exponentiele formule

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een standaardformule voor vermenigvuldig-systemen.

Eerst even wat namen.....:

• Het vermenigvuldiggetal noemen we voortaan de GROEIFACTOR: g

• Een vermenigvuldig-systeem noemen we voortaan EXPONENTIEEL

• De waarde bij x = 0 noemen we voortaan de BEGINWAARDE: B

B en g bepalen helemaal hoe de getallen eruit zullen zien. Immers B zegt waar je moet beginnen (welke y hoort bij x = 0) en g zegt hoe elke y ontstaat uit de vorige (waar je mee moet vermenigvuldigen)
Neem bijvoorbeeld B = 10 en g = 2,3 dan vinden we:

y(0) = B = 10,
y(1) = 10 • 2,3 = 23
y(2) = 23 • 2,3 = 52,9
y(3) = 52,9 • 2,3 = 121,67
enz.

Een exponentieel proces heeft B = 8 en g = 1,2. Bereken welke y er hoort bij x = 4

16,5888

Een exponentieel proces heeft B = -4 en g = 0,8. Bereken welke y er hoort bij x = 6

-1,048576

Een exponentieel proces heeft B = 100 en g = 0,9. Bereken welke y er hoort bij x = 14.

≈22,8768

Die laatste is al wel vrij veel werk. Kan dat niet handiger?
Kunnen we ook in één keer een y bij een bepaalde x uitrekenen zonder alle tussenliggende waarden te moeten berekenen?
Dat zou een boel tijd schelen.
Kijk naar het laatste voorbeeld (vraag 1c).
Daar hoort deze tabel bij (de y-waarden zijn afgerond):

Als we inderdaad de tussenliggende getallen in deze tabel weglaten, dan krijgen we:

Daaruit is te zien dat 100 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 = 23
en daar staat 14 keer 0,9.
Dan geldt dus 100 • 0,9¹⁴ = 23

BINGO!

Zo kun je elke y uitrekenen.
We hebben gebruikt 23 = y en 100 = B en 0,9 = g en 14 = x
Met letters krijgen we de basisformule:

y = B • g^x

Een erg belangrijke formule. De basisformule voor exponentiële processen.

Het vinden van B.

Je kunt B natuurlijk vinden door te kijken hoe groot de waarde van y is bij x = 0.

Maar dan moet je die wel weten!

Als die waarde onbekend is, kun je B het handigst vinden door in de formule y = B • g^x waarin g al bekend is gewoon een punt (x, y) in te vullen. Dan is B de enige onbekende en kun je hem berekenen.

B berekenen ⇒ punt invullen!

Voorbeeld: Geef de exponentiële formule die hoort bij de volgende tabel;

x	120	121	122	123
y	5,3826	5,4902	5,6000	5,7120

De factoren zijn achtereenvolgens ^5,4902/_5,3826 = 1,02 en   ^5,6000/_5,4902 = 1,02 en   ^5,7120/_5,6000 = 1,02
De groeifactor is dus g = 1,02 en de formule is y = B • 1,02^x
Vul bijv. (120, 5,3826) in:
5,3826 = B • 1,02¹²⁰
⇒ 5,3826 = B • 10,765
⇒ B = ^5,3826/_10,7652 = 0,5
De formule is dus y = 0,5 • 1,02^x

Geef een exponentiële formule die hoort bij de volgende tabellen:

Tabel A
x	2	3	4	5	6
y	3,60	4,32	5,18	6,22	7,46

Tabel B
x	5	6	7	8	9
y	0,163	0,131	0,105	0,084	0,067

2,5 • 1,2^x

0,5 • 0,8^x

Tabel C
x	-6	-5	-4	-3	-2
y	0,046	0,094	0,188	0,375	0,750

Tabel D
x	1	2	3	4	5
y	0,03	0,09	0,27	0,81	2,43

3 • 2^x

0.01 • 3^x

Geef een exponentiële formule die hoort bij de volgende grafieken

4 • 0,5^x2 • 1,5^x

Geef een exponentiële formule die hoort bij de volgende verhaaltjes:

Ik heb nu een bedrag van €5400 op de bank staan en krijg daar elk jaar 6% rente over.

5400 • 1,06^x

Een schimmel heeft nu een oppervlakte van 30 cm² maar die verdubbelt elk jaar.

30 • 2^x

De oppervlakte van de serie vierkanten hiernaast wordt steeds kleiner.

64 • 0,5^x

Karel laat een bal vallen van 130 cm hoogte. De bal stuitert en komt bij het stuiteren elke keer terug tot 75% van de vorige hoogte.

30 • 0,75^x

In een aquarium van 600 liter is een potje met 40 ml inkt gevallen, dat zich gelijkmatig door het hele water verspreidt. Ik schep er met een emmer 10 liter uit en vervang dat door schoon water. Dat doe ik n keer.

40 • (¹/₆₀)^x

examenopgave HAVO wiskunde A, 1993

Voor de kust van Spanje worden in zee mosselen gekweekt. Deze mosselen hangen aan verticale touwen die op hun beurt weer zijn vastgemaakt aan drijvende kabels. Zie figuur.

Deze kabels liggen naast elkaar, loodrecht op de stroomrichting van het zeewater (zie figuur hieronder). Dat zeewater stroomt steeds even snel en in dezelfde richting. Een mosselkweker zal proberen zoveel mogelijk kabels naast elkaar te leggen. Maar hij moet er wel voor zorgen dat alle mosselen voldoende voedsel krijgen. De mosselen filteren voedseldeeltjes uit het stromende water. Bij het passeren van iedere kabel verliest het water dus voedsel.
n_k is de hoeveelheid voedsel n_a het passeren van kabel k.
n₀ = 350 (mg/l) is de hoeveelheid voedsel voor het passeren van de eerste kabel.
Voor de hoeveelheid voedsel na kabel k geldt de formule n_k = 0,993 • n_k_{- 1}.

Elke mossel heeft per uur 200 mg voedsel nodig om in leven te blijven. Een mossel kan per uur het voedsel uit 2,4 liter zeewater eten.

Laat met een berekening zien dat de mosselen van de 150-ste kabel nog voldoende voedsel hebben

122,9

De mosselfarm mag het milieu niet te zwaar belasten. Daarom geldt er een milieu-eis: het zeewater moet na het passeren van de laatste kabel nog minstens een kwart van de oorspronkelijke hoeveelheid voedsel bevatten

Hoeveel kabels mag men maximaal naast elkaar leggen opdat alle mosselen nog voldoende voedsel hebben en ook aan de milieu-eis wordt voldaan? Licht je antwoord toe.

197

Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2006

Bij het wielrennen zie je soms dat wielen van fietsen dicht zijn. Op het normale wiel met spaken is dan een plastic schijf aangebracht.
Op een racefiets met dichte wielen kun je harder fietsen dan op een racefiets met open wielen: de luchtwrijving is bij een dicht wiel minder dan bij een open wiel. Dat is onderzocht op de volgende manier:
Men laat een dicht wiel en een open wiel vrij draaien. Door de luchtwrijving gaan ze steeds langzamer draaien. Met behulp van een fietscomputer wordt de snelheid van de wielen gemeten.

Een dicht wiel en een open wiel krijgen een beginsnelheid van 20 km/uur. We laten de wielen drie minuten draaien. Hierbij passen de volgende formules: V_dicht = 20 • 0,9920^t en V_open = 20 • 0,9879^t
In beide formules is t in seconden en V in kilometer per uur.
In onderstaande figuur zijn de grafieken getekend van deze formules voor de eerste twee minuten.

Op een zeker moment is de snelheid van een wiel half zo groot geworden. Bij het dichte wiel is dat wat later dan bij het open wiel. In de figuur is met een pijl aangegeven hoe groot het verschil in de tijd is.

Bereken met behulp van de formules dit verschil in tijd in seconden.

29,4

Beide wielen krijgen op hetzelfde moment een snelheid van 20 km/uur en we laten ze weer drie minuten draaien. Het dichte wiel heeft steeds een hogere snelheid.

Bereken met behulp van de formules het grootste verschil in snelheid tussen de twee wielen.

3,04 km/uur