entier integer


Afkappen en Afronden.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

1. Afkappen

Stel je hebt een bepaald bedrag x in je portemonnee en je wilt daar een aantal zakken chips (N) voor gaan kopen.
Maak dan een formule voor N als functie van x als een zak chips €0,65 kost.
De beginnende wiskundige zal eenvoudig zeggen: aantal zakken = ^bedrag/_{kosten
per zak} ofwel N = ^x/_0,65

Maar dat klopt niet!

Kijk maar: stel dat je €10,- hebt, dan zou deze formule geven N = ¹⁰/_0,65 = 15,38....
Maar je kunt helemaal niet 15,38 zakken kopen! Dat aantal moet uiteraard een geheel getal zijn, dus kun je slechts 15 zakken kopen. Het komt erop neer dat je het aantal (N) dat de formule geeft naar beneden moet afronden tot een geheel aantal zakken. In praktijk betekent dat dat je de cijfers achter de komma moet weglaten.

afronden naar beneden = afkappen.

Daarvoor bestaat de functie INT(x)
INT komt van INTEGER, en die heet zo omdat je alleen het gehele getal overhoudt.

De gevraagde functie wordt dus N(x) = INT(^x/_0.65) en op de TI-83 geeft dat zoiets:

Het is een soort trapje omhoog. De breedte van de treden is uiteraard 0,65.

Officieel ziet de basisfunctie y - INT(x) er zó uit:

Daar valt wat aan op: Wat doen die open en dichte rondjes daar?
Nou dat werkt als volgt: een open rondje aan het eind van zo'n traptrede betekent: "Dit laatste punt hoort er NIET meer bij" en een dicht rondje betekent: "Dit laatste punt hoort er WEL bij". Als je die rondjes niet zou zetten zou het onduidelijk zijn hoeveel nou bijvoorbeeld int(2) is. Aan dat open en dichte rondje kun je zien dat int(2) = 2

En als je die rondjes nou andersom wilt?

Het kan voorkomen dat je liever hebt dat die open en dichte rondjes net andersom staan. Neem het volgende voorbeeld:
Ik wil verf kopen, en die verkopen ze in blikken van 5 liter en die kosten 18 euro per stuk. Met één liter weet ik dat ik 6 m² kan verven.
Ik vraag me af welk bedrag ik nodig heb om x vierkante meter te verven.
De grafiek die daar bij hoort ziet er uit als hiernaast (immers met één blik kun je 30 m² verven).

Je ziet dat die open en dichte rondjes precies andersom liggen.
Hoe maak je dat met INT(x)?

Er zijn twee eenvoudige en praktische oplossingen.

1. Gebruik het linkerstuk van de INT(x) grafiek.

Aan de linkerkant van de oorsprong liggen de lijntjes van de y = int(x) grafiek wél zoals je graag wilt (open uiteinden links, dichte uiteinden rechts). Nou,......, dan schuif je die toch gewoon naar rechts?

Als je die lijntjes uit de linkergrafiek naar rechts schuift krijg je de rechter. Een mogelijk functievoorschrift van de rechtergrafiek zou zijn y = int(x - 100) + 99. Dan heb je hem dus 100 naar rechts en 99 naar boven geschoven.
Het enige nadeel is, dat deze nieuwe formule nu alleen geldt voor x ≤ 100. Immers voorbij de x = 100 liggen die "verkeerde" trapjes.

2. verschuif ze een hééééél klein stukje naar rechts.

Neem de grafiek van y = int(x - 0,001)
Die is bijna gelijk aan die van y = int(x)
Maar als je nu x = 1 invult krijg je y = int(0,999) = 0 dus nu ligt (1, 0) wél op de grafiek!
Nadeel is hier dat de grafiek nu niet meer klopt voor bijv. x = 1,0000001. Maar vooral als x een geheel getal is, is dat geen enkel probleem, want dat komt toch dan niet voor.

Teken de grafiek van g(x) = 3 • INT(x)

Teken de grafiek van h(x) = INT(2x)

Bij Albert Hein krijg ik voor elke 10 euro aan boodschappen een pakje met 6 voetbalplaatjes.
Geef een formule voor het aantal plaatjes (P) dat ik krijg als functie van het bedrag aan boodschappen (B).

P = 6 • INT(0,1B)

Bij de GALL kun je busjes huren per dag.
Men vraagt een basisbedrag van €30,- en daarbovenop nog eens €10,- voor elke dag of deel van een dag.
Noem B het te betalen bedrag en d het aantal dagen dat je een busje huurt.

Teken de grafiek van B(t) en geef een passende formule.

In een parkeergarage betaal je, als je maximaal een uur parkeert, een bedrag van €5,-
Voor elk half uur of deel van een half uur dat je langer parkeert betaal je nog eens €2,- extra
Noem B het te betalen bedrag en h het aantal halfuren dat je parkeert.

Teken de grafiek van B(h) en geef een passende formule.

2. Afronden

Soms moet je niet afkappen, maar afronden.
Bijvoorbeeld: je hebt twee cijfers voor wiskunde gehaald, en je rapportcijfer wordt het gemiddelde van die twee.
Dan moet een 5,8 natuurlijk wel een 6 worden en niet een 5. Je moet afronden, en niet afkappen.
Ook dat kun je met de functie INT voor elkaar krijgen.
Laten we het afronden AFR(x) noemen, dan geldt:

AFR(x) = INT(x + 0,5)

Ofwel: Afronden is hetzelfde als ergens 0,5 bij optellen en dan afkappen.

Voor een proefwerk kun je 90 punten halen en je eindcijfer is het aantal punten plus 10, en dan gedeeld door 10.
Het cijfer wordt afgerond op een geheel getal.
Geef een formule voor het eindcijfer C als functie van het aantal punten P.

C = INT(0,1P + 1,5)

Je hebt een getal x dat je wilt afronden op één cijfer achter de komma.
Dat kun je doen door het met 10 te vermenigvuldigen, dan af te ronden, en het resultaat weer door 10 te delen.

Geef een functievoorschrift f(x) dat x afrondt op één decimaal.

f(x) = 0,1•INT(10x + 0,5)

Geef een functievoorschrift f(x) dat x afrondt op twee decimalen.

0,01•INT(100x + 0,5)

De leerlingen van de vierde klassen van een grote scholengemeenschap gaan op excursie naar Keulen. Voor het vervoer besluiten ze gebruik te maken van meerdere kleine busjes. In zo'n busje kunnen maximaal 8 leerlingen.

Geef een formule voor het aantal benodigde busjes (B) als functie van het aantal leerlingen (L) dat meegaat.

B=INT((L + 7)/8)