Eerste orde, tweede graad.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
In het algemeen zien deze vergelijkingen er uit als  dy/dx = f(x) y2 + g(x) y + h(x)

We bekijken hier alleen het geval dat  f(x) = A en  g(x) = B en  h(x) = 0. Daarin zijn A en B dus constanten en niet afhankelijk van x.  Je ziet dat dit een homogene vergelijking is. Dan zien de differentiaalvergelijkingen er uit als:
   

dy/dx = A y2 + B y

   
Helaas kunnen we deze homogene vergelijking niet oplossen door de variabelen te scheiden. Probeer het maar; het lukt niet.
Gelukkig hebben we in deze gevallen nog een tweede wiskundige tovertruc achter de hand, en dat is de aloude substitutie.

Stel dat we y(x) vervangen door 1/u(x)
Omdat  1/u = u-1  is de afgeleide daarvan  -u-2 = -1/u2
Met de kettingregel vind je dan voor de afgeleide van y(x):

Met differentialen kun je het ook z zien:

   
Als je nou in bovenstaande differentiaalvergelijking deze dy/dx en alle y vervangt door die u dan geeft dat:

En die laatste is een oude bekende: een differentiaalvergelijking van de eerste orde en de eerste graad.
Dat ging met die particuliere oplossing en met de oplossing van de homogene vergelijking, weet je nog?
Als particuliere oplossing proberen we een rechte lijn: 

Stel dat u = ax + b.  Dan geldt   a = -A - B(ax + b).
Dat geeft  0 = -Bax - A - Bb - a
Als de x weg moet vallen dan moet gelden a
= 0, en als je dat invult vind je  0 = -A - Bb  ofwel  b = -A/B
De particuliere oplossing is dus  u = -A/B   (controleer maar door in te vullen dat het klopt)

De homogene vergelijking is  du/dx = -Bu en dat geeft: 


(1/u)du = -Bdx   ⇒   ln(u) = -Bx + c1   ⇒  u = c e-Bx

De totale oplossing wordt daarmee:  
u(x) =   c e-Bx - A/B
Maar omdat y = 1/u   geeft dat als uiteindelijke oplossing:

   
Daarin is c een constante die afhangt van de beginvoorwaarden.
   
Logistische groei.  
   
Deze eerste-orde, tweede-graads differentiaalvergelijkingen komen we vooral tegen in de biologie.
Dan stelt y meestal de hoeveelheid beesten in een bepaald gebied voor, en x de tijd.
   
In het begin, als er nog niet zoveel zijn, dan is de toename van het aantal beesten evenredig met het aantal dat er is. "Hoe meer er zijn, hoe meer er bijkomen".
Dat zou de differentiaalvergelijking  dy/dt = A y geven, met A n of andere constante, afhankelijk van de diersoort.
Dat zou exponentile groei geven.
Maar dat kan natuurlijk niet zo blijven. Op den duur zal de groei afnemen,  omdat er gebrek aan voedsel en leefruimte zal komen. In een bepaald gebied is er een bovengrens (G) aan het aantal mogelijke beesten.
   
Dat betekent dat die factor A niet constant is, maar k van y afhangt. Als  y dichter bij G komt. zal A dichter bij nul komen.
A  vervangen door A (G - y)/G  zou een mogelijkheid zijn.......
Als y dan toeneemt van 0 tot G dan neemt die factor af van A tot 0.
Dat geeft de differentiaalvergelijking   dy/dx = A y (G - y)/G    ofwel   dy/dx = Ay - A/G y2 
Dat is inderdaad een differentiaalvergelijking van de vorm zoals we eerder zagen.
De oplossing is (zoals hierboven bewezen):

   
c is een constante, afhankelijk van de beginhoeveelheid, en A een constante, afhankelijk van hoe enthousiast de beesten zich voortplanten. G bepaalt hoe groot de populatie uiteindelijk zal worden.

De grafiek van y(x) geeft altijd de vorm van een S-kromme zoals hiernaast . In het eerste deel zie je de exponentile toename, in het laatste deel het afremmen van de groei naar de grenswaarde G.

   
Hieronder zie je nog een keer onze oplossingsmethode samengevat, en meteen ook de eerste orde eerstegraads oplossingsmethode erbij  (dat is het groene gedeelte, alleen is de particuliere oplossing dan eventueel anders):
   

   
   
  OPGAVEN
   
1. Geef de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijkingen:
       
  a. y'  = 2y2 - y  
     

y = 1/(2 + cex)

  b. dy/dx + y2 =  4y    
     

y = 1/(0,25 + ce-4x)

  c. 2dy + y2dx = ydx  
     

y = 1/(1 + ce-0,5x)

  d. dy/dx = 2xy2 + 4y2  
     

y = -1/(x2 + 4x + c)

  e. y'  = -2y  + 6y2   
     

y = 1/(3 + ce2x)

       
2. In een meer achter een nieuw aangelegde dam zet men 200 karpers uit. Die zullen zich gaan vermenigvuldigen volgens het model:  K' (t) =  0,04K(t)(1 - 0,000125 K(t))
Daarin is K aantal karpers en t de tijd in maanden.

Bereken na hoeveel maanden er voor het eerst meer dan 6000 karpers in het meer zullen zijn.
     

120 maanden

       
3. De Hubbert-curve.

De Amerikaanse geofysicus Hubbert ontdekte in de vorige eeuw dat de totale hoeveelheid olie die in een bepaald gebied gewonnen is, in het begin snel toeneemt (omdat er steeds meer olie gevonden wordt) en later steeds langzamer (omdat er nou eenmaal maar een beperkte hoeveelheid olie aanwezig is).
De totale opgepompte hoeveelheid olie lijkt een S-kromme te volgen.
De bijbehorende differentiaalvergelijking zou gelijk zijn aan 

   dQ/dt = c Q (1 - Q/G)   (Q = hoeveelheid olie, t = tijd in jaren)
Hubbert schreef in 1956 een artikel waarin hij stelde dat voor Amerika zou gelden  c = 0,06 en  Q = 200 Gb (giga-barrel). Tot 1956 was in totaal nog maar 58,8 Gb gewonnen.

De werkelijke hoeveelheid gewonnen olie in 2005 bleek gelijk te zijn aan 176,4 Gb.

Onderzoek hoeveel deze werkelijke hoeveelheid afwijkt van de door Hubbert's model voorspelde hoeveelheid.

     

 0,6%   (177,4 Gb)

       
4. De differentiaalvergelijking  y' = 2y + 4yy  is niet zomaar op te lossen.
Maar als je de substitutie  y = 1/u   gebruikt, dan krijg je een differentiaalvergelijking die wl is op te lossen.
Geef daarmee de oplossingskromme van de oorspronkelijke differentiaalvergelijking die door het punt  (0,1) gaat.
     

y = (-2 + 3ex)-2

       
 

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)