De grazende geit.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
       
Het probleem is simpel: iemand heeft een cirkelvormige weide met straal R meter, en aan een paal aan de rand daarvan zit een geit vast aan een touw.  De vraag is:

   

Hoe lang moet het touw zijn als de geit
de helft van de weide kan bereiken?
   
Als we er even een meer wiskundig plaatje van maken dan ziet dat er uit als hieronder:
   

       
Het touw zit vast in P, het middelpunt van de weide is M en het touw heeft lengte x.
Als je het deel dat de geit kan bereiken in een een helft boven lijn MP en een helft onder MP verdeelt, dan zie je waarschijnlijk wel dat dat deel boven MP bestaat uit twee cirkelsegmenten min een driehoek:
       

       
Het blauwe cirkelsegment heeft hoek α, dus oppervlakte  α/2π • πx2
Op dezelfde manier heeft het gele cirkelsegment hoek β dus oppervlakte  β/2π • πR2
De groene driehoek heeft oppervlakte  1/2Rh
Als de rode oppervlakte een kwart van de weide moet zijn (de helft van de helft), dan moet dus gelden:
 α/2π • πx2 + β/2π • πR2 -1/2Rh = 1/4πR2
Vereenvoudigen en met twee vermenigvuldigen geeft dan  αx2 + βR2 - Rh = 1/2πR2   ........(1)
       
 
We richten ons nu op driehoek MPQ.
Omdat die gelijkbenig is met tophoek β en de basishoeken a geldt:
Dus is 2α + β = π  dus  α = 1/2(π - β)

Tweemaal Pythagoras:   h2 + (R - y)2 = x2  en  h2 + y2 = R2
De eerste uitschrijven en dan de tweede er in substitueren:
x2 = h2 + R2 - 2Ry + y2 = (h2 + y2) + R2 - 2Ry =  R2 + R2 - 2Ry = 2R2 - 2Ry

Deze twee resultaten kun je nu invullen in vergelijking (1):
1/2(π - β)•(2R2 - 2Ry) + βR2 - Rh = 1/2πR2

       
Alles delen door R  geeft  (π - β)•(R - y) + βR - h = 1/2πR
Maar h = Rsinβ en y = Rcosβ, (dus dat geeft:    (π - β)•(R - Rcosβ) + βR - Rsinβ = 1/2πR
Nog maar een keer door R delen dan:  (π - β)•(1 - cosβ) + β - sinβ = 1/2π
⇒ π - πcosβ - β + βcosβ + β - sinβ = 1/2π
⇒ cosβ • (π - β) + sinβ = 1/2π

Dat is een vergelijking waaruit we (numeriek) β kunnen oplossen. Mijn GR gaf  β ≈ 1,2358969
Als je in de gelijkbenige driehoek MPQ de hoogtelijn vanuit hoekpunt M tekent dan zie je dat  sin(1/2β) = 0,5x/R 
dus  x = 2Rsin(1/2β)  en het touw heeft dan lengte x ≈ 1,159•R.  

Mooi, dat weten we dan maar weer.....
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)