asymptoten hyperbool

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De asymptoten van een hyperbool.

Een interessante vraag bij een hyperbool is:

Wat gebeurt daar aan die randen?

Gaat de grafiek uiteindelijk horizontaal lopen....? Of schuin.....? Of nog anders.....?

De vergelijking van een hyperbool geeft uiteraard het antwoord. Laten we beginnen met de algemene vergelijking:

Vermenigvuldig alles met a²b² en je krijgt: b² x² - a²y² = a²b²

Laten we kijken wat er gebeurt als x oneindig groot wordt. Dan wordt de rechterkant van de vergelijking hierboven gelijk aan nul (immers a en b zijn constanten). Eigenlijk moet je niet zeggen "wordt gelijk aan nul" maar "gaat naar nul", want precies nul zal het immers nooit worden.

Maar dat betekent dat de linkerkant óók naar nul gaat, en dat kan alleen maar als ^y/_x gelijk wordt aan ±^b/_a (ga dat zelf maar na). Maar dát betekent weer dat y gelijk wordt aan ±^b/_a • x
Dus de hyperbool gaat aan de zijkanten volgens de rechte lijnen y = ±^b/_a • x lopen.
Dat zijn de scheve asymptoten van de hyperbool.
En voor een hyperbool met de brandpunten op de y-as geldt uiteraard precies hetzelfde (met -1 in plaats van +1 geldt precies hetzelfde verhaal).

Bij een hyperbool die verschoven wordt, worden de asymptoten natuurlijk meegeschoven.
Hun helling blijft daarbij natuurlijk ±^b/_a.

Voorbeeld.
Bereken vergelijkingen van de asymptoten van de hyperbool 2x² - y² - 4x - 4y + 2 = 0.
Kwadraat afsplitsen:
2(x² - 2x) - (y² + 4y) + 2 = 0
⇒ 2(x² - 2x + 1 - 1) - (y² + 4y + 4 - 4) + 2 = 0
⇒ 2(x - 1)² - 2 - (y + 2)² + 4 + 2 = 0
⇒ 2(x - 1)² - (y + 2)² = -4

Dus a = √2 en b = 2. De oorspronkelijke (niet-verschoven) hyperbool had asymptoten y = ±√2 • x
De oorsprong is nu verschoven naar (1, -2) dus de nieuwe asymptoten moeten door dit punt gaan.
De vergelijkingen worden dan y = x√2 - 2 - √2 en y = -x√2 - 2 + √2

Geef vergelijkingen van de asymptoten van de volgende hyperbolen:

9x² - 4y² - 18x + 45 = 0

y = 1¹/₂x - 1¹/₂, y = -1¹/₂x + 1¹/₂

(x + 2)² - 4(y - 3)² = 16

y = ¹/₂x + 4, y = -¹/₂x + 2

4x² - y² + 6y - 5 = 0

y = 2x + 3, y = -2x + 3

16x²+ 128x = 25y² + 100y + 244

y = 0,8x + 2, y = -0,8x - 5,2

Een hyperbool heeft asymptoten y = 4x en y = -4x en gaat door het punt (√8, 8)
Geef een formule, en de coördinaten van de brandpunten.

16x² - y² = 64. (±√68, 0)

Een hyperbool heeft asymptoten y = 2x - 1 en y = -2x + 7 en gaat door het punt ( 8,7 )
Geef een formule.

4(x - 2)² - (y - 3)² = 128

Een orthogonale hyperbool is een hyperbool waarvan de asymptoten loodrecht op elkaar staan.
Toon aan dat voor een orthogonale hyperbool moet gelden dat a = b.

Een hyperbool maken uit twee asymptoten.

Het kan ook andersom!
Als je twee willekeurige asymptoten hebt, kun je een vergelijking van een hyperbool daarbij maken. Zelfs van scheef liggende hyperbolen!

Dat kan als je je het volgende bedenkt.

Neem de twee lijnen y = 2x+ 1 en y = -0,5x + 4 hiernaast.
Die vergelijkingen kun je ook schrijven als 2x - y + 1 = 0 en 0,5x + y - 4 = 0
Wat heb je daaraan?
Het leuke komt als je ze met elkaar vermenigvuldigt en er een impliciete vergelijking van maakt: (2x - y + 1) • (0,5x + y - 4) = 0

Omdat A • B = 0 precies hetzelfde is als A = 0 ∨ B = 0 staan in deze ene impliciete vergelijking hierboven precies die twee lijnen. De grafiek van (2x - y + 1) • (0,5x + y - 4) = 0 is dus precies de grafiek van beide rode lijnen samen, zoals die hierboven is getekend.
Maar goed, dat is de grafiek van twee lijnen, en nog niet van een hyperbool......

Maar kijk wat er gebeurt als je de 0 aan de rechterkant van de vergelijking door een ander getal vervangt.
Let op wat er gebeurt met de grafieken x • y = 0, x • y = 1, x • y = 3, x • y = 5, x • y = 10:

Nou, met onze twee lijnen gebeurt precies hetzelfde. Alleen staat er dan A • B = 0 in plaats van x • y = 0. Dan lijkt de grafiek aan de uiteinden nog steeds op die twee lijnen, maar in het midden, bij het snijpunt niet meer. Kijk maar:

We krijgen een serie hyperbolen die allemaal de twee gegeven lijnen als asymptoot hebben.
Werk de haakjes weg en je hebt een "gewone" vergelijking. (bij die scheve hyperbolen staat er dan wel steeds een term met xy in).

Een hyperbool met asymptoten ax + by + c = 0 en dx + ey + f = 0
Heeft vergelijking (ax + by + c)•(dx + ey + f) = p

klein bewijsje.
Voor de hyperbolen die we al eerder onderzochten vonden we de asymptoten y = ^b/_a• x en y = -^b/_a•x
Dat zijn de vergelijkingen bx - ay = 0 en bx + ay = 0
Vermenigvuldigen geeft de hyperbool: (bx - ay) • (bx + ay) = p
⇒ b²x² - a²y² = p

Kies p = a²b² en er staat inderdaad de vergelijking van de hyperbool zoals we die al kenden.

Geef vergelijkingen van de volgende hyperbolen:

Met asymptoten y = 2x - 1 en y = -³/₄x + 2 die door het punt (1,2) gaat.

6x² - 4y² + 5xy - 19x + 4y + 11 = 0

Met asymptoten y = x + 1 en y = 3x + 1 die door de oorsprong gaat.

3x² + y² - 4xy + 4x - 2y = 0

Met asymptoten y = x en y = -2 - 2x die door (0,2) gaat.

2x² - y² - xy + 2x - 2y + 8 = 0

Hyperbolen die als asymptoot de y-as hebben kun je schrijven als y = ax + ^b/_x + c
Toon dat aan.