Kansbomen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
We herhalen nog even de regels die voor En en OF gelden, voorzover we ze in deze les nodig hebben:
P(A én B) = P(A) • P(B)  waarbij je P(B) opnieuw moet uitrekenen.
P(A óf B) = P(A) + P(B)  als A en B niet tegelijk kunnen voorkomen. 
In de vitrine van de bakker liggen 14 heerlijke gebakjes. Het zijn   3 aardbeientompouces, 5 moorkoppen en 6 slagroomgebakjes.

Ik kies er willekeurig 3 gebakjes van uit.
Ik vraag me af hoe groot de kans is dat ik 2 moorkoppen en een slagroomgebakje zal hebben.

Om de mogelijkheden op een wat systematische manier op te schrijven maken ik gebruik van een boomdiagram. Maar daarin teken ik alleen de mogelijke gebeurtenissen; ik hou er nog even geen rekening mee dat er verschillende aantallen zijn.

 
Zo'n boomdiagram ziet er zó uit:  (A = aardbeientompouce,  M = moorkop,  S = slagroomgebakje)

De eerste splitsing gaat over het eerste gebakje, de tweede over het volgende gebakje en de derde over het laatste gebakje. Let erop dat elk uiteinde van een tak een mogelijkheid voorstelt. Het uiteinde bij de rode pijl stelt bijvoorbeeld voor de mogelijkheid  M -M -S.  Dus achtereenvolgens een Moorkop, een Moorkop en een Slagroomgebakje.

Drie van die takken leveren 2 moorkoppen en een slagroomgebakje op. Daarbij is een paarse stip gezet. Dat zijn 3 gunstige van de 27 mogelijke takken. Maar nu mag je niet zeggen dat de kans dan  3/27 is. 
Waarom niet?
Nou, omdat alle takken niet even zwaar meetellen. We hebben hier niet te maken met gelijkwaardige mogelijkheden omdat er niet van elk soort gebakje evenveel zijn. De takken met een slagroomgebakje komen veel vaker voor dan de takken met een aardbeientompouce. Om daar rekening mee te houden gaan we bij elke tak de kans erop zetten.

KIJK UIT!
Bij het berekenen van die kansen moet je elke keer uitgaan van de situatie op het moment van kiezen.
Punt P van de boom hoort bijvoorbeeld bij eerst een slagroomgebakje EN daarna een aardbeientompouce. Als je nu het derde gebakje moet kiezen, dan moet je je realiseren dat er op dit moment nog  2 aardbeientompouces en  5 moorkoppen en 5 slagroomgebakjes zijn. De kans op een aardbeientompouce is dan dus 2/12. Het is een duidelijk voorbeeld van P(A én B) waarin je P(B) opnieuw moet berekenen.
Als je al de kansen op die manier uitrekent en bij de takken zet dan noemen we het boomdiagram een kansboom. Die ziet er in dit geval zó uit:
 

Merk vooral op dat bij elke kruising de kansen die eruit voortkomen samen 1 zijn. dat kun je handig gebruiken om te controleren of je geen fout hebt gemaakt met het steeds opnieuw uitrekenen van de kansen.
Voor tak 1 moet het eerste gebakje een moorkop zijn EN het tweede een slagroomgebakje EN het derde een slagroomgebakje. Dus om de kans op tak 1 uit te rekenen moet je die kansen met elkaar vermenigvuldigen. Dat mag omdat we de kans op een tak elke keer opnieuw hebben uitgerekend (zoals moet bij EN).
Dat geeft dat de kans op tak 1 gelijk is aan  5/14 • 6/13 • 5/12 = 25/364
Tak 2 geeft een kans van   6/14 • 5/13 • 5/12 = 25/364
Tak 3 geeft een kans van   6/14 • 5/13 • 5/12 = 25/364

Maar om twee slagroomgebakjes en 1 moorkop te krijgen moet je tak 1 OF tak 2  OF tak 3 hebben.
En omdat die takken niet tegelijk kunnen voorkomen (het zijn immers verschillende mogelijkheden) mag je de kansen op die takken bij elkaar optellen.
Dat levert op:  P(2 slagroomgebakjes + 1 moorkop) = 25/364 + 25/364 + 25/364  = 75/364
In het algemeen:  Een kans kun je met een kansboom in 5 stappen berekenen:
stap 1. Teken een boomdiagram.
stap 2. Zet de kansen bij de takken. Denk erom dat je de kansen steeds voor de nieuwe situatie uitrekent.
stap 3. Kijk welke takken gunstig zijn. (dat waren de drie paarse stippen in het voorbeeld hierboven).
stap 4. Bereken de kans op die gunstige takken door alle kansen erlangs met elkaar te vermenigvuldigen.
stap 5. Tel de kansen op de gunstige takken bij elkaar op.
Hieronder  zie je hoe het werkt voor de vraag:  "Bereken de kans dat een gezin van 4 kinderen bestaat uit 2 meisjes en twee jongens, als bij elke geboorte de kans op een meisje of jongen 0,5 is"

STAP 5:   De kans wordt dan  0,0625 + 0,0625 + 0,0625 + 0,0625 + 0,0625 + 0,0625 =  0,375
Vreemdere bomen.....
Tot nu toe waren die kansbomen mooi regelmatig. Dat hoeft niet hoor! Er kunnen ook hele vreemde bomen tevoorschijn komen....
Het volgende voorbeeld zal dat duidelijk maken.

Ik heb een sleutelbos met daaraan 4 sleutels. In het donker moet ik mijn schuur open doen, dus de schuursleutel vinden. Ik probeer ze in willekeurige volgorde gewoon één voor één.
Hoe groot is de kans dat ik bij de tweede of derde sleutel succes heb?
Deze boom is wat vreemder, want hij stopt als je de goede sleutel hebt gevonden. Dus niet alle takken ervan zijn even lang.
De kansboom ziet er uit als hiernaast: 
Er zijn twee gunstige takken.

De totale kans wordt   3/4 • 1/3   +   3/4 • 2/3 • 1/2    =    3/12 + 6/24 = 1/2

Dit soort experimenten noemen we wel "herhalen tot succes" Dat geeft elke keer zulke "eenzijdige" kansbomen.

Beroemde voorbeelden daarvan:
•  Gooi bij Mens-Erger-Je-Niet net zolang met een dobbelsteen tot je 6 gooit
•  Doe net zo vaak rijexamen tot je slaagt.
•  Een seriemoordenaar vermoordt vrouwen totdat hij gepakt wordt.
•  Knock-Out: bij Wimbledon mag je net zolang meespelen totdat je verliest.
Omdat kansbomen tekenen een erg belangrijk onderwerp is deze keer veel opgaven:
   
  OPGAVEN

1.
Er zijn vier bloedgroepen, namelijk, O, A, B en AB. In de tabel hieronder zie je hoe deze bloedgroepen over de Nederlandse bevolking zijn verdeeld.
O A B AB
46% 41% 9% 4%
Bereken de kans dat van een echtpaar de man en de vrouw:
a. Beiden bloedgroep A hebben.

0,1681
b. Geen van beiden bloedgroep A heeft.

0,3481
c. Verschillende bloedgroepen hebben.

0,6106
2. Hielke en Sietse spelen een tenniswedstrijd over maximaal drie sets. Degene die als eerste twee sets wint heeft de wedstrijd gewonnen. De kans dat Hielke een set wint is 0,3 dus de kans dat Sietse  een set wint is 0,7.
Hoe groot is de kans dat Hielke de wedstrijd wint?
     

0,216
3. Iemand wil met je wedden dat je uit een 52-kaarten deck niet 3 kaarten willekeurig kunt trekken zonder één van de 12 plaatjes te krijgen. Neem je die weddenschap aan?
     

nee: p = 0,447
4. Kandidaat Wiskunde-B leerlingen worden aan een strenge lichamelijke en psychische test onderworpen alvorens ze tot het vak worden toegelaten. De kans dat een kandidaat slaagt voor de test is 10%. Voor kandidaten die de eerste test niet halen zijn er nog maximaal twee herkansingen, iedere keer met dezelfde slaagkans. Iemand die de derde keer wéér niet slaagt, is definitief afgewezen.
     
a. Hoe groot is de kans dat een kandidaat wordt afgewezen?
     

0,729
b. Hoeveel procent van de kandidaten zal uiteindelijk twee tests hebben gedaan?
     

9%
5. Een vrouw loopt op je af met in haar handen drie kaarten. Deze kaarten zijn aan één kant zwart en aan de andere kant rood. Zij legt de drie kaarten willekeurig naast elkaar neer op tafel.
Hoe groot is de kans dat er NIET twee rode kaarten naast elkaar liggen?
     

5/8
6. Twee meisjes, Annet en Bernice, hebben een vaas met daarin 7 knikkers, 2 roden, 2 groenen en 3 witten.
Ze gaan er, met een blinddoek voor, beiden een knikker uithalen. Annet gaat beginnen.
Na afloop hebben ze beiden één knikker, en wie een rode heeft is de winnaar. Bij allebei een rode of geen van beiden een rode is het gelijkspel.
Bernice is echter een valsspeelster die stiekem kijkt als ze aan de beurt is.
Gelukkig voor Annet is Bernice wel kleurenblind en ziet zij geen verschil tussen rood en groen.

Bernice denkt dat haar winstkans veel groter wordt als zij mag beginnen in plaats van Annet.

Zij heeft gelijk.

Hoeveel wordt haar winstkans groter als zij mag beginnen?
     

0,0119
7.

Na het goed gemaakte proefwerk kansrekening ga je met vier medeleerlingen de kroeg in.
Je besluit bij het eerste rondje te "knobbelen"  om wie er gaat betalen.
Dat gaat als volgt: één van jullie neemt vijf lucifers, en breekt van vier een stukje af. Hij houdt ze vervolgens zó tussen zijn vingers dat niet te zien is welke de langere lucifer is. Ieder trekt een lucifer, en wie de langste trekt betaalt het rondje.

Joke zegt:  "Ik wil graag eerst trekken want de kans dat de eerste de lange lucifer pakt is slechts 1/5, maar bij de tweede al 1/4"    Laat met een berekening zien dat  Joke niet gelijk heeft.
     

p = 1/4 • 4/5 =1/5

8.

Drie wiskundigen staan voor een vaas met een onbekend aantal rode en witte knikkers erin.
Ze mogen om de beurt het volgende doen:
Trek willekeurig een knikker uit de vaas en leg die weer terug.
Doe daarna een knikker extra in de vaas (ook rood of wit).

De taak is om ervoor te zorgen dat er na afloop evenveel rode als witte knikkers in de vaas zitten.
De wiskundigen besluiten de volgende, simpele tactiek te volgen:
Als een wiskundige een witte knikker uit de vaas trekt zitten er waarschijnlijk meer witte dan rode knikkers in de vaas, dus dan doet hij een rode erbij. En als een wiskundige een rode knikker trekt doet hij een witte erbij.
Hoe groot is de kans dat deze wiskundigen in hun opdracht slagen als er in het begin twee witte en één rode knikker in de vaas zitten?

     

11/20
9. Je hebt niet zoveel zin om voor het volgende proefwerk wiskunde te gaan leren, maar gelukkig doet jouw leraar je een aanbod. Hij heeft een vaas met zes genummerde ballen erin. Zie de figuur hiernaast. Om de beurt gaan jullie geblinddoekt een bal uit de vaas trekken. Hij begint. De ballen leggen jullie niet terug, maar houden jullie bij je. Na afloop is het wiskundecijfer dat je krijgt gelijk aan de som van de drie getallen op de ballen die jij hebt getrokken..
Je neemt het aanbod aan, maar besluit natuurlijk om stiekem steeds te kijken! Je pakt gewoon steeds de hoogste bal die er nog in de vaas zit.
Hoe groot is de kans dat jij op deze gemene manier een 5 krijgt?

     

5/24
10 Je hebt twee batterijen nodig voor je fototoestel.
In een oude doos zitten 6 batterijen, maar 2 daarvan zijn leeg. Dat kun je aan de buitenkant niet zien, dus je gaat de batterijen één voor één testen tot je twee volle batterijen hebt.  
Hoe groot is de kans dat je precies 3 batterijen moet testen?
     

2/5
11. Je hebt een vaas met zes knikkers, drie rood en drie geel.
Je trekt er twee uit en verft de eerste in dezelfde kleur als de tweede (indien nodig).
Dat doe je twee keer (zonder ze terug te leggen).
Hoe groot is de kans dat je één keer moet verven?
     
0,4
12. Kleine Karel wil voor zijn verjaardag graag een nieuwe fiets. Dat vinden zijn ouders goed, maar hij moet er wel iets voor doen. Hij moet drie schaakwedstrijden spelen om en om tegen vader en moeder. Hij mag zelf weten tegen wie hij begint. Hij krijgt zijn nieuwe fiets als hij twee opeenvolgende wedstrijden wint.
Nou weet Kleine Karel dat hij tegen zijn vader 55% kans heeft om te winnen en tegen zijn moeder 45%.
Tegen wie kan hij het beste beginnen om de kans op een nieuwe fiets zo groot mogelijk te maken en hoe groot is die kans?
     

M: 0,383625
13.
Een onderzoeksbureau ontdekte dat de verhouding mannen/vrouwen in het verkeer gelijk was aan 2 : 1.  (Dus 2/3 is man en 1/3 is vrouw). Toen men ging kijken bij hoeveel ongelukken tussen twee chauffeurs vrouwen betrokken waren was dat bij maar liefst 54% van de ongelukken! En jawel, daar waren de krantenkoppen alweer:

"Vrouwen slechte rijders: 33% van de chauffeurs, betrokken bij 54% van de ongelukken!!"

Bereken de kans dat bij een willekeurig ongeluk tussen twee personen een vrouw is betrokken, als mannen en vrouwen een even grote kans hebben op een ongeluk.
Geef commentaar op de krantenkoppen.
       
14. Kleine Karel krijgt voor zijn verjaardag een cadeautje van zijn opa en oma. Op tafel liggen twee portemonnees, één van opa en één van oma. Ze zijn identiek van buiten, maar de inhoud is verschillend!
In de portemonnee van opa zitten  4 briefjes van €10,-  en  3 briefjes van  €20,-  maar in de portemonnee van oma zitten  3 briefjes van  €10,- en  6 briefjes van €20,-.
Kleine Karel kiest eerst willekeurig een portemonnee en mag daarna twee briefjes (ook willekeurig; zonder te kijken) uit die portemonnee halen.
     
a. Hoe groot is de kans dat hij in totaal €30,- krijgt?
   

0,2798
b. Als kleine Karel zelf eerst alle briefjes (dus 7 van €10,- en 9 van €20,-)  over de beide portemonnees mag verdelen, hoe kan hij dat dan het best doen om de kans op in totaal €40,- zo groot mogelijk te maken? Hoe groot is die kans dan?
     

8/13
       
15. Twee spelers doen mee aan een knock-out tennis toernooi. 
Er zijn 32 deelnemers, en elke ronde wordt geloot wie tegen wie moet. Zodra een speler verliest is hij uitgeschakeld en doet niet meer mee. De winnaars gaan door naar een volgende ronde waarin opnieuw wordt geloot wie tegen wie speelt.
Neem aan dat alle spelers even sterk zijn (dus kans 1/2 hebben om van elke andere te winnen of verliezen)

Hoe groot is de kans dat de twee spelers elkaar tegenkomen?
     

0,0629
       
16. Een weerstation voorspelt dat, als het op een bepaalde dag regent, het dan in 50% van de gevallen ook op de volgende dag regent. Als het op een dag niet regent is de kans op regen de volgende dag slechts 30%. Neem aan dat deze getallen kloppen.
       
  a. Het weerstation voorspelt regen voor Maandag.
Hoe groot is dan de kans dat het Woensdag ook zal regenen?
     

0,40
  b. Stel dat we 10000 willekeurige dagen bekijken en dat het gemiddeld op X dagen daarvan regent.
In hoeveel gevallen zal het dan de volgende dag regenen?
Wat zegt dat over de kans op regen op een willekeurige dag?
     

3750, 3/8
       
17. Als je een officieel feestje geeft (zoals een bruiloft bijvoorbeeld), dan wil je graag van tevoren weten hoeveel mensen er zullen komen. In verband met hoeveel gebakjes je nodig zult hebben en hoeveel drank en zo.

Daarom wordt op uitnodigingen vaak verzocht om even door te geven of men komt of niet.
Het blijkt in praktijk dat van de mensen die komen 80% dat doorgeeft. Van de mensen die niet komen geeft slechts 30% dat door.

Iemand verstuurt 500 uitnodigingen voor een feestje en krijgt 325 reacties terug.
       
  a. Hoeveel van die reacties zullen zeggen dat men komt?  
     

280
  b. Hoeveel mensen zullen er werkelijk komen?  
     

350
       
18. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1992.
       
 

       
  Een schip, geladen met vloeibaar petroleumgas (LPG) ligt een tijdje in de haven aan de steiger. Men vraagt zich af hoe groot de kans is dat er in die periode een ongeluk gebeurt waarbij gas vrijkomt uit deze gastanker.

Met behulp van de vraag 'Wat moet er allemaal misgaan opdat de gastanker aan de steiger gas verliest?' probeert men een model op te stellen. In dat model gaat het uitsluitend om ongelukken als gevolg van een aanvaring door een ander schip. In de volgende figuur zie je hoe zo'n model er uit zou kunnen zien.
       
 

       
  De kansen die bij de verschillende stappen staan, gelden per periode dat een tanker aan de steiger ligt.
       
  a. Laat zien dat de kans op het vrijkomen van gas uit de gastanker die aan de steiger ligt bijna 2% is.
       
  Per jaar verwerkt de haven 20 gastankers.
       
  b. Bereken de kans op minstens 1 ongeluk per jaar in de haven door het vrijkomen van gas uit een gastanker.
       
  Een ander schip raakt de geladen gastanker aan de steiger.
       
  c. Bereken de kans dat er geen gas vrijkomt.
       
19. examenvraagstuk HAVO Wiskunde A,  1996.
       
  Bij de lotto worden iedere week willekeurig zes balletjes getrokken uit een glazen bol waarin 41 balletjes zitten. Deze balletjes zijn genummerd van 1 tot en met 41. De getallen op de zes balletjes worden daarna op volgorde (van klein naar groot) gezet en vormen de winnende zes getallen van de betreffende week.
Iedere deelnemer probeert deze zes getallen te voorspellen door het aankruisen van zes getallen in een kolom (met daarin de getallen 1 tot en met 41) op het lottoformulier. Als de winnende zes getallen door één of meer deelnemers worden voorspeld, wordt de hoofdprijs uitgekeerd. We zeggen dan dat de jackpot valt.
Enige tijd geleden verscheen er een artikel in de krant over de jackpot. Hieronder volgt een citaat uit dat artikel.
       
 
"Acht weken lang is de combinatie van zes getallen, goed voor de jackpot van de lotto niet voorspeld. .... Als 500000 mensen meedoen en er gemiddeld 4,5 kolom per deelnemer ingevuld wordt, dan is er 40% kans dat de jackpot in de eerstkomende week valt. De kans dat de jackpot in de eerste en/of tweede week valt is 64%. In de daaropvolgende weken stijgt de kans op het vallen van de jackpot tot respectievelijk 78%, 87%, 92% en 96%. De kans dat de jackpot gedurende deze zes weken niet valt is 4%..."
       
  In deze opgave controleren we een aantal zaken uit dit krantenartikel.
Neem aan dat de kans dat de jackpot in een bepaalde week valt inderdaad 40% is.

We kijken twee weken vooruit. In de figuur hieronder zijn de verschillende mogelijkheden weergegeven.

       
 

       
  a. Laat zien, uitgaande van bovengenoemde 40%, dat de kans dat de jackpot in de eerste twee weken 1 of twee keer valt gelijk is aan 64%
       
  Vervolgens kijken we zes weken vooruit.
       
  b. Bereken, weer uitgaande van bovengenoemde 40%, de kans dat de jackpot in de komende weken één of meer keer valt.
       
  Als de jackpot op een gegeven moment acht weken achter elkaar niet is gevallen, denken sommige mensen dat de kans dat de jackpot valt groter wordt. Volgens het krantenartikel is hun redenering:
       
 
"De kans dat de jackpot 10 weken achter elkaar niet valt is praktisch nul. Er zijn nu al acht weken voorbij waarin de jackpot niet is gevallen, dus zal de jackpot bijna zeker in één van de twee komende weken vallen"
       
  c. Ben je het eens met deze redenering in het artikel? Licht je antwoord toe.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)