halveren en verdubbelen


Halveren en Verdubbelen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Hiernaast staat de grafiek van iets dat exponentieel afneemt.

(Dan weten wij als kenners dus direct dat de groeifactor g kleiner zal zijn dan 1)

Op de y-as staat de hoeveelheid, en op de x-as de tijd.
De beginwaarde is 16.
In de grafiek hiernaast is elke keer gekeken naar wanneer de hoeveelheid zal zijn gehalveerd. Dat is (op de y-as) eerst bij de waarde 8, dan 4, dan 2 enz.
De bijbehorende punten zijn op de grafiek aangegeven, en er lijkt niet echt een regelmaat te zien, totdat je kijkt naar de rode pijlen hiernaast.

Die zijn allemaal even lang!!

Dat betekent dat de tijd waarin dit halveert steeds gelijk is. En het werkt ook als je niet bij de beginwaarde 16 begint, maar bijvoorbeeld bij hoeveelheid 10. Als je kijkt wanneer het 5 zal zijn geworden is dat wéér zo'n precies even lange rode pijl. De lengte van die pijl noemen we heel toepasselijk de "halveringstijd".

Hoe berekenen we zo'n halveringstijd?

Nou, heel simpel. Stel de eindwaarde gewoon gelijk aan de helft van de beginwaarde.
Stel bijvoorbeeld dat de grafiek hierboven groeifactor 0,8 had, dan is de formule ervan y = 16 • 0,8^t want de beginwaarde was 16.
Bij de halveringstijd is de hoeveelheid 8 geworden dus geldt 8 = 16 • 0,8^t .
Invoeren in de GR en dan intersect geeft t = 3,11 en dat is dus de halveringstijd.

In het algemeen...
Als de formule is y = B • g^t dan vinden we de halveringstijd door te stellen dat de eindhoeveelheid gelijk is aan de helft van de beginhoeveelheid. Dat betekent dat y = 0,5B
Invullen geeft 0,5 • B = B • g^t ofwel g^t = 0,5.
Nee maar: B valt weg, dus deze laatste vergelijking krijgen we altijd, wat B ook is. Dat betekent dat de halveringstijd alleen afhangt van g:

halveringstijd vinden: los op g^t= 0,5

En wat we nu voor halveringstijden hebben gevonden geldt ook voor allerlei "andere tijden":

• verdubbelingtijd: g^t = 2
• verdrievoudigingstijd: g^t = 3
• tot-twintig-procent-terugbreng-tijd: g^t = 0,2
• met-twintig-procent-verminder-tijd: g^t = 0,8
• enz.

OPGAVEN

Bereken de halveringstijd bij de volgende groeifactoren:

g = 0,75

2,41

c. g = 0,998

346,23

g = 0,1

0,301

d. g = 1,05

-14,2

Wat is de groeifactor van een exponentieel proces met halveringstijd 5 ?

≈0,87

Wat is de groeifactor van een exponentieel proces met verdubbelingstijd 12,8?

≈1,056

Wat moet je met de groeifactor van een exponentieel proces doen om de halveringstijd te verdubbelen?

wortel nemen

Het radioactieve isotoop Plutonium (P-239) heeft een halveringstijd van maar liefst 24400 jaar.

Hoe lang duurt het dan totdat de straling van P-239 teruggebracht is tot 10% van de beginhoeveelheid?
Rond je antwoord af op duizenden jaren

81000 jaar

Hoeveel procent neemt de activiteit van P-239 af in 100 jaar?

0,3%

Bij de bouw van een bunker is een betonsoort gebruikt die voor gammastraling een halveringsdikte van 60 mm heeft. Hoe dik moet dit beton zijn opdat hoogstens 1% van de straling wordt doorgelaten?

398,6 mm

In de ochtend van 26 april 1986 veroorzaakten twee explosies in eenheid 4 van Tsjernobyl de volledige vernietiging van de kernreactor. De ontploffingen stuwden grote wolken radioactieve gassen en brokstukken 7 à 9 kilometer de atmosfeer in.

Er kwam een hele cocktail van radionucliden vrij, maar van radiologische betekenis zijn vooral de fissieproducten jodium-131, cesium-134 en cesium-137. Jodium-131 heeft een korte halfwaardetijd, slechts acht dagen, en een grote radiologische impact op korte termijn vanwege zijn invloed op de schildklier. Cesium-134 (halfwaardetijd 2 jaar) en cesium-137 (halfwaardetijd 30 jaar) hebben zwaardere radiologische gevolgen op middellange en lange termijn.

Nu blijven er slechts relatief kleine hoeveelheden cesium-134 over, maar tijdens de eerste twee decennia na 1986, vormde het een grote bijdrage aan de stralingsdosis.

Op sommige plaatsen in de Oekraïne bleek het hooi kort na de kernramp tien keer de toegestane hoeveelheid jodium-131 te bevatten.
Hoeveel dagen moest het hooi bewaard worden voordat het weer aan de koeien gevoerd kon worden?

26,6 dagen

In Duitsland bereikten de cesium-137 niveaus in wilde everzwijnen in 1995 een gemiddelde waarde van 6.800 Bq/kg, meer dan tien keer de Europese limiet van 600 Bq/kg.
Hoe hoog waren de cesium-137 niveaus in deze zwijnen direct na de explosie? Rond je antwoord af op tientallen Bq/kg.

8370 Bq/kg

Medische artikelen, zoals injectiespuiten en naalden, mogen na gebruik niet zomaar weggegooid worden. Ze moeten eerst worden gesteriliseerd. Een ziekenhuis gebruikt hiervoor een Kobalt-60 bron van gammastraling. De bron wordt bewaard in een kluis die bekleed is met lood omdat lood de gammastraling redelijk goed tegenhoudt.
Voor de intensiteit van deze gammastraling in het lood geldt: I(d) = I₀ • 2^-d/1.39
Daarin is I₀de stralingssterkte in het begin (uitgedrukt in Becquerel: Bq), en I(d) de stralingssterkte als de straling d millimeter in het materiaal heeft afgelegd.

Bereken na hoeveel millimeter de stralingssterkte is gehalveerd.

1,39 mm

Bij deze formule hoort een groeifactor van g ≈ 0,61

Bereken met de gegeven formule g in vier decimalen nauwkeurig.

0,6070

Hoeveel procent van de beginstraling komt door de loden wand heen als men 6 mm lood gebruikt?

Het ziekenhuis gebruikt een Kobalt-60 bron die op t = 0 een sterkte van I₀ = 5 • 10¹⁶ Bq heeft.
Kobalt heeft een halfwaardetijd van 5,27 jaar.
De bron moet worden vervangen als de sterkte minder dan 3 • 10¹⁶ Bq is geworden.

Na hoeveel tijd is dat?

3,88 jaar

Volgens de regels van de Warenwet mag in Nederland verkocht melk maximaal 10 colibacteriën (Escherichia coli ) per ml bevatten. Onder goede omstandigheden (kamertemperatuur van 20°C) zal deze bacterie zich elke 20 minuten delen. In de koelkast (5°C) zal dat delen veel langzamer gaan: het kost dan ongeveer 17 uur.
Het blijkt dat elke graad temperatuurverlaging de tijd waarin de bacterie zich deelt met 30% verhoogt.

Toon aan dat dat ongeveer klopt met de gegeven tijden.

Neem aan dat we een pak melk kopen dat precies 10 colibacteriën per ml bevat op het moment dat we het in de koelkast zetten.

Hoe lang zal het dan duren voordat er 1000000 bacteriën per ml aanwezig zullen zijn?

283 uur

Hoeveel lang duurt dat bij kamertemperatuur?

5,54 uur

Examenvraagstuk.

Bij het verteren van voedsel spelen colibacteriën een belangrijke rol. Zij komen voor in de darmen. In laboratoria wordt veel onderzoek gedaan naar de groei van populaties van colibacteriën. Daarbij gebruikt men een kweekvloeistof waarmee men de omstandigheden zoals die in de darmen voorkomen zoveel mogelijk nabootst. Bij constante temperatuur blijken deze populaties exponentieel te groeien. Men meet de verdubbelingstijd (V), dat is de tijd in uren die het experiment moet duren om twee keer zoveel bacteriën te krijgen. Uit waarnemingen blijkt dat V afhangt van de ingestelde temperatuur (T) in graden Celsius. Zie de volgende figuur.

Is de groei van de populatie bij 42ºC sterker dan de groei bij 40ºC? Licht je antwoord toe met behulp van de figuur.

Binnen het temperatuurgebied waarin de waarnemingen zijn gedaan blijkt men het verband tussen T en V redelijk te kunnen benaderen met de formule:

Bereken bij welke temperatuur de groei het sterkst is.

37,5

Bij een experiment voegde men aan de kweekvloeistof een chemisch middel toe om na te gaan of de groei daardoor sterk zou afnemen. Men begon met 242 bacteriën. De temperatuur was constant 35ºC.
Na een uur telde men 1547 bacteriën.

Onderzoek of dit aantal meer dan 10% afwijkt van het aantal dat zonder gebruik van een chemisch middel volgens de formule verwacht had mogen worden.

ja: 18%

10.

Vanaf 1960 wordt jaarlijks gemeten hoe groot de concentratie kooldioxide (CO₂) in de atmosfeer is. Uit die metingen is gebleken dat die concentratie exponentieel toeneemt. Men berekent dat in het jaar 2030 de concentratie CO₂ 380 dpm zal zijn (dpm = volumedelen CO₂ per miljoen volumedelen lucht). In 1990 was die hoeveelheid nog 366 dpm.

Geef een formule voor de CO₂ concentratie als functie van de tijd.
Neem t = 0 in 1960 en als tijdseenheid 10 jaar

356 •1,0094^t

Volgens het rapport van de Club van Rome neemt het energieverbruik per hoofd van de bevolking jaarlijks toe met 7,3%. Daarbovenop groeit de wereldbevolking jaarlijks met 5,1%. Volgens het rapport volgt daaruit dat de totale jaarlijkse toename van het energieverbruik 12,4% is.
Een extern deskundige beweert echter dat dat niet klopt, want er is een verdubbelingstijd van 5,7666 jaar gemeten

Leg uit welke groeifactor er zou volgen uit deze verdubbelingstijd en leg ook uit hoe deze groeifactor is af te leiden uit de gegevens van het rapport

1,1277

Door al deze vervuiling stijgt de gemiddelde temperatuur op aarde. In onderstaande tabel staat aangegeven de stijging van de temperatuur (DT) ten opzichte van de temperatuur in 1860

jaar	1880	1890	1920	1960	1970
DT	0,010	0,014	0,038	0,148	0,207

Laat zien dat deze stijging van de temperatuur bij benadering exponentieel verloopt