discriminant


De Discriminant.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Laten we nog even samenvatten wat we tot nu toe hebben gevonden over kwadratische vergelijkingen:

Schrijf de vergelijking eerst in de vorm ax² + bx + c = 0 Dan zijn er twee oplossingen:

Geen vuiltje aan de lucht! Even invullen en klaar! Twee antwoorden. Volgende som.

Helaas.....

Er kan iets fout gaan. Neem bijvoorbeeld de vergelijking 3x² + 5x + 8 = 0
dan is b² - 4ac = 5² - 4•3•8 = -71. En √(-71) kun je niet berekenen want je kunt niet de wortel uit een negatief getal trekken. Kortom; altijd als b² - 4ac < 0 dan geeft de ABC-formule geen oplossingen!

En ook als b² - 4ac precies gelijk is aan nul is er iets aparts aan de hand: de bovenstaande twee oplossingen geven het zelfde antwoord, immers er staat in de ene dan +√0 en in de andere -√0 maar dat is allebei toch nul.
Dus als b² - 4ac = 0 dan is er precies één oplossing van de vergelijking.

Die b² - 4ac bepaalt (determineert) dus eigenlijk hoeveel oplossingen een kwadratische vergelijking heeft. Hij heet daarom de DISCRIMINANT van de vergelijking. We gebruiken ervoor de letter D.
Samengevat:

Discriminant = D = b² - 4ac
D > 0 : twee oplossingen
D = 0 : één oplossing
D < 0 : geen oplossingen

Los op:

3x² + 6x + 6 = 0

geen opl.

(x + 2)(x + 3) = x

geen opl.

x² - 5x + 8 = 0

geen opl.

x² + x = -0,25

-¹/₂

8x² = 2x + 5

¹/₈ ± ¹/₈√41

x(x - 5) = 24

-3 en 8

12x² = 9x - 4

geen opl.

x² - 10x + 50 = 10x - x²

Iemand beweert: "Als a en c tegengesteld van teken zijn, dan zijn er altijd twee oplossingen"
Leg uit of dat inderdaad altijd zo is.

Iemand anders beweert: ""Als er twee oplossingen zijn dan zijn a en c verschillend van teken"
Leg uit of dat inderdaad zo is.

Wat betekent dat voor een probleem?

Flauwe opmerking: Dat hangt ervan af wat we aan het uitrekenen zijn!
Meestal komt een kwadratische vergelijking tevoorschijn als we snijpunten van twee grafieken aan het berekenen zijn of snijpunten met de x-as van een parabool:

geval A: de nulpunten van een parabool.

De nulpunten van een parabool zijn de x-coördinaten van de snijpunten met de x-as. Die vinden we door de formule van een parabool gelijk aan nul te tellen, dus dat geeft een kwadratische vergelijking.
• Als van die vergelijking D > 0 dan heeft de parabool dus twee snijpunten met de x-as.
• Als D = 0 dan is er één snijpunt met de x-as (hij ligt tegen de x-as aan, ofwel hij raakt de x-as.
• Als D < 0 dan heeft de parabool helemaal geen snijpunten met de x-as, dus dan ligt hij er in zijn geheel boven of onder.

Als we verder bedenken dat het getal a dat voor het kwadraat staat bepaalt of we te maken hebben met een dalparabool (a > 0) of een bergparabool (a < 0) dan hebben we al direct een aardig idee over de ligging van de parabool.
In de volgende figuur zie je zes mogelijkheden systematisch gerangschikt.

geval B: de snijpunten van twee grafieken.

Ook als je twee grafieken met elkaar snijdt (bijvoorbeeld een parabool met een rechte lijn of twee parabolen met elkaar) krijg je een kwadratische vergelijking. Die moet je dan eerst op nul herleiden, en ook dan kun je van de resterende vergelijking de discriminant uitrekenen. Bedenk dat elke x die je vindt de x-coördinaat van een snijpunt is.
• Als D > 0 zijn er twee oplossingen dus ook twee snijpunten
• Als D = 0 is er één oplossing en dus ook één snijpunt. De grafieken raken elkaar dan meestal.
• Als D < 0 zijn er geen oplossingen dus ook geen snijpunten.

De volgende figuur verduidelijkt één en ander.

Hoeveel snijpunten hebben de volgende grafieken?

De lijn y = 2x - 4 en de parabool y = 4x² + 3x - 6

twee

De parabolen y = 5x² + 200x + 700
en y = 38x - 4x² - 29

één

De parabool y = 2x² - 11x + 4 en de lijn y = -12

geen

Op tijdstip t = 0 is de situatie op een autoweg als volgt:

Auto A rijdt met een snelheid van 144 km/uur, maar is aan het afremmen omdat hij vóór zich een andere auto ziet. Voor de afstand van de voorkant van zijn auto tot het punt waar hij zich nu bevindt, laten we het punt P noemen, geldt de formule S(t) = 40t - t²
Die andere auto, auto B rijdt op een afstand van 60 meter vóór auto A met een snelheid van 72 km/uur, maar is aan het optrekken. Voor de afstand van de achterkant van zijn auto tot P geldt S(t) = 0,5t² + 20t + 60

Onderzoek of de auto's een botsing zullen krijgen.

Gegeven zijn de parabolen: y = x² - 4x + 5 en y = 2x - 2x² + 2

Onderzoek of deze twee parabolen elkaar raken of niet.

Olympiadevraagstuk.

Als ax² + 2bx + c = 0 twee gelijke oplossingen heeft, dan is het rijtje a - b - c een meetkundig rijtje.
(dat betekent dat tussen a naar b dezelfde vermenigvuldigingsfactor zit als tussen b en c)
Bewijs dat!