Economische Modellen

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
In deze les gaan we bekijken hoe vraag, aanbod en prijs van elkaar afhangen en uit elkaar te berekenen zijn.
We beginnen eerst met een paar eenvoudige aannames:
       
1. Als de prijs ergens van toeneemt, dan is het minder aantrekkelijk om dat spul te kopen, dus zal de vraag ernaar afnemen.
2. Als de prijs ergens van toeneemt, dan wil iedereen dat wel verkopen (er is immers veel geld mee te verdienen): het aanbod zal toenemen.
3. Alles wat wordt aangeboden wordt verkocht.
OK, een beetje een rare voorwaarde misschien?
We gaan er van uit dat de aanbieders erg slim zijn en precies de goede hoeveelheid goederen aanbieden. Niet teveel en niet te weinig. De voorwaarde betekent eigenlijk dat er niets wordt opgepot of weggegooid.
4. Vragers en aanbieders reageren direct op een prijsverandering. Het kost ze geen tijd.
Dus als de prijs ergens van veranderd wordt, dan veranderen het aanbod en de vraag ook instantaan mee. Een model waarvoor dit geldt heet een statisch model.
Nou is dat natuurlijk niet erg realistisch. De vragers zullen nog wel vrij direct kunnen reageren op de prijs (mensen kopen vrij direct spullen waar ze het goedkoopst zijn, namelijk wanneer ze het door krijgen), maar voor de aanbieders zal dat een stuk moeilijker zijn.
       
In het vervolg noemen we de aangeboden en gevraagde  hoeveelheden Qa en Qv , en de prijs noemen we p.
De aangeboden en gevraagde hoeveelheden op de markt hangen beiden af van de prijs p.

Voorbeeldmodel.
Stel dat bijvoorbeeld geldt:  Qa = p - 30  en  Qv = -1,2p + 120
Als alles verkocht wordt, is er een evenwicht, en in die evenwichtssituatie zal dus gelden Qa = Qv
Hieronder zie je de grafieken van Qa en Qv als functie van p. De evenwichtssituatie is uiteraard het snijpunt van beide grafieken.

       

       
(Ga zelf maar na dat er hier een evenwicht zal optreden voor p ≈ 68,18).
       
Dynamisch maken.
       
Om ons model dynamisch te maken verandert voorwaarde 4. De andere drie blijven gelden.
We gaan er van uit dat de aanbieders niet meer direct op een prijsverandering kunnen reageren, maar dat dat enige tijd kost.

Als Qa en Qv  en p van de tijd t  afhangen zullen we ze voortaan maar noteren als   Qat en Qvt  en pt .  Lijkt me handig....

Dat met vertraging reageren betekent dat Qat niet van pt afhangt maar van pt-1. De aanbieders op een bepaald moment reageren op de prijs een periode ervσσr. Ze kunnen nou eenmaal niet sneller....

Voorwaarde 3 blijft wel gelden, en dat betekent dat op elk moment geldt dat  Qat = Qvt

Dan ziet het voorbeeldmodel hierboven er uit als:
       
Qat = pt-1 - 30   de aanbieders reageren vertraagd
Qat = Qvt   voorwaarde 3.

Qvt = -1,2pt + 120

   de vragers reageren direct.
       
 
Dit model geeft de volgende kettingreactie.

Stel dat de prijs op t = 0 gelijk is aan p0 = 40
Dan is Qa1 = p0 - 30 = 40 - 30 = 10   (eerste vergelijking)
Dan is Qv1 = Qa1 = 10    (tweede vergelijking)
Dan is  p1 = (10 - 120)/-1,2 = 91,67   (derde vergelijking)
Dan is  Qa2 = p1 - 30 = 61,67
Dan is  Qv2 = Qa2 = 61,67
Dan is  p2 = (61,67 - 120)/-1,2 = 48,61
Dan is  Qa3 = .........enz.

 
In een webgrafiek ziet het eruit als hiernaast.

voorwaarde 1:  ga van een p omhoog naar de Qa lijn
voorwaarde 2:  ga horizontaal naar de Qv lijn (dan blijft Q immers gelijk)
voorwaarde 3:  daarbij vind je op de p-as de volgende prijs.

Je ziet  in de figuur hiernaast dat de situatie zal eindigen in het evenwichtspunt dat hetzelfde is als bij het statische model.



 

       
Een directe vergelijking voor pn
       
Als je in de tweede vergelijking  Qat = Qvt  in het voorbeeld hierboven beide Q-waarden vervangt door de vergelijkingen Qat = pt-1 - 30  en  Qvt = -1,2pt + 120  dan geeft dat  pt-1 - 30 = -1,2pt + 120.
Dat is eenvoudig te herleiden tot   pt = -5/6pt-1 + 125
Dat is een lineaire recursievergelijking voor pt en in deze les hebben al besproken hoe je daar een directe vergelijking van kunt maken. In dit geval geeft dat  (met p0 = 40):

       
Hiernaast zie je welke waarden dat in de GR oplevert. Klopt inderdaad met de eerder gevonden waarden. Rechts zie je dat de evenwichtswaarde heel goed  ongeveer 68,18 kan zijn.
Dat kun je natuurlijk ook vinden door gewoon n = ₯  in de directe formule in te vullen.
Dat geeft de exacte waarde  p = 125 • 1/(15/6) = 750/11

       
         
  OPGAVEN
         
1. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2002.

Seizoensgebonden fruit en groenten zijn maar een  beperkt deel van het jaar verkrijgbaar in de winkel. Aardbeien zijn daar een voorbeeld van. De prijs van aardbeien is afhankelijk van vraag en aanbod. Als er weinig aanbod is zullen liefhebbers van aardbeien meer willen betalen voor aardbeien: de prijs stijgt. Die hogere prijs zet aardbeientelers ertoe aan om een jaar later meer aardbeien op de markt te brengen: het aanbod is dan hoger. Dat leidt ertoe dat de prijs weer zakt. En zo zet dit proces zich voort.

Dit proces kan in een wiskundig model worden weergegeven:

Qvt= -2Pt + 40              (vraagvergelijking)
Qat = c • Pt - 1 + d         (aanbodvergelijking)
Qvt = Qat                      (evenwichtsvergelijking)

Hierin zijn Qtv en  Qta de gevraagde, respectievelijk de aangeboden hoeveelheden in het jaar t, uitgedrukt in miljoenen kg. Pt is de prijs per kg in jaar t, uitgedrukt in euro.

Neem eerst c = 1 en d = 10. Verder is gegeven dat  P0 = 4
         
  a. Bereken P2.    
         
  In de figuur hieronder zijn de grafieken getekend die bij het beschreven model horen (met c = 1 en d = 10). In deze figuur staat de prijs langs de horizontale as en de hoeveelheid langs de verticale as.
         
 

         
  b. Teken in deze figuur de webgrafiek in het model van P0 tot en met P3.
Geef daarbij P1, P2 en P3 op de P-as aan.
         
  Het model zal uiteindelijk in de evenwichtsprijs stabiliseren. Bij die evenwichtsprijs hoort een evenwichtshoeveelheid.
         
  c. Bereken de evenwichtsprijs en de bijbehorende evenwichtshoeveelheid.
       

P=10,
20 miljoen kg
  In de Europese Unie wil men maatregelen nemen om het aanbod beter te regelen. Doel van deze maatregelen is dat aardbeientelers op den duur een betere prijs krijgen voor hun product. Men streeft naar een evenwichtsprijs van 12 euro. Dit betekent voor het model dat de vraagvergelijking en de evenwichtsvergelijking niet veranderen. De aanbodvergelijking verandert echter wel: c en d hoeven niet meer gelijk te zijn aan 1 respectievelijk 10.

In het jaar dat de maatregelen van kracht worden is P = 6. Dit leidt in het jaar erop tot Qa = 13.
Neem aan dat de evenwichtsprijs van 12 euro inderdaad bereikt gaat worden.
         
  d. Stel de nieuwe aanbodvergelijking op.
         
         
2. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2006

In de macro-economie geven economen met wiskundige modellen het verband aan tussen grootheden als:
Yt = nationale inkomen op tijdstip t
Ct = consumptie op tijdstip t
It = investeringen op tijdstip t.

Een voorbeeld is het volgende model dat bestaat uit drie vergelijkingen:

Voor t = 1, 2, 3,... geldt:
• Yt = Ct + It
• Ct = 0,8 • Yt - 1 + 20
• It = 10

Neem Y0 = 40
         
  a. Bereken Y1 en Y2 met behulp van bovenstaande formules.
       

62 en 79,6
  We spreken van een evenwichtsinkomen als de waarde van Yt niet verandert op opeenvolgende tijdstippen.

Uit de drie gegeven formules kunnen we de formule  Yt = 0,8 • Yt - 1 + 30 afleiden. Met behulp van deze formule kunnen we het evenwichtsinkomen berekenen.
         
  b. Bereken het evenwichtsinkomen met behulp van Yt = 0,8 • Yt - 1 + 30
       

150
  Bovenstaand model is een voorbeeld van een algemener model:
• Yt = Ct + It
• Ct = 0,8 • Yt - 1 + 20
• It = p

Het evenwichtsinkomen hangt bij dit model af van de waarde van p.
         
  c. Toon aan dat het evenwichtsinkomen van het nationale inkomen in dit model gelijk is aan 100 + 5p.
         
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)