gaan over dezelfde weg waarlangs hij gekomen is. Neem het volgende voorbeeld.
   
Voorbeeld 2.

Bereken de keerpunten van de kromme  x(t) = t3 - 3t  en  y(t) = -2t4 + 4t2

x'
(t) = 0 
  3t2 - 3 =  0    t = 1  of  t = -1
y'(t) = 0 
  -8t3 + 8t = 0    t = 1  of  t = -1

De keerpunten zijn de punten  (-2, 2) en (2, 2)

Hiernaast zie je de kromme. Je ziet ook dat punt P vanaf een keerpunt niet dezelfde weg terug als heen neemt  (alhoewel de twee routes wel "langs elkaar" lopen in de keerpunten; ze hebben daar dezelfde helling).

De Helling in een Keerpunt.
Om de helling in een willekeurig punt te berekenen gebruikten we de formule:

Maar in keerpunten werkt die formule niet. Daar geldt immers per definitie dat  x'(t) = 0 en y'(t) = 0. Dus deze formule levert op  0/0 en dat valt niet te bepalen, want je mag immers niet door nul delen. Toch heeft de kromme wel degelijk een helling in die keerpunten, dat kun je duidelijk aan de twee voorbeelden hierboven zien.
Hoe bepalen we die helling?
Dat doen we door terug te gaan naar onze oorspronkelijke manier om de helling van een grafiek te bepalen. Nog vóórdat we van differentiëren hadden gehoord.
Om de helling in een punt P1(x, f(x)) te berekenen namen we een punt vlak ernaast:  P2(x + dx, f(x + dx)), en dan benaderden we de helling van de grafiek door de helling van lijnstukje P1P2 door daarvan  Δy/Δx te berekenen.
Nou, dat doen we nu bij een parameterkromme ook. Het enige verschil met vroeger is, dat we nu niet een x vlak ernaast kiezen, maar een t. Dus:
De helling in een keerpunt:

t
  geeft het keerpunt (x(t), y(t))
t + dt  geeft een punt vlak ernaast  (x(t + dt), y(t + dt))
de helling is ongeveer 
Δy/Δx
   
Laten we dat toepassen op bovenstaande twee voorbeelden.

Voorbeeld 1.

t = 1/2π geeft keerpunt  (-1, 1)
t = 1/2π + 0,001  invullen geeft het punt vlak ernaast  (-0.999998, 0.9999995)
De helling in (-1, 1) is dan ongeveer  (0.9999995 - 1)/(-0,999998 - - 1) = -0,25

Voorbeeld 2.

t = 1 gaf het keerpunt  (-2, 2)
t = 1,001  geeft het punt vlak ernaast  (-1.999996999, 1.999991992)
De helling in (-2, 2) is dan ongeveer  (1.999991992 - 2)/(-1.999996999 - - 2) = -2,67

Voor wie dat gesjoemel met zo'n punt vlak ernaast wiskundig nogal onbevredigend vindt (wie wil er nou de helling ongeveer weten?) staat hiernaast in de verdieping hoe je soms de helling toch algebraïsch kunt berekenen, ondanks dat vervelende 0/0).

 
   
  OPGAVEN
   
1. Bereken van de volgende parameterkrommen de plaats van de keerpunten en benader de helling in die keerpunten.
       
  a. x(t) = 2sin(t)  en  y(t) = sin(2t - 1/2π)  
       
  b. x(t) = sin(t - 1/4π)  en  y(t) = sin2(2t)  
       
  c. x(t) = 4 - sin(2t)  en  y(t) = 2 + sin(2/3t)  
       
2. De kromme met vergelijkingen  x(t) = sin(3t) en y(t) = cos(2t) staat hiernaast geschetst.
Het is een soort lusje, dat zichzelf snijdt in een punt P op de y-as.
De raaklijnen in de keerpunten snijden elkaar in een punt Q op de y-as.

Bereken de afstand PQ.
   

1/18

       
3. De kromme K wordt gegeven door  x(t) = cost  en   y(t) = sin(at)
Wat kun je zeggen van a als je weet dat de kromme keerpunten heeft?
       
4. De makers van het McDonalds-logo hebben zich duidelijk laten inspireren door de kromme met vergelijkingen 
x
(t) = 2t - sin(2t) en  y(t)= 1 - cos(2t) met  -π t π. Zie de figuur hieronder.
       
 

       
  Onderzoek of de "poten" van dit logo loodrecht op de grond staan.
       
5. De kromme van Talbot wordt gegeven door: 
x
(t) = (1 + sin2t) • cost  en   y(t) = (1 - sin2t) • sint

Voor de afgeleides daarvan geldt:
x'(t) = sint - 3sin3t  en  y'(t) = 3cos3t - 2cost

     
  a. Toon dat aan.
     
  b. Los op  x'(t) = 0  en laat zien dat bij vier van de gevonden t-waarden  y' ook nul is.
     
  c. Benader de helling in het keerpunt rechtsboven op één decimaal nauwkeurig.
       
     
6. Gegeven is de parameterkromme K:    x(t) = cos(3t)  en  y(t) = sin(t - 1/2π)
     
  a. Geef de coördinaten van de punten van K waarin de raaklijn verticaal is.
     
  b. Geef een benadering voor de helling van K in het linker keerpunt.
     
  c. Bereken de snijpunten van K met de lijn y = x
       
7. De kromme K wordt gegeven door de vergelijkingen: x(t) = 4/3t3 - 4en  y(t) = -2t4 + 4t2
Daarbij is  -2 ≤ t ≤ 2
       
  a. Plot K en bereken de snijpunten van K met de coördinaatassen
       
  b. Geef vergelijkingen  van de raaklijnen aan K in het punt op de y-as waar K zichzelf snijdt. Bereken daarmee in graden nauwkeurig de hoek waaronder K zichzelf snijdt.
       
  c. Bereken de helling van K in de keerpunten exact.
       
8. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2000.
       
  De kromme K is gegeven door:

 
  waarbij t ∈ [0, 2π] \ {1/2π, 11/2π}
Hiernaast is K getekend.
     
  a. Bereken de coördinaten van de snijpunten van K met de coördinaat-assen.
       
  A en B zijn de eindpunten van de beide takken van K.
       
  b. Bereken de coördinaten van A en B.
       
  P is een punt van de bovenste tak van K. m is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan K in P.
       
  c.

       
  Q is het snijpunt van K met de x-as.
       
  d. Toon aan dat de lijn BQ raaklijn is aan K.
       
9. examenvraagstuk Wiskunde B VWO, 2001.
       
  De kromme K is gegeven door:
x(t) = t(2 - t)2  en  y(t) = t2(3 - t)

Hiernaast is K getekend.
     
  a. Bereken de coördinaten van de snijpunten van de lijn y = -x + 3 met de kromme K.
     
  K heeft twee punten met de y-as gemeen:  O en A.
     
  b. Bereken de hoek die de kromme K maakt met de y-as in het punt A. Geef het antwoord in graden nauwkeurig.
       
  Voor elke a ∈ R is de kromme Ka gegeven door:   x(t) = t(2 - t)2  en   y(t) = t2 (a - t)

Voor a = 3 krijgen we de kromme K van hierboven.
Hieronder zijn achtereenvolgens  K1, K2 en K4 getekend.

       
 

       
  Het lijkt erop dat voor a ≠ 3 alle Ka de y-as raken.
       
  c. Bewijs dat alle Ka voor a ≠ 3 de y-as raken.
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)