Hoeken.

h.hofstede (hhofstede@hogeland.nl)

   
Korte samenvatting van wat je over hoeken geacht wordt te weten.
In de volgende figuren betekenen pijltjes in lijnstukken steeds dat die lijnstukken evenwijdig zijn.
Streepjes in lijnstukken betekenen dat ze even lang zijn.
   
1.  Gelijke hoeken.
   
Je moet eigenlijk vijf speciale gevallen van hoeken die gelijk zijn uit je hoofd kennen.
Laten we ze maar even langslopen.
   
  F-HOEKEN

Als twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn, dan zijn de hoeken hiernaast gelijk.

     
  Z-HOEKEN

Ook hier worden twee evenwijdige lijnen gesneden door een derde, en zijn de hoeken hiernaast gelijk.

     
  X-HOEKEN

Ook wel overstaande hoeken genoemd.
Als twee lijnen elkaar snijden dan zijn de hoeken tegenover elkaar twee aan twee gelijk.

     
  BASISHOEKEN

In een gelijkbenige driehoek (een driehoek met twee gelijke zijden) zijn de basishoeken gelijk.

     
  GELIJKZIJDIGE DRIEHOEK

In een gelijkzijdige driehoek zijn alle drie de hoeken aan elkaar gelijk en elk 60.

     
2.  Hoekensom Driehoek.  
   

De drie hoeken van een driehoek zijn altijd samen 180

   
Bewijs:
Dat kun je eenvoudig inzien door het plaatje hiernaast.
Door een hoekpunt van de driehoek is een lijn getrokken evenwijdig aan de zijde er tegenover.
Vanwege Z-hoeken zijn de rode hoeken aan elkaar gelijk en de groene ook.
Bovenaan de driehoek zie je dat een rode plus een groene plus een blauwe gelijk zijn aan een rechte lijn en dat is 180
Maar de drie hoeken van de driehoek zijn ook precies een rode en een groene en een blauwe, dus ook samen 180

   
Gevolg:
Dat kun je mooi gebruiken om de som van de hoeken van een willekeurige regelmatige n-hoek te berekenen. Neem bijvoorbeeld de regelmatige negenhoek hiernaast.
Als je vanuit n hoekpunt zoveel mogelijk diagonalen tekent, dan zijn dat er 6, en daarmee verdeel je de negenhoek in 7 driehoeken. En de hoeken van die driehoeken zijn samen precies gelijk aan de hoeken van de negenhoek. Dus dat is 7 180 = 1260
Elke hoek van de negenhoek is dus 1260/9 = 140

En met een n-hoek zijn er altijd n - 3 diagonalen vanaf een hoekpunt (naar elk hoekpunt behalve de twee aanliggenden en het hoekpunt zlf) en dus n - 2 driehoeken.
De som van de hoeken is dan  180 (n - 2)

   
3. Notatie  
   
Als teken voor "hoek" gebruiken we voortaan:    
Als er in een punt maar n hoek is, kun je gewoon spreken over ∠A of  B
Maar als er meer hoeken samenkomen, zoals hiernaast in punt A  is het onduidelijk welke hoek je nou precies bedoelt met  A.
Er zijn twee mogelijke oplossingen:
Je kunt de hoeken nummeren, zoals hiernaast A1, A2 en A3
Je kunt precies de route noemen die je neemt als je de hoek tekent. Hoek A1 hiernaast zou je dan  CAD noemen omdat je de hoek tekent als je met je potlood van C naar A naar D gaat. Of DAC zou ook kunnen natuurlijk. Merk op dat in dit geval het hoekpunt altijd bij de middelste letter zit.
   
Best handig, af en toe.....
   
Laatst moest ik laminaat leggen in een kamer waarvan de muren lang niet loodrecht op elkaar stonden.
Ik kon helaas niet meten hoe groot die hoek daar is, want mijn geodriehoek kon ik er natuurlijk niet inleggen door de muren!
 

De eerste plank die ik "op de gok" afzaagde was dan ook verkeerd: zie hiernaast.

Maar toen bedacht ik me, dat  ik met behulp van F-hoeken die hoek daar tussen die muren wl precies kon afmeten!

   
Kijk, omdat de zijden van zo'n plank evenwijdig zijn, zijn er in de figuur hiernaast twee rode F-hoeken te vinden.

En bij punt P kun je wl je geodriehoek langs de muur leggen, dus die rode hoek bij P valt precies te meten, en dan weet je die lastige hoek daar tussen de muren ook!!

Zoals je wel zult verwachten was de tweede plank die ik probeerde dan ook in n keer precies goed........

   
Er bestaat trouwens ook een apparaatje waarmee dit kan;  

   
  OPGAVEN
   
1. Bereken in de volgende figuren de grootte van de hoek met het vraagteken. Denk erom dat de grootte van de hoeken in de tekeningen niet klopt: je mag niet meten!!
       
 

     

A: 130; B:65; C:148
D: 130; E: 80; F:67
G:72; H:19; I:75

2. Bereken hoe groot de hoeken zijn van een regelmatige twaalfhoek
     

150

       
3. Hiernaast staat een gelijkzijdige driehoek ABC met daarin een gelijkbenige driehoek ADB waarvan de hoek bij D 90 is.
Bereken alle andere hoeken in deze figuur.

       
4. Kangoeroewedstrijd

Fenna tekent in een rechthoek een zigzaglijn. Hierbij maakt ze hoeken van 10, 14, 33 en 26,
zoals in de figuur is te zien.

Hoe groot is de hoek met het vraagteken?

     

11

5. Kangoeroewedstrijd.

De gelijkzijdige driehoek AZC wordt om Z gedraaid naar driehoek RZT.

Hierbij is CZR = 70.

Hoe groot is hoek CAR?

     

35

6. Kangoeroewedstrijd.

De figuur hiernaast bestaat uit een vierkant met zijde 4 cm, een vierkant met zijde 5 cm, een driehoek met een oppervlakte van 8 cm2 en een blauw parallellogram.

Hoeveel cm2 is de oppervlakte van het blauwe parallellogram?

     

16

7. Kangoeroewedstrijd.

Twee lijnen maken in het punt O een hoek van 7.

Een kangoeroe springt vanuit O om en om op de twee lijnen. Vanuit O naar A, naar B, naar C, enzovoort. Al zijn sprongen zijn even groot.

Als hij zo ver mogelijk van O is gekomen, stopt de kangoeroe met springen.

Bij welke letter stopt de kangoeroe?

       
 

     

M

       
8. Kangoeroewedstrijd.

Driehoek ABC is gelijkbenig met AC = BC. AD is bissectrice (deellijn)  van hoek A.
D = 105.

Hoe groot is ∠A?

     

70

9.

Kangoeroewedstrijd.
 

In vierhoek ABCD zijn drie hoeken gegeven: 30, 50en 75. Verder is BC = AD.

Hoeveel graden is hoek ADC?

 

     

65

     

h.hofstede (hhofstede@hogeland.nl)