De insluitstelling.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Meteen de stelling maar:
       

Neem de rijen an, bn en cn, waarvoor vanaf bepaalde n geldt dat an < cn < bn
Als dan an en bn convergeren naar de zelfde limiet L,
dan convergeert  cn ook naar L.

       
Met een plaatje is het allemaal veel logischer te zien.
Als je als groene rij cn tussen die blauwe en rode hiernaast in moet blijven en die blauwe en rode gaan allebei naar dezelfde limietwaarde toe, dan moet jij als groene daar ook wel naartoe! Je wordt gewoon gedwongen!!! Je bent INGESLOTEN!

De insluitstelling wordt erg  vaak gebruikt met als an de x-as
Dan  klinkt dat dus zó:

       

Als vanaf bepaalde n geldt dat  0 < vn < un, en un gaat naar nul,
Dan gaat vn ook naar nul.

       
Voorbeeld.
We weten al dat de meetkundige rij  1/2n  convergeert, want dat is gelijk aan (1/2)n  en de reden is kleiner dan 1.
Neem die 1/2n als rode rij  bn  en neem de x-as  als blauwe rij an.
(want als je de noemer groter maakt wordt een breuk kleiner). Dus zit onze rij ingeklemd tussen de x-as en de rij  1/2n  dus convergeert hij ook.
       
Andersom kan het ook!
       
Op precies dezelfde manier geldt natuurlijk dat, als altijd geldt  an ³ bn  en  bn gaat naar oneindig, dan gaat ook an naar oneindig. Zo kun je soms bewijzen dat een rij divergeert.
       
         
  OPGAVEN
         
1. Toon aan of de volgende rijen convergeren of divergeren.
         
  a.  

divergent

         
  b.  

convergent

         
  c.  

convergent

         
2. Gegeven is de reeks:
 

  Toon aan dat deze reeks convergeert.
         
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)