Functies als Machtsreeksen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
In de vorige les hebben we gezien dat een machtreeks een functie is. Deze les gaan we bekijken wélke functie bij wélke machtsreeks hoort. Misschien is het handig te beginnen bij de simpelste machtsreeks die er is:  die met a = 0 en cn = 1. Dat is dus de reeks  Σ1 • (x - 0)n  = Σxn 

Maar die ken je hopelijk al!

Het is de aloude meetkundige reeks, en daar hadden we ooit een formule voor de som voor gemaakt.
Dat was Sn = (volgende - eerste)/(reden - 1), en nu moeten we hier de som van een oneindig aantal termen nemen.
Als geldt dat -1 <  r < 1 dan wordt de "volgende" gelijk aan nul, en dan geeft dat de formule  S = c/(1 - r
Dus die allerallersimpelste machtsreeks levert op  (voor -1 < x < 1):
       
       
Zie je wat er is gebeurd? Zie je het??
We hebben de functie f(x) = 1/(1 - x)  geschreven als een machtsreeks.
Het klopt echt, kijk maar: de blauwe gaat steeds meer op de rode lijken.
       

       
Het voordeel van een functie schrijven als machtsreeks is dat allerlei bewerkingen met zo'n machtreeks veel makkelijker zijn. Ik denk dan vooral aan dingen als differentiëren en integreren.

Op zoek naar meer functies.

Nou we deze ene functie eenmaal kennen, kunnen we dat feit gebruiken om ook andere functies (die er een beetje op lijken) als machtreeks te gaan schrijven. Door wat handige substituties zijn veel functies ongeveer in de vorm 1/(1 - x) te schrijven.
Kijk maar hoe het werkt.
       
Voorbeeld 1.      
gewoon die x vervangen door x2. Denk erom dat het convergentiegebied dan is  -1 < x2 < 1
       
Voorbeeld 2.      
       
Voorbeeld 3.      
       
Voorbeeld 4.      
 
Voorbeeld 5.
(In deze laatste staat het antwoord er trouwens niet echt als macht van x).
 
Differentiëren en Integreren.
       
De afgeleide van 1/(1 - x) is de functie 1/(1 - x)2 dus om daar de machtreeks van te krijgen kun je de machtreeks van 1/(1 - x) gewoon differentiëren. Dat kan term voor term (het doet er niet toe dat er oneindig veel termen zijn).
Daar staat dus  1/(1 - x)2  = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ...
       
De primitieve van 1/(1 - x)  is de functie  -ln(1 - x), dus om daar een machtreeks van te maken kun je de machtreeks van 1/(1 - x) gewoon term voor term primitiveren. Natuurlijk vergeet je niet er een integratieconstante bij te zetten!
Die constante C kun je vinden door een willekeurige x in te vullen. x = 0 geeft  ln(1 - x) = 0 en dat vult makkelijk in. Dat geeft eenvoudig C = 0.
       
     
  OPGAVEN
     
1. Geef reeksontwikkelingen voor de volgende functies:
     
  a.
     
  b.
     
  c.
     
  d.
     
2. Geef reeksontwikkelingen voor de volgende functies:
     
  a.
     
  b.
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)