Deelbaarheid.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Soms is het eigenlijk best interessant of je een getal door een ander getal kunt delen.....
Bijvoorbeeld als je een breuk wilt vereenvoudigen. Als je bijvoorbeeld 266/475 wilt vereenvoudigen, dan is het erg interessant om te weten waar je die twee getallen van de teller en de noemer allemaal door kunt delen.
Er zijn een aantal manieren om SNEL te zien of je een getal door een ander getal kunt delen.

Er zijn eigenlijk vier basismethodes om snel deelbaarheid te kunnen bepalen. Die zal ik eerst bespreken, en daarna zullen we zien hoe die zijn toe te passen "in de praktijk".
 
Methode 1:  De laatste cijfers.
   
Neem als voorbeeld deelbaarheid door 4.

Omdat 100 deelbaar is door 4 mogen we van het getal zoveel honderdtallen (= veelvouden van 4)  afhalen als we maar willen. Als we ze allemaal weghalen blijven alleen de laatste twee cijfers over. Zijn die deelbaar door 4, dan is het getal met alle honderdtallen erbij dat dus ook.

Dus is bijvoorbeeld  2336 deelbaar door 4 omdat 36 (laatste 2 cijfers) dat ook is.

Het zelfde verhaal kunnen we houden voor 1000 met de laatste drie cijfers, voor 10000 met de laatste vier cijfers enz.
       
Methode 2:   Haal 10, 100, 1000, 10000, .... van priemgetallen af..
 
Stel dat je wilt weten of een getal deelbaar is door 13  (een priemgetal).
Ga dan kijken wat  je overhoudt als je een aantal keer  13 van 10, 100, 1000 enz. afhaalt.
Probeer zo dicht mogelijk bij nul te komen.
Voor 13 geeft dat bijvoorbeeld:
macht van 10:   aantal keer 13 eraf,
dan blijft over: 
1
10
100
1000
10000
enz.		 1
-3
-4
-1
3
enz.
       
Een willekeurig getal  abcde  kun je schrijven als 10000a + 1000b + 100c + 10d + 1e
Als je daar zo vaak mogelijk 13 afhaalt, dan hou je over (met de tabel):   3a - 1b - 4c - 3d + e
Dus als dit  laatste getal deelbaar door 13 is, dan is het oorspronkelijke dat σσk.

voorbeeld:
Is 13936 deelbaar door 13?
1 · 3 - 3 · 1 - 4 · 9 - 3 · 3 + 1 · 6 =  -39 en dat is deelbaar door 13, dus 13936 σσk.

Denk erom:  deze methode werkt alleen bij deelbaarheid door priemgetallen.
       
Methode 3:  Haal er "slim" wat van af.
       

Als we het laatste cijfer scheiden van de rest kunnen we het getal schrijven als  10x + y, waarbij y dat laatste cijfer is, en x de rest van de cijfers.

Neem deelbaarheid door 17.

Stel dat 10x + y deelbaar is door 17
Dan is 120x + 12y dat ook
Trek er 119x + 17y vanaf (dat zijn beiden veelvouden van 17)
Dan is x – 5y  dus ook deelbaar door 17.


Voorbeeld.
Is  21352 deelbaar door 17?
Als dat zo is, dan is  x - 5y = 2135 - 5 • 2 = 2125 σσk deelbaar door 17
Als dat zo is, dan is  x - 5y = 212 - 5 • 5 =  187 σσk deelbaar door 17.
Als dat zo is, dan is  x - 5y =  18 - 5 • 7  = -17  σσk deelbaar door 17.

Dat is zo, dus het oorspronkelijke getal 21352 ook.
       
Methode 4:  Groepjes maken.
       

Soms kun je proberen met veelvouden van je deelgetal in de buurt van een macht van 10 te komen.
Als dat  lukt dan is dat mooi....
.
Bijvoorbeeld  bij 37 lukt dat, want  37 • 27 = 999

Daarom verdelen we een getal in groepjes van 3 cijfers (achteraan beginnend, en 3 omdat 999 drie cijfers heeft)
Dan schrijf je dat getal namelijk als  1000a + 1000000b + 1000000000c + …..

Stel dat dat getal deelbaar is door 37.

Trek er 999a vanaf;  dat is een 37-voud dus het resultaat blijft deelbaar door 37:
a + 1000000b + 1000000000c  is dan ook deelbaar door 37.

Trek er 999000b + 999b (twee 37-vouden) vanaf en het blijft deelbaar;
a + b + 1000000000c is deelbaar door 37

Trek er  999000000c + 999000c + 999c vanaf (drie 37-vouden) en het blijft deelbaar;
a + b + c is deelbaar door 37.
       
Okι genoeg theorie, nu toepassen maar...
       
       
1. Een getal is deelbaar door 1 als het een getal is.
       
2. Een getal is deelbaar door 2 als het eindigt op 0, 2, 4, 6, 8
Dat is methode 1, want 10 is deelbaar door 2, dus we halen alle tientallen weg, en dan blijft alleen het laatste cijfer over. Als dat door 2 deelbaar is, is het hele getal dat ook.
       
3. Een getal is deelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3.
Dat is methode 2 (alle overblijfsels zijn 1)
       
4. Een getal is deelbaar door 4 als de laatste twee cijfers deelbaar door 4 zijn.
Het bewijs staat bij methode 1.
       
5. Een getal is deelbaar door 5 als het op een 0 of een 5 eindigt.
Dat is methode 1, want 10 is deelbaar door 5, dus we halen alle tientallen weg, en dan blijft alleen het laatste cijfer over. Als dat door 5 deelbaar is, is het hele getal dat ook.
       
6. Het handigst en snelst te controleren is : "Een getal is deelbaar door 6 als het deelbaar is door 3 ιn door 2"
       
7. Daarvoor zijn er een boel manieren.

Ik laat er zes zien:
  7a. Neem de twee meest linkse cijfers. Vermenigvuldig de meest linkse van die twee met 3 en tel het resultaat op bij het andere cijfer. Vervang daarna die twee cijfers door het resultaat van deze optelling.
Herhaal deze stappen vaak genoeg tot je een getal krijgt waarvan je weet of het deelbaar is door 7 of niet. Als het deelbaar is door 7, dan was het oorspronkelijke getal dat ook.

Voorbeeld:
87948 ή 3 • 8 + 7 = 31 ⇒  31948  ⇒  3 • 3 + 1 = 10  ⇒  10948  ⇒  1 • 3 + 0 = 3   ⇒  3948
⇒ 3 • 3 + 9 = 18   ⇒  1848  ⇒  3 • 1 + 8 = 11  ⇒  1148  ⇒  3 • 1 + 1 = 4  ⇒   448  ⇒  3 • 4 + 4 = 16   ⇒ 168  ⇒  3 • 1 = 6 = 9  ⇒  98 ⇒  3 • 9 + 8 = 35  ⇒  35
Dat is deelbaar door 7, dus  87948 ook.

Waarom werkt dit?
 
       
  7b. Noem het getal  (abcdef) en bereken  f + 3e + 2d – c – 3b – 2a
Als dit laatste getal deelbaar is door 7, dan is het oorspronkelijke getal dat ook.
Methode  2 dus...
       
  7c. Verdeel het getal in groepen van zes cijfers, te beginnen rechts.
Tel de getallen die zo ontstaan op en kijk of het resultaat deelbaar is door 7.  Als dat zo is, is het oorspronkelijke getal ook deelbaar door 7.
Methode 4 dus...
       
  7d. Haal het laatste cijfer weg, verdubbel het en trek dat dan af van wat overblijft. Als het resultaat deelbaar is door 7 was het oorspronkelijke getal dat ook.
Methode 3.
Het oorspronkelijke getal is  10x + y
vermenigvuldig met 2, dat verandert de deelbaarheid niet:   20x + 2y
haal er 21x van af (deelbaar door 7, dus verandert de deelbaarheid niet): 2y – x
als 2y – x deelbaar is door 7, dan is x – 2y dat ook
       
  7e. Haal het meest rechtse cijfer weg, vermenigvuldig dat met 5 en tel dat bij het overblijfsel op. Als dit nieuwe getal deelbaar is door 7, was het oorspronkelijke getal dat ook.
Nogmaals methode 3.
Het oorspronkelijke getal is 10x + y. Vermenigvuldig met 5 (verandert de deelbaarheid niet):  50x + 5y

haal er 49x af (deelbaar door 7, dus verandert de deelbaarheid niet):  x + 5y       

       
  7f. Verdeel het getal in groepjes van twee, rechts beginnen.
Schrijf van elk van die getallen op hoe ver ze van het dichtstbijzijnde zevenvoud af liggen. Begin rechts en kijk om en om hoe ver de getallen van het dichtstbijzijnde lagere – hogere – lagere – enz. zevenvoud afliggen
Schrijf die verschillen in omgekeerde volgorde.
Als dit getal deelbaar is door 7, is het oorspronkelijke getal dat ook.

Voorbeeld.
487074875  ⇒  4  87  07  48  75   ⇒   4  4  7  1  5   ⇒   51744
⇒   5  17  44   ⇒   5  4  2   ⇒   245 
⇒   2  45  ή  5  3   ⇒   35
Dat is deelbaar door 7, dus 487074875 ook
       
8. Een getal is deelbaar door 8 als de laatste drie cijfers deelbaar door 8 zijn.
Dat is methode 1.
       
9. Een getal is deelbaar door 9 als de som van de cijfers deelbaar door 9 is.

Waarom werkt dit?
Het bewijs kan ook via methode 3:
Noem het getal 10x + y  en stel dat het deelbaar door 9 is.
Vermenigvuldig met -8:  -80x – 8y is dan ook deelbaar door 9
tel er 81x + 9y bij op (is een negenvoud):  x + y is dan ook deelbaar door 9.

Het kan ook met methode 4:  groepjes van ιιn!!!
       
10. ...mag je zelf verzinnen....
       
11. Drie manieren.
  11a. Zet voor alle cijfers om en om een + en een -.
Tel dan alles op, en als het resultaat deelbaar door 11 is, was het oorspronkelijke getal dat ook.

Voorbeeld.
94186565  ⇒  9 – 4 + 1 – 8  + 6 – 5 + 6 – 5 = 0 en dat is deelbaar door 11
dus is 94186565 ook deelbaar door 11.

Waarom werkt dit?
Het is methode 2; de getallen worden om en om 1 en –1
       
  11b. Trek steeds het laatste cijfer van het getal, dat gevormd wordt door de rest, af.
Als het resultaat nul is, is het oorspronkelijke getal deelbaar door 11.

Voorbeeld.
62579  ⇒  6257 – 9 = 6248  ⇒  624 – 8 = 616  ⇒  61 – 6 = 55  ⇒  5 – 5 = 0
Dat is deelbaar door 11, dus 62579 ook.

 Leuke bijkomstigheid: 
de getallen die we in het voorbeeld aftrokken waren achtereenvolgens  9 – 8 – 6 – 5
Als je die andersom zet krijg je 5689 en dat is precies het resultaat van  62579/11.

Waarom werkt dit?
Het is methode 3:  noem het getal  10x + y
vermenigvuldig met 10:  100x + 10y is dan ook deelbaar door 11
trek er 99x + 11y van af (is een elfvoud):  x – y is dan ook deelbaar door 11.
       
  11c. Verdeel het getal in groepjes van 2, achteraan beginnend.
Tel al die getallen bij elkaar op. Als het resultaat deelbaar is door 11, was het oorspronkelijke getal dat ook. Dat is methode 4 (99 = 9 • 11).

Voorbeeld.
2846195  ⇒  2 + 84 + 61 + 95 = 242  ⇒  2 + 42 = 44 en dat is deelbaar door 11, dus 2846195 ook
       
12. Deelbaar door 3 ιn door 4.
       
13. Twee methodes:
  13a. Haal het laatste cijfer weg. Trek negen keer dit verwijderde cijfer af van het overblijfsel. Als wat nu overblijft deelbaar is door 13 was het oorspronkelijke getal dat ook.

Voorbeeld.
76648  ⇒  7664 – 9•8 = 7592  ⇒  759 – 9•2 = 741  ⇒  74 – 9 •1 = 65
65 is deelbaar door 13, dus 76648 ook.

Waarom werkt dit?
Het is methode 3:   Noem het getal  10x + y :
vermenigvuldig met 4:  40x + 4y   is dan ook deelbaar door 13 trek er 39x + 13y van af:  x – 9y is dan ook deelbaar door 13.
       
  13b. Stel dat het getal (abcdefg) is. 
Bereken dan  (1 • g) – (3 • f) – (4 • e) – (1 • d) + (3 • c) + (4 • b) + (a)
Als dit resultaat deelbaar is door 13 was het oorspronkelijke getal dat ook.
Dat is methode 2.

Voorbeeld:
2018757  ⇒  7  - 15 – 28 – 8 + 3 + 0 + 2 = -39 en dat is deelbaar door 13, dus 2018757 ook
       
16. Een getal is deelbaar door 16 als de laatste 4 cijfers deelbaar door 16 zijn.
Dat is methode 1:  10000 is deelbaar door 16.
       
17. Vermenigvuldig het laatste cijfer met 5 en trek dat van de rest van het getal af. Als  het resultaat deelbaar is door 17 is het oorspronkelijke getal dat ook
Het is methode 3.

Voorbeeld.
212262  ⇒  21216  ⇒  2091  ⇒  204  ⇒  0  en dat is deelbaar door 17 dus 212262 ook.
       
19. Vermenigvuldig het laatste cijfer met 2 en tel dat bij de rest van het getal op.
 Als  het resultaat deelbaar is door 17 is het oorspronkelijke getal dat ook.
Dat is methode 3:  11 • 19 = 209

Voorbeeld
487008  ⇒  48716  ⇒  4883  ⇒  494  ⇒  57 en dat is deelbaar door 19 dus 487008 ook
       
37. Verdeel het getal in groepjes van 3, rechts te beginnen.
Tel al de getallen die zo ontstaan op.
Als het resultaat deelbaar is door 37, was het oorspronkelijke getal dat ook.
Dat is methode 4.

Voorbeeld.
9572344  ⇒  344 + 572 + 9 = 925 en dat is deelbaar door 37, dus 9572344 ook
       
Op de volgende site van het Freudenthal-Instituut  kun je met het spelletje "kraak de kluis" de deelbaarheid oefenen. Vind alle delers van het centrale getal en de kluis gaat open.
Helaas slechts voor delers tot en met 10....

     
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)