© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Het  Brachistochrone probleem.
       
Vertaald betekent dat "het probleem van de kortste tijd"

Het probleem was: Als ik een knikker van een punt P via één of andere helling naar een punt Q wil laten rollen, hoe moet ik dan de vorm van die helling kiezen als dat zo snel mogelijk moet gebeuren?  (we nemen het ideale geval waarin wrijving wordt verwaarloosd).

     

Welke helling brengt de knikker het snelst naar beneden?
     
Of misschien in modernere termen:
 

Wat is de vorm van de ideale Skate-baan?
       
Johan Bernouilli was eigenlijk wel vrij briljant toen hij het volgende bedacht:
       

       
Fermat had al gevonden dat een lichtstraal die van de ene stof naar de andere gaat gebroken wordt, waarbij geldt  dat  n1sinα = n2sinβ  (Daarbij is n de brekingsindex, en die hangt af van de snelheid volgens  n = c/v  met c de lichtsnelheid en v de snelheid van het licht in het betreffende materiaal). Hij leidde die formule af door te stellen dat een lichtstraal de weg van A naar B neemt die het minste  tijd kost.

Bernoulli dacht:  "Aha! De minste tijd!! Als ik nou het pad van A naar B verdeel in allemaal laagjes met verschillende n, als ik die n dan handig weet te kiezen, dan neemt die lichtstraal vanzelf de kortste weg, en dan heb ik mijn oplossing!"
       
       

       
Hierboven links staat het principe van Fermat, waar dus geldt  n1sinα = n2sinb. Rechts staat het idee van Bernoulli waar elke keer bij elke grensovergang geldt:  nksinαk = nk+1sinαk+1  .
Dat laatste betekent dus eigenlijk:   nksinαk = nk+1sinαk+1 = nk+2sinαk+2 = nk+2sinαk+3 = ....
Ofwel:

nksinαk  blijft de hele tijd gelijk!
       
In de natuurkunde heet zoiets een behoudswet.

De grote vraag wordt dan natuurlijk:  Hoe kiezen we die nk ???
Bij lichtstralen geldt  n = c/v  dus laten we dan nu ook maar kiezen dat  n  = 1/v  (kies de constante c maar 1).
Als we verder het aantal laagjes naar oneindig laten gaan (dan gaat de dikte van een laagje dus naar nul), dan wordt die n(y)  een continue functie  n(y) = 1/v(y) .
De behoudswet zegt dan dat  n(y) • sinα(y) over het hele traject constant is  Dus eigenlijk dat  sinα(y)/v(y) constant is.

Verder hebben we uit de natuurkunde nóg een behoudswet:   de totale energie is ook constant.
Dat betekent dat:     kinetische energie + potentiële energie = 1/2mv2 + mgh =  1/2mv(y)2 + mgy  = constant.

Laten we die twee constanten van onze behoudswetten C en D noemen, dus stel dat geldt: 
 n(y) • sinα(y) = sinα/v = C  en   1/2mv(y)2 + mgy = D 

   

•

 1/2mv2 + mgy = D  geeft  mv • v'  + mg = 0  dus   v ' =  -g/v  = -gC/sinα    (differentiëren naar y)

•

 n(y) • sinα(y)  = C  geeft  sinα = C/n(y)   dus   sinα = C • v(y)
Differentiëren naar α:   cosα = C • v'(y) • y'(α)   (met de kettingregel)
       
De eerste invullen in de tweede:    cosα = C •  -gC/sinα • y'(α)  dus  y'(α) = -cosαsinα/gC²  =  -sin2α/2gC²
Primitiveren geeft   y(α) = 1/4C²g • cos2α + y0
       
Zie de figuur hiernaast, daarin geldt:
vx = vsinα  en  vy = vcosα   dus  vx = vy • sinα/cosα 
Maar vx = x'  en vy = y'  dus   x'(α) = y'(α) • sinα/cosα

Met de y' van hierboven geeft dat  x' =  -cosαsinα/gC² • sinα/cosα
x' =  -sin²α/gC²  = -(0,5 - 0,5cos2α)/gC²

Primitiveren:   x(α) = 1/gC² • (-1/2α + 1/4sin2α) + x0 = 1/4gC² • (-2α + sin2α) + x0

       
Dat geeft samengenomen de volgende twee vergelijkingen voor de baan:
 

       
Noem nu  2α = t en  1/4gC² = -r  en kies x0 = 0  en  y0 = -r  en dan staat hier: 
       

       
Precies de cycloïde, maar dan op z'n kop!
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)