Groepen in de Vlakke Meetkunde

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
In deze les is de verzameling die we bestuderen die van de punten in het platte vlak. Die kun je door twee coördinaten (x, y) weergeven. We zullen in dat platte vlak groepen van afbeeldingen bekijken die bepaalde eigenschappen van die punten en de lijnstukken ertussen (afstanden, hoeken e.d.) onveranderd laten.

Als je een punt als een vector ziet, dan kun je met die vectoren drie verschillende dingen uitvoeren.
       
       

Denk erom dat die eerste twee als resultaat weer een vector hebben, maar dat die derde als resultaat een getal heeft (in dit geval de lengte van de groene en blauwe vectoren met elkaar vermenigvuldigd).

       

Isometrieën.

       
We gaan nu afbeeldingen bekijken die het platte vlak op zichzelf afbeelden (bijecties; één-op-één) met als voorwaarde dat afstanden ongewijzigd blijven. Dus de afstand tussen twee punten A en B is hetzelfde als de afstand tussen hun beeldpunten A' en B'. Zo'n afbeelding heet een isometrie. Als bovendien de oorsprong óók nog op zichzelf wordt afgebeeld, dan heet zo'n afbeelding een orthogonale afbeelding. Verder heet een punt dat op zichzelf wordt afgebeeld (waarvoor dus  A' = A) een dekpunt.

Voorbeelden van isometrieën:
 
Een spiegeling in een lijn l is een isometrie (als de lijn door de oorsprong gaat is het zelfs een orthogonale afbelding)
Een draaiing om een punt is een isometrie (als dat punt de oorsprong is, is het zelfs een orthogonale afbeelding)
Een translatie (verschuiving) is een isometrie, maar nooit een orthogonale afbeelding.


Stelling:

       
Elke isometrie is te schrijven als het product van:
•  een translatie,
•  een rotatie om de oorsprong,
•  een spiegeling in de x-as (eventueel)
       
Bewijs in drie stappen.
(we hebben het eventjes niet over het "flauwe" geval van de identiteit: de afbeelding waarbij er niets gebeurt)

Stap 1.
Als een isometrie precies twee dekpunten heeft, dan is het een spiegeling in de lijn door die twee punten.
Dat kun je in het plaatje hiernaast zien. Als A en B dekpunten zijn, dan moeten alle afstanden van andere punten tot A en B gelijk blijven (anders is het geen isometrie). Kies een willekeurig punt P; dan moet dus gelden  AP = AP', dus moet P' op de blauwe cirkel hiernaast liggen.
Maar ook moet gelden dat  BP' = BP  dus moet P' ook op de rode cirkel hiernaast liggen. Omdat P' niet gelijk kan zijn aan P  (er waren immers maar 2 dekpunten) moet P' wel het punt dat hiernaast is getekend zijn. Dat is inderdaad P gespiegeld in de lijn door A en B.

 
Stap 2.
Een orthogonale afbeelding is een rotatie, eventueel gevolgd door een spiegeling in de x-as.
 

 

Kies een willekeurig punt A op de x-as.
Kies een willekeurige orthogonale afbeelding  f  waardoor A wordt afgebeeld op A'.
Bij een orthogonale afbeelding blijft O op zijn plaats, en omdat afstanden gelijk moeten blijven moet dus gelden  OA = OA'. Dat betekent dat A' ergens op een cirkel met middelpunt O en straal OA moet liggen (zie hiernaast)
Maar dat betekent dat A' uit A te krijgen is door één of andere rotatie R om de oorsprong:  A' = R(A)
f(
A) = A' = R(A) pas daar nu de inverse rotatie op toe:  R-1o f(A) = R-1(R(A)) = A
Dat betekent dat R-1f  twee dekpunten heeft: A en de oorsprong, dus volgens stap 1 hierboven  is R-1f  een spiegeling in de x-as  (of de identiteit; in dat geval is f gewoon de rotatie R).
Dan is  RR-1f  = f  een spiegeling in de x-as gevolgd door een rotatie R.
       
Stap 3.

Neem nu een nieuwe willekeurige isometrie f en noem het beeld van de oorsprong  f(O) = O'.
Neem nu de translatie T over vector OO'
T-1 olaat dan O op zijn plaats, dus is een orthogonale afbeelding, dus is volgens stap 2 hierboven te schrijven als een rotatie, gevolgd door evt een spiegeling in de x-as.
Dan is  T o (T-1 o f) = f  dus een rotatie gevolgd door evt een spiegeling in de x-as plus een translatie.

q.e.d. 

samengevat:

Elke isometrie  f  is te schrijven als  f  =  T o φ
(met T een translatie en φ
een orthogonale afbeelding)
(φ is weer te schrijven als een rotatie plus evt een spiegeling in de x-as)

       
Volgende Stelling:

Elke isometrie f  is maar op één manier als  T o φ   te schrijven

       
Bewijs (uit het ongerijmde)
Stel dat er verschillende T en φ zijn zodat  T1 o φ1 = T2 o φ2
Omdat T en φ bijecties zijn bestaan hun inversen, dus mogen we daar wel mee vermenigvuldigen:
Eerst met T2-1 vermenigvuldigen  T2-1o T1 o φ1 = T2-1 o T2 o φ2 = φ2
En dan met  φ1-1 vermenigvuldigen:  T2-1 o T1 o φ1 o φ1-1 =  T2-1 o T1 = φ2 o φ1-1
Links staat een translatie, rechts een orthogonale afbeelding. Maar de enige translatie die gelijk kan zijn aan een orthogonale afbeelding is de translatie met vector NUL:  de identiteit.
Rechts en links hierboven staat dus twee keer de identiteit!!
Maar als  T2-1 o T1 en φ2 o φ1-1 de identiteit zijn, dan is  T2 = T1  en  φ1 = φ2.

q.e.d.
       
Een belangrijk gevolg van het feit dat elke isometrie als T o f  te schrijven is, is dat elke isometrie een bijectie is, immers T en φ zijn beiden bijecties, dus hun samenstelling ook. Toen we begonnen over isometrieën stelden we al dat het bijecties zijn, maar we zien nu dat dat geen eis is, maar dat dat gewoon volgt uit hun eigenschappen.

En dan nu waar het eigenlijk allemaal om ging:
 

De verzameling van alle isometrieën vormt een groep I
De verzameling van orthogonale afbeeldingen is daar een ondergroep O van.

       
Bewijs:
•  we zagen al dat een isometrie is opgebouwd uit bijecties, dus zelf ook een bijectie is.
•  de identiteit is een isometrie en fungeert als eenheidselement e
• 
als een bijectie afstanden bewaart doet zijn inverse dat ook, dus is dat ook een isometrie.
(Het bewijs voor O als ondergroep gaat precies zo)
q.e.d.
       
De ondergroep O van de orthogonale afbeeldingen.

Zoals we al zagen is elke orthogonale afbeelding weer te geven door een rotatie plus eventueel een spiegeling in de x-as.
We kunnen zo'n orthogonale afbeelding in het algemeen schrijven als O =  Rα o Sx  (een draaiing om de oorsprong over een hoek α en een spiegeling in de x-as)
Deze orthogonale afbeeldingen zijn samen eigenlijk niets anders dan de symmetriegroep van de eenheidscirkel. (net zoals we al eerder de symmetriegroepen V4 van de ruit en D4 van het vierkant vonden). Ze vertegenwoordigen alle afbeeldingen waarbij de eenheidscirkel met zijn beeld samenvalt.
Immers wat kun je nou helemaal met zo'n eenheidscirkel doen?  Je kunt hem draaien over een aantal graden (rotatie) of je kunt hem omklappen zodat de oriëntatie verandert (spiegeling).  That's All Folks!
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)